、線性運算型對于題設(shè)條件或所求結(jié)論中給出形如f'(x)±g'(x),f'(x)g(x)±f(x)g'(x)等的結(jié)構(gòu)式,往往通過構(gòu)造兩個對應(yīng)函數(shù)的加(或減)、乘(或除)的線性運算型的新函數(shù)F(x)=f(x)±g(x),F(x)=f(x)g(x)來分析與解決問題。例1(多選題)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f'(x)＜,則對任意的x1,x2∈(0,+∞),其中x1≠x2,下列不等式中一定成立的是( )。A.f(x1+x2)＜f(x1

=40,所以滿足題設(shè)的n的個數(shù)是1.2.滿足∠ACB=∠CAD=40°,∠ABD=∠BDC=50°且兩兩不相似的凸四邊形ABCD的個數(shù)是( ).A.1 B.2 C.3 D.以上均錯解析在凸四邊形ABCD中,由∠ACB=∠CAD,可得AD∥BC;同理可得AB∥CD.所以凸四邊形ABCD是平行四邊形.在△OAB與△OBC中,由正弦定理可得2sinθcosθ=2sin40°sin50°,sin2θ=sin80°(0°所以θ=40°,50°.所以滿足題設(shè)的凸四邊形

__.解法1 在題設(shè)中令x=y=z=2000，可得2000&(2000&2000)=2000&2000+2000=0+2000=2000，2000&(2000&2000)=2000&0.所以2000&0=2000.在題設(shè)中令x=2000,y=z=2022，可得2000&(2022&2022)=2000&2022+2022,2000&(2022&2022)=2000&0=2000.所以2000&2022=2000-2022=-22.解法2 在題設(shè)中令y=z=

的該題解答是：由題設(shè)可求得a=2，于是由雙曲線的定義可得||MF1|-|MF2||=4.又因為|MF1|=5，所以所求|MF2|的值是1或9.高中數(shù)學(xué)教材[1]、[3]～[5]的習(xí)題中均給出了下面的題2，且與這些教材配套使用的《教師教學(xué)用書》中給出的解法也相同，可見其“經(jīng)典”之程度.題2如果雙曲線4x2-y2+64=0上一點P到它的一個焦點的距離等于1，那么點P與另一個焦點的距離等于.不妨設(shè)|PF1|=1，因而|PF2|=17.A.11 B.9 C.5 D

解，學(xué)生需要結(jié)合題設(shè)條件舍棄一解．此問考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，有部分學(xué)生正是因為缺乏這樣的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)失分．Table 1. Hyperparameters of the neural network in Section 3.Table 2. Test errors of prediction for planetary orbits in Fig.2.The predicted orbits of Venus, Mars, and Jupiter are

ak解析(1)由題設(shè)可得a1=2,a2=1,a3=4.因為1=a2,2=a1,3=a1+a2,4=a3,5=a2+a3;6≠a1,a2,a3,a1+a2,a2+a3,a1+a2+a3，所以Q:2,1,4為5-連續(xù)可表數(shù)列，不為6-連續(xù)可表數(shù)列.(2)若k=1，則數(shù)列Q:a1只可能是1-連續(xù)可表數(shù)列；若k=2，且數(shù)列Q:a1,a2為m-連續(xù)可表數(shù)列，則m≤3(因為由題設(shè)中的表述方法，最多只能表示出a1,a2,a1+a2共3個兩兩互異的數(shù))；若k=3，且數(shù)列Q

的該題解答是：由題設(shè)可求得a=2，于是由雙曲線的定義可得||MF1|-|MF2||=4.又因為|MF1|=5，所以所求|MF2|的值是1或9.高中數(shù)學(xué)教材[1]、[3]～[5]的習(xí)題中均給出了下面的題2，且與這些教材配套使用的《教師教學(xué)用書》中給出的解法也相同，可見其“經(jīng)典”之程度.題2如果雙曲線4x2-y2+64=0上一點P到它的一個焦點的距離等于1，那么點P與另一個焦點的距離等于.不妨設(shè)|PF1|=1，因而|PF2|=17.A.11 B.9 C.5 D

冊教材指出命題由題設(shè)與結(jié)論兩個部分組成，通過題設(shè)與結(jié)論的組合，銜接形成具備邏輯性的判斷語句，因此數(shù)學(xué)知識可以表述為包含題設(shè)與結(jié)論的語句.當(dāng)數(shù)學(xué)試題考查單一知識點或多個知識點時，實際上就是考查題設(shè)與結(jié)論的邏輯聯(lián)系，而這種邏輯聯(lián)系從其銜接結(jié)構(gòu)來看，類似于物理電路組成方式中的“串聯(lián)”“并聯(lián)”，在電路中，串聯(lián)只有一條路徑，所有的電子元件首尾依次連接.當(dāng)數(shù)學(xué)知識發(fā)生“串聯(lián)”時，所有的題設(shè)與結(jié)論首尾相連，構(gòu)成一條邏輯推導(dǎo)思路.單一知識由單個題設(shè)推導(dǎo)出結(jié)論，形成“串聯(lián)”

則m≤3（因為由題設(shè)中的表述方法，最多只能表示出a1，a2，a1+a2共3個兩兩互異的數(shù)）;若k=3，且數(shù)列Q：a1，a2，a3為m-連續(xù)可表數(shù)列，則m≤3（因為由題設(shè)中的表述方法，最多只能表示出a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3共6個兩兩互異的數(shù)）.同理，可證得一般的結(jié)論：若有窮整數(shù)數(shù)列Q：a1，a2，…，ak為m-連續(xù)可表數(shù)列，則m≤k+（k-1）+（k-2）+…+1=12k（k+1）.①若數(shù)列Q的六項均是自然數(shù)，由題設(shè)a1+a

11.解法2 由題設(shè)及推論，可得題2 (2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試卷第8題)過半徑為5的球面上一點P作三條兩兩互相垂直的弦PA,PB,PC使得PA=2PB，則PA+PB+PC的最大值為____.解析可得以PA,PB,PC為共頂點的三條棱的長方體內(nèi)接于球，且該長方體的體對角線長為球的直徑，所以PA2+PB2+PC2=(2×5)2,5PB2+PC2=100.再由推論，可得題3已知實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d

垂直于一個平面）題設(shè)：如圖6，7，8，P的射影是△ABC的外心三棱錐P-ABC三條側(cè)棱相等三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上，頂點P也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取△ABC的外心O1，則P，O，O1三點共線第二步：先算出小圓O1的半徑AO1=r，再算出棱錐的高PO1=h（也是圓錐的高）第三步：勾股定理：解出R類型三：切瓜模型（二個平面互相垂直）方法：1.題設(shè)：如圖9-1，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC為小圓直徑）第

)(3).證明由題設(shè)及三角形內(nèi)角和定理、正弦定理，可得?k=8n±1(|n|∈N*).證明由題設(shè)及三角形內(nèi)角和定理，得=0(k≠1.5n,n∈Z)?k=12n±1(n∈Z)由正弦定理，可得?2cos3A-cosA=2cos3C-cosC?2cos3A-cosA=2cos3(π-2A)-cos(π-2A)?2cos3A-cosA=-2(2cos2A-1)3+(2cos2A-1)所以欲證結(jié)論成立.證明由題設(shè)及三角形內(nèi)角和定理、正弦定理，可得進而可得欲證結(jié)論成立

垂直于一個平面）題設(shè)：如圖6，7，8，P的射影是△ABC的外心三棱錐P-ABC三條側(cè)棱相等三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上，頂點P也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取△ABC的外心O1，則P，O，O1三點共線第二步：先算出小圓O1的半徑AO1=r，再算出棱錐的高PO1=h（也是圓錐的高）第三步：勾股定理：解出R類型三：切瓜模型（二個平面互相垂直）方法：1.題設(shè)：如圖9-1，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC為小圓直徑）第

圖22.AD.由題設(shè)，可得點O,P不重合.如圖2所示，可得點O,P在等腰△ABC底邊上的高CE上(點E是邊AB的中點).可設(shè)直線OD,BP交于點R，可得∠R=∠CEB=90°，所以O(shè),R,E,B四點共圓.再由題設(shè)“點P是△ABC的內(nèi)心”，可得∠CBP=∠RBE=∠ROP，所以B,D,O,P四點共圓，得選項A正確.由B,D,O,P四點共圓，可得∠BDP=∠BOP.由題設(shè)“點O是△ABC的外心”，可得∠BOP=2∠BCO=∠BCA，所以∠BDP=∠BCA.所以

若AB≤AC,由題設(shè)知∠AEC>∠ABF≥∠ACB.則邊AC上必存在點R(不與C重合)，使得∠AER=∠C.進而，點P在邊AB上的位置不外乎：圖1圖2圖3若AB>AC，則點P在邊AB上(不與A,B重合).R在邊AC上的位置亦如上述點P的位置.上述證明，只用一次四點共圓(正是這一步驟，得以讓我們發(fā)現(xiàn)一個題設(shè)條件的多余)，然后借助三角形相似推得所需結(jié)論.其余必要過程與文[1]相同.當(dāng)點P,R分別在邊AB,AC上，且滿足題設(shè)條件時(如圖1)，即為原賽題.

表示).(2)由題設(shè)，可得例3(原創(chuàng)題)(1)若log303=a,log305=b，則log308=____(用a,b表示)；(2)若log712=a,log1224=b，則log54168=____(用a,b表示)；(3)若α=log1218,β=log2454，則αβ+5(α-β)=____.解(1)3-3a-3b.由題設(shè)，可得(3)1.由題設(shè)，可得αβ+5(α-β)=1.例4求證algb=blga.證法1只需證lgalgb=lgblga.由冪的對數(shù)運

能組成3個命題.題設(shè)：①②;結(jié)論：③，題設(shè)：①③;結(jié)論：②.題設(shè)：②③;結(jié)論：①.（2）題設(shè)：①②;結(jié)論：③.證明：如圖4，因為DE//BC，所以∠1=∠B，∠2=∠C.又因為∠1=∠2.所以∠B=∠C.10.（1）∠EOB=30°.（2）不變.因為CB∥OA，所以∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠FOA.所以∠OBC：∠OFC= ∠AOB：∠FOA.又因為∠FOA=∠FOB+ ∠AOB=2 ∠AOB.所以∠OBC：∠OFC= ∠AOB：∠FOA= ∠A O

=12AD，再由題設(shè)可得：AB·AC=6AO·EC=6·12AD·（AC-AE）=3·12（AC+AB）·AC-13AB=32AC2-12AB2+AB·AC.所以AB=3AC，ABAC=ABAC=3.解法2 如圖3所示，過D作DF∥CE交AB于點F，再由題設(shè)，可得AE=EF=FB，AO=OD，AO=12AD.接下來，同解法1可求得答案.解法3 如圖4所示，建立平面直角坐標(biāo)系xDy，不妨設(shè)B（-3，0），C（3，0），A（6a，6b）（b≠0）.由題設(shè)，可得

≤1)恒成立時，題設(shè)f(x)≥g(x)恒成立。u'(x)=2sinx-x(0≤x≤1);得u'(x)是增函數(shù)，u'(x)≥u'(0)=0(0≤x≤1)，u(x)也是增函數(shù)，所以u(x)≥u(0)=--2cosx-1=-3(0≤x≤1)。由此可知，當(dāng)a＞-3時，?x0∈[0，1]，使得g(x0)＞。再由(1)的結(jié)論f(x)(0≤x≤1)可知，當(dāng)a＞-3時，?x0∈[0，1]，使得g(x0)＞f(x0)，即當(dāng)a＞-3時，不滿足題設(shè)。綜上所述，可得所求答案是(-

，lnx(3)由題設(shè)c>1，設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx，則g′(x)=c-1-cxlnc．當(dāng)x0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x0時，g′(x)所以當(dāng)x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.試題新解(1)(2)略.(3)由題設(shè)x∈(0,1)，c>1,設(shè)h(c)=1+cx-x-cx=xc-cx+1-x,c>1.h′(c)=x-xcx-1=x(1-cx-1).∵x∈(0,1),∴x-1∈(-1,0).∴函數(shù)m(c)=cx-1在(1，+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)

}的公比為q，由題設(shè)可得an=qn-1。由a5=4a3得q4=4q2，解得q=0(舍去)，q=-2，q=2。所以an=(-2)n-1或an=2n-1。(2)若an=(-2)n-1，則由Sm=6 3得(-2)m=-18 8，此方程沒有正整數(shù)解。若an=2n-1，則Sn=2n-1。由Sm=6 3得2m=6 4，解得m=6。綜上，m=6。19.(1)因為an+1=an+6an-1(n≥2)，所以an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2

，+∞），不滿足題設(shè)，說明以上答案不對.應(yīng)當(dāng)這樣求解：可得二次函數(shù)u=x2-ax+65的判別式Δ=a2-260.當(dāng)Δ≥0即a≤-260或a≥260時，開口向上的拋物線u=x2-ax+65與x軸有公共點，從而可得對數(shù)log2016（x2-ax+65）中的真數(shù)x2-ax+65的取值范圍是（0，+∞），所以函數(shù)y=log2016（x2-ax+65）的值域是R，此時不滿足題設(shè).當(dāng)Δ所以所求a的取值范圍是.建議把原題修改為：修改1若函數(shù)y=log2016（x2-ax

曲線的幾何性質(zhì)、題設(shè)指定條件、函數(shù)的有界性等。下面，我就圓錐曲線中離心率取值范圍的求解策略作一些探討和歸納。圓錐曲線中離心率取值范圍問題求解策略的關(guān)鍵是建立目標(biāo)參數(shù)的不等式，可根據(jù)題設(shè)中含有不等關(guān)系的條件建立不等式，也可通過對一些隱含條件的挖掘利用圓錐曲線定義、幾何性質(zhì)、函數(shù)的有界性等建立不等式，再轉(zhuǎn)化為e的不等式求解。如果題設(shè)中不是不等關(guān)系的條件而是等量關(guān)系條件（如例8和例9），還可以建立關(guān)于e的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域求解。（作者單位：湖南省長沙市望城區(qū)

osBsinC及題設(shè)可得tanC=-3tanB，所以由均值不等式，可得tanA=-tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1=2tanB3tan2B+1=23tanB+1tanB≤33進而可得：當(dāng)且僅當(dāng)tanB=13即（A，B，C）=π6，π6，2π3時，（tanA）max=33.5.-13，13.由零點討論法可得，當(dāng)且僅當(dāng)x=2a3時，（2x-a+3x-2a）min=a3.所以題設(shè)即a3≥a2，進而可得答案.6.>.可得lnx=ln2sin

題，往往這類問題題設(shè)中的運動過程已經(jīng)唯一確定了運動過程中的速度、電量、熱量等物理量，而部分命題者為了考查其所想考查的物理規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生向其預(yù)設(shè)的解題思路靠攏，人為地對題設(shè)中本已確定的物理量進行賦值，從而忽視了物理過程中應(yīng)該遵守的比較隱性的物理規(guī)律，導(dǎo)致數(shù)據(jù)的科學(xué)性出現(xiàn)了問題，造成了題設(shè)條件的非自洽性.下面以兩道試題為例說明.從對以上兩道試題題設(shè)條件是否自洽的討論可以看出，在電磁感應(yīng)試題中是不能隨意假設(shè)條件和賦值的，否則極易出現(xiàn)答案與題設(shè)條件自相矛盾的情形，

立),所以，滿足題設(shè)的最大正整數(shù)n的值為12.例3(2012年全國高考題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.解(1)減區(qū)間是(-∞,lna),增區(qū)間是(lna,+∞).(2)由題設(shè)可得xex-kex+k+1>0(x>0)恒成立.接下來,若再進行等價轉(zhuǎn)化(比如分離常數(shù)后求相應(yīng)函數(shù)的最值),可能不易解決(因為求最值時需要求導(dǎo)函數(shù)的零點,很可能求不出

時，x=z,所以題設(shè)變?yōu)?=xyz(x+y+z)=x2(2xy+y2)(x+y)(y+z)=(x+y)2≥2，解 由式子結(jié)構(gòu)知，x1、x2位置對稱，當(dāng)取得最小值時，x1=x2成立.題4 若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的值域為[0,+),求的最小值.也有文獻資料用“對稱原理”來編擬關(guān)于不等式的習(xí)題：在△ABC中，我們欲求sinA+sinB+sinC的最值.反例2 設(shè)x、y∈R,x+y=2,求x+y的最值.易知x+y的最大值、最小值均是2，但并不一定是在

－11.點評：由題設(shè)條件難以求得待求式中字母的確定值，可將它們適當(dāng)變形，再把條件整體代入，會使問題化難為易.二、常值代換例2分析：直接通分，令人望而生畏，根據(jù)題設(shè)將常數(shù)與代數(shù)式互換，可使問題迎刃而解.（第二個分式的分子、分母同乘以x，第三個分式分母中的1用xyz代換）（第二個分式分母中的xyz用1代換，第三個分式的分子、分母同約去z）點評：由題設(shè)無法求得待求式中字母的具體數(shù)值，根據(jù)題設(shè)將常數(shù)與代數(shù)式互相代換，會使問題柳暗花明，別有洞天.三、特殊值代換分析：

即可，聯(lián)系結(jié)論與題設(shè)的紐帶就是△APQ的外角.老師曾經(jīng)和我們說過：“解題就是將問題的題設(shè)和結(jié)論之間架設(shè)橋梁，變天塹為通途的過程.而解后反思?？勺兏?span id="j5i0abt0b" class="hl">題設(shè)或者結(jié)論，以達到‘條條大路通羅馬’之效.”循著這條思路，我嘗試改變題設(shè)中點P的位置，得到下列變式.縱觀上述解題過程，各問題中變化的是點P的位置，不變的是解題方法：利用“平行線的性質(zhì)”和“三角形的外角性質(zhì)”可以解決這一類問題，達到“解一題，帶一串，通一類”的效果.張老師點評：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的變式（改變圖形、改變位置

更有難度.若利用題設(shè)條件、不等式性質(zhì)、基本不等式及柯西不等式等連續(xù)放縮兩次，將多元變量轉(zhuǎn)化為少元變量或單元變量，并兼顧等號成立的條件來解答，可使思維簡約，過程簡捷.下面舉例說明，旨在拋磚引玉.1由題設(shè)條件和均值不等式連續(xù)放縮兩次由題目直接或間接給出的條件和均值不等式連續(xù)放縮兩次，將多元變量最值問題轉(zhuǎn)化為一元變量最值問題，并兼顧等號同時成立的條件.例1（2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試（A卷）第2題）設(shè)集合{3a+b|1≤a≤b≤2}中的最大元素與最小元素分別

規(guī).綜上，H滿足題設(shè)條件，故H為p-冪零群.(2)1≠ P'≤ Op(G).設(shè) q∈ π(NG(P))，Q∈Sylq(NG(P))，顯然P?PG.設(shè)H=PQ，如果P是循環(huán)群，由引理1.7知，G為p-冪零群.如果P是非循環(huán)群，由引理1.8知，G為p-冪零群，矛盾.故H ＜G.由(1)知，H為p-冪零群.因此Q?H，H=P×Q.若P為交換群，則有NG(P)=CG(P)，故G為p-冪零群，矛盾;因此P'≠1.又P'在G中s-置換，故P'??G，由引理1.6知，P

時應(yīng)該尋求的是“題設(shè)的充要條件”，但相對于“充要條件或充分條件”而言，“題設(shè)的必要條件”往往顯得簡單、直觀和具體，容易解決.同時在尋求的必要條件中，不僅包含題設(shè)的充要條件，而且在尋求必要條件的過程中常隱含著問題的解法.因此，我們解決某個問題有困難時，常?？梢韵葘で?span id="j5i0abt0b" class="hl">題設(shè)的必要條件，然后再驗證其充分性，從而獲得問題的解決.在本文中，筆者例談利用必要條件解題的兩種功能：（1）小題小做，直接求解問題；（2）縮小范圍，簡化解題過程.一、小題小做，直接求解問題分析：若

pan{1})由題設(shè)m≤f(x)≤M,n≤g(x)≤N,?x∈(a,b)得：綜上可得結(jié)論：定理3 設(shè)x1,x2,…,xn為內(nèi)積空間中的向量，‖xi‖≤1,則有:證明因為Γ(x1,x2,…,xn)≤Γ(x1)Γ(x2)…Γ(xn).由Gram矩陣的性質(zhì)知，這些行列式都非負(fù)且小于等于1，所以:Γα(x1,x2,…,xn)≤Γα(x1)Γα(x2)…Γα(xn),其中α≥0,注：同理可得下面結(jié)論.定理4 設(shè)x1,x2,…,xn為內(nèi)積空間中的向量，‖xi‖≤1,1

1∴△AMC滿足題設(shè)條件.則M點在ED延長線上,圖2∴△AMC的三邊分別為且 ∴△AMC滿足題設(shè)條件;若a=0,命題顯然成立,綜上所述,原命題正確.用上述方法,筆者得到該題的一個推廣命題.已知 ：m,n ∈R+,且4m-n2＞0;設(shè)D,E分別為AB,AC的中點,連接DE,在直線DE上取一點M,使EM=,則易證得△AMC為滿足題設(shè)的三角形.20110822)

方法和技巧．1 題設(shè)條件特殊化——探求目標(biāo)所在都成立，這是一個具有一般性的結(jié)論，蘊含著特殊情形．充分利用“若等式對一切正整數(shù)都成立，則當(dāng)n=1，2，3時等式必成立”這一邏輯關(guān)系，即“等式對一切正整數(shù)n都成立”的必要條件是“當(dāng)n=1，2，3時等式成立”，由此得到一個方程組，順利地求出了a，b，c的可能值，后面用數(shù)學(xué)歸納法證明就水到渠成了．通常，一個具有一般性的結(jié)論在某些特殊情形下會變得比較簡單，原來難覓蹤影的目標(biāo)往往在特殊情形下就會暴露出它的“原形”，從而為

300456)問題設(shè)x,y是實數(shù),且x2-3xy+y2=1,求S=x2-xy+y2的取值范圍.錯解因為S=x2-xy+y2=-(x2-3xy+y2)+2(x2-2xy+y2)=-1+2(x-y)2,且由題設(shè)條件可知x≠y(否則與條件x2-3xy+y2=1矛盾！),所以S=x2-xy+y2無最小值,只有S>-1,即S∈(-1,+∞).以上解題過程從表面上看似嚴(yán)謹(jǐn),但結(jié)果卻是錯誤的！其實S不會等于0.因為由S=0,可得x=y=0,這與題設(shè)條件x2-3xy+y2