冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的拓?fù)淞餍畏治?/h1>
2017-06-27 08:12:06程錦翔應(yīng)明峰
農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào) 2017年6期
徐 朋 程錦翔 應(yīng)明峰 李 奎
(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院， 南京 210016)
冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的拓?fù)淞餍畏治?/p>
徐 朋 程錦翔 應(yīng)明峰 李 奎
(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院， 南京 210016)
針對優(yōu)化的梯度投影算法在冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題中不一定存在最優(yōu)解的問題，提出了一種拓?fù)淞餍嗡惴?。將冗余鋪絲機(jī)械手的位形空間看作一個(gè)光滑流形，對耦合的位置逆解和姿態(tài)逆解進(jìn)行解耦，然后分別針對位置子流形和姿態(tài)子流形進(jìn)行仿真分析得到其相應(yīng)的仿真拓?fù)淞餍?。該方法可以將鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題抽象為數(shù)學(xué)中的曲面拓?fù)淞餍蝸硌芯?，為鋪絲機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)在流形上分析提供了理論基礎(chǔ)，同時(shí)也為后續(xù)鋪絲機(jī)械手的最優(yōu)化自運(yùn)動(dòng)控制提供了一種新的方法。最后以飛機(jī)S形進(jìn)氣道為例進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了所提方法的正確性。
機(jī)械手； 冗余； 拓?fù)洌?流形； 進(jìn)氣道
引言
復(fù)合材料纖維鋪放成型技術(shù)(Fiber placement, FP)是一種精確的復(fù)合材料先進(jìn)制造技術(shù)[1-2]，既可以鋪放規(guī)則曲面，也可以鋪放不規(guī)則的自由曲面，同時(shí)大大提高了復(fù)合材料的性能，降低了復(fù)合材料的生產(chǎn)成本，減輕了復(fù)合材料成型制品的質(zhì)量，不僅適合于航空航天、尖端武器裝備等高科技產(chǎn)品的應(yīng)用，同時(shí)也適合于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療等高端機(jī)械領(lǐng)域的應(yīng)用[3]。所以對于復(fù)合材料纖維鋪放成型技術(shù)的工作母機(jī)——冗余鋪絲機(jī)械手的研究已經(jīng)成為當(dāng)今先進(jìn)制造技術(shù)的一個(gè)新的研究方向[4]。
鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是實(shí)現(xiàn)整個(gè)鋪絲過程運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)控制的基礎(chǔ)[5-6]，對于冗余鋪絲機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題一般采用基于廣義逆的梯度投影算法[7-8]，基于梯度函數(shù)的不同選擇又出現(xiàn)了加權(quán)最小范數(shù)、最小奇異值、最小條件數(shù)、拉格朗日乘子等優(yōu)化算法，根據(jù)梯度的定義可知以上算法所得逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解不一定是冗余機(jī)械手的全局最優(yōu)逆解，而冗余機(jī)械手拓?fù)淞餍伟巳磕孢\(yùn)動(dòng)學(xué)解，所以得到了逆解的自運(yùn)動(dòng)流形[9-10]，就可以利用拓?fù)淞餍蔚男再|(zhì)從數(shù)學(xué)的角度來研究冗余鋪絲機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)的操作性能指標(biāo)。
拓?fù)淞餍问且粋€(gè)沒有全局坐標(biāo)，局部坐標(biāo)與歐式空間同態(tài)的拓?fù)淇臻g[11]。以拓?fù)淞餍螢楹诵暮突A(chǔ)的現(xiàn)代微分幾何學(xué)，在冗余機(jī)械手研究方面有著越來越多的應(yīng)用和研究，特別是在復(fù)雜冗余機(jī)構(gòu)中的非線性問題[12]，更容易得到具有幾何和物理意義的結(jié)果，為后續(xù)自運(yùn)動(dòng)控制提供一定的理論基礎(chǔ)。冗余機(jī)械手基于拓?fù)淞餍文孢\(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題，國內(nèi)外諸多學(xué)者提出了很多算法[13-16]。
本文首先描述特殊結(jié)構(gòu)8自由度串聯(lián)鋪絲機(jī)械手的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[17-19]，在此基礎(chǔ)上分別描述位置和姿態(tài)空間的拓?fù)淞餍?，其次利用旋量理論結(jié)合參數(shù)方程的方法得到冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析解表達(dá)式[20-21]，最后通過仿真得到冗余鋪絲機(jī)械手的位置空間流形和姿態(tài)空間流形，然后利用飛機(jī)S形進(jìn)氣道為例驗(yàn)證所提方法的正確性。
1 冗余鋪絲機(jī)械手拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)
圖1中，滑動(dòng)導(dǎo)軌、6自由度庫卡機(jī)械手和旋轉(zhuǎn)芯模共同組成了8自由度串聯(lián)冗余機(jī)械手的閉環(huán)系統(tǒng)，由于冗余度的存在該系統(tǒng)有無數(shù)多個(gè)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解，逆解的變化呈現(xiàn)出拓?fù)淞餍蔚慕Y(jié)構(gòu)，通過對拓?fù)淞餍蔚难芯靠梢愿玫乩斫膺\(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的數(shù)學(xué)本質(zhì)，圖2為其相應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
圖1 8自由度冗余鋪絲機(jī)械手模型Fig.1 An 8-DOF redundant fiber placement manipulator model
圖2 8自由度冗鋪絲機(jī)械手拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Topological structure of 8-DOF fiber placement manipulator
2 解空間拓?fù)淞餍?/h2>
定義關(guān)節(jié)構(gòu)型空間
C=C1C2C3C4C5C6C7C8
(1)
式中C1——移動(dòng)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間C2～C7——各轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間C8——末端旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間
定義f為關(guān)節(jié)構(gòu)型空間C到工作空間W的映射函數(shù)，f由運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可以得到，由于f是微分同態(tài)映射，則f:C→W和f-1:W→C是各階偏導(dǎo)都存在的光滑映射，所以機(jī)械手關(guān)節(jié)所起的作用相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的函數(shù)，它實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)構(gòu)型空間和末端執(zhí)行器位姿工作空間之間的映射與逆映射。當(dāng)滑軌和末端旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)，8自由度鋪絲機(jī)械手逆解將會(huì)呈現(xiàn)出曲面拓?fù)淞餍蔚慕Y(jié)構(gòu)，它是關(guān)于C的一個(gè)8維流形，包括了冗余鋪絲機(jī)械手的全部逆解。
定義位置關(guān)節(jié)構(gòu)型空間
Cwz=C1C2C3C4C5C6C7C8
(2)
定義位置關(guān)節(jié)工作空間流形
(Cwl,Fwl)={(θwl,fwl(θwl))/fwl(θwl)=P,θwl∈Cwz}
(3)
式中P——工具坐標(biāo)系在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量
Fwl——運(yùn)動(dòng)學(xué)正解映射集合
fwl——運(yùn)動(dòng)學(xué)正解映射
θwl——位置關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)流形
Cwl——位置關(guān)節(jié)工作空間流形，是一個(gè)8維拓?fù)淞餍?/p>
矢量P主要由位置關(guān)節(jié)d1、θ2、θ3、θ4、θ8決定，同時(shí)受到姿態(tài)關(guān)節(jié)θ5、θ6、θ7的影響。由于末端操作器工具坐標(biāo)系與腕點(diǎn)第7關(guān)節(jié)坐標(biāo)系連接固定，所以由工具坐標(biāo)系可以得到鋪絲機(jī)械手腕點(diǎn)第7關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的姿態(tài)和位置。
為了能將位置流形映射到三維空間，利用腕點(diǎn)矢量重新定義位置關(guān)節(jié)工作空間流形
C′wz=C1C2C3C4C8
(4)
(C′wl,F′wl)=(θ′wl,f′wl(θwl))/f′wl(θ′wl)=low(θ′wl∈C′wz)
(5)
式中l(wèi)ow——從基坐標(biāo)系原點(diǎn)到鋪絲機(jī)械手腕點(diǎn)的矢量
C′wl——位置關(guān)節(jié)工作空間流形，是一個(gè)5維拓?fù)淞餍?/p>
以d1、θ8作為冗余變量可以將位置關(guān)節(jié)θ2、θ3、θ4映射到三維空間。
定義姿態(tài)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間
Czt=C2C3C4C5C6C7C8
(6)
定義姿態(tài)關(guān)節(jié)工作空間流形
(Czl,Fzl)=(θzl,fzl)/fzl(θzl)=(p,xT,zT) (θzl∈Czt)
(7)
式中xT、zT——末端工具坐標(biāo)系的姿態(tài)Czl——姿態(tài)工作空間流形
由于Czl是一個(gè)7維拓?fù)淞餍?，同樣不能在三維空間直觀展示，所以將位置關(guān)節(jié)θ2、θ3、θ4對腕關(guān)節(jié)姿態(tài)的影響歸結(jié)為一個(gè)關(guān)節(jié)的影響，定義為θ′4。
重新定義姿態(tài)關(guān)節(jié)工作空間流形
C′zt=C′4C5C6C7C8
(8)
(C′zl,F′zl)=(θ′zl,f′zl)/f′zl(θ′zl)=(low,x7,z7) (θ′zl∈C′zt)
(9)
式中x7、z7——第7關(guān)節(jié)沿x軸和y軸方向單位矢量，代表了第7關(guān)節(jié)姿態(tài)
C′zl——姿態(tài)關(guān)節(jié)工作空間流形
C′zl也是一個(gè)5維拓?fù)淞餍?，以θ?、θ8作為冗余變量同樣可以將姿態(tài)關(guān)節(jié)θ5、θ6、θ7映射到三維空間。
重新定義的位置空間拓?fù)淞餍蜟′wl和姿態(tài)空間拓?fù)淞餍蜟′zl就可以分別表示為以腰肩肘關(guān)節(jié)θ2、θ3、θ4和以腕關(guān)節(jié)θ5、θ6、θ7為主的曲面流形的結(jié)構(gòu)。
3 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解
利用旋量理論對8自由度冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解，機(jī)械手的初始狀態(tài)及各連桿間的尺寸參數(shù)如圖3所示。
圖3 冗余鋪絲機(jī)械手初始狀態(tài)Fig.3 Initial state of redundant fiber placement manipulator
初始狀態(tài)工具坐標(biāo)系{T}和慣性坐標(biāo)系{S}之間的變換為
(10)
一般工作狀態(tài)工具坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系之間的變換為
gst(θ)=
(11)
式中θ8——第8關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度α——壓輥軸線與芯模軸線的夾角r——鋪絲軌跡點(diǎn)處的芯模半徑a1～a6——鋪絲機(jī)械手結(jié)構(gòu)參數(shù)
將冗余關(guān)節(jié)設(shè)定為鋪絲軌跡點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系下的橫坐標(biāo)d1和θ8，根據(jù)旋量理論及已知的Paden-Kahan子問題可以求得腰肩肘和腕部各關(guān)節(jié)解析表達(dá)式
θ2=arctan2(?(qx-d1),±qy)
(12)
(13)
(14)
θ5=arctan2(q′x-d1,q′z-a3-a4)
(15)
(16)
θ7=arctan2(d1-q″x,a2+a5-q″y)
(17)
當(dāng)冗余關(guān)節(jié)d1、θ8在規(guī)定范圍內(nèi)變化時(shí)，本文所得到的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解θ2、θ3、θ4、θ5、θ6、θ7均是以d1、θ8為變量的函數(shù)。冗余鋪絲機(jī)械手8個(gè)關(guān)節(jié)變量都可以作為冗余變量，不同冗余變量下冗余鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)構(gòu)型是一致的，但是不同冗余變量下冗余機(jī)械手對應(yīng)的自運(yùn)動(dòng)流形是不同的，為了實(shí)際鋪絲過程中方便測量和計(jì)算，本文以d1、θ8作為冗余變量來計(jì)算逆解及拓?fù)淞餍畏治?，其中?耦合于gst(θ)。
4 仿真分析
定義臂形標(biāo)志
基于以上分析分別得到腰肩肘關(guān)節(jié)在不同臂形標(biāo)志下的位置工作空間仿真拓?fù)淞餍危鐖D4所示。
圖4 不同臂形標(biāo)志下的位置空間仿真拓?fù)淞餍蜦ig.4 Position space simulation topological manifolds in different arm configurations
由圖4所示的位置拓?fù)淞餍慰梢钥吹疆?dāng)鋪絲機(jī)械手處于右上臂形和左上臂形時(shí)位置關(guān)節(jié)θ2、θ3、θ4具有較大的活動(dòng)空間和靈活性，正常鋪絲工作一般在上臂形進(jìn)行。
腕關(guān)節(jié)θ5、θ6、θ7在不同臂形標(biāo)志下的姿態(tài)工作空間仿真拓?fù)淞餍畏謩e如圖5、6所示。
圖5 右臂形狀態(tài)下的姿態(tài)空間仿真流形Fig.5 Posture space simulation topological manifolds for right arm configuration
圖6 左臂形狀態(tài)下的姿態(tài)空間仿真流形Fig.6 Posture space simulation topological manifolds for left arm configuration
由圖5、6可知當(dāng)針對特定鋪絲軌跡點(diǎn)時(shí)，鋪絲機(jī)械手腕關(guān)節(jié)姿態(tài)處于右上臂形和左上臂形時(shí)具有較大靈活性，綜合位置關(guān)節(jié)考慮可知當(dāng)鋪絲機(jī)械手處于右上臂形不翻腕的狀態(tài)下具有最大工作空間，同時(shí)靈活性和避障礙能力也越強(qiáng)，在此基礎(chǔ)之上可以利用拓?fù)淞餍蔚男再|(zhì)來研究鋪絲機(jī)械手的關(guān)節(jié)逆解。拓?fù)淞餍斡脕硌芯坑梢唤M變量組成的空間特性，其上每一點(diǎn)處的切向量表征了該點(diǎn)的速度矢量，所有切向量的集合定義為該點(diǎn)的切空間，切空間與光滑函數(shù)的結(jié)合可以研究鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)，更有利于對鋪絲過程的全局性優(yōu)化。同時(shí)為了驗(yàn)證所得拓?fù)淞餍蔚恼_性，在鋪絲機(jī)械手處于右上臂形不翻腕的情況下，以飛機(jī)S形進(jìn)氣道軌跡曲線為例來驗(yàn)證所得拓?fù)淞餍蔚恼_性，同時(shí)也利用拉格朗日優(yōu)化的梯度投影算法得到了相應(yīng)的仿真曲線作為對比，如圖7所示。
圖7 飛機(jī)S形進(jìn)氣道仿真軌跡Fig.7 Simulation path for plane S-shaped inlet
由圖7可知本文所用拓?fù)淞餍畏椒ㄏ啾扔诶窭嗜諆?yōu)化的梯度投影法更接近于期望軌跡，證明了本文所用拓?fù)淞餍畏椒ǖ恼_性和合理性，同時(shí)本文在冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)和拓?fù)淞餍沃g建立了合適的橋梁，為后續(xù)優(yōu)化逆解的求取和最優(yōu)自運(yùn)動(dòng)控制的選擇奠定了基礎(chǔ)。
5 結(jié)論
(1) 應(yīng)用拓?fù)淞餍畏椒ㄑ芯苛巳哂噤伣z機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解，分別在其位置工作空間和姿態(tài)工作空間得到了相應(yīng)的仿真流形，將鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題成功轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)中的拓?fù)淞餍螁栴}，這樣就可以通過對拓?fù)淞餍蔚难芯縼淼玫戒伣z機(jī)械手的最優(yōu)逆解，為后續(xù)最優(yōu)的自運(yùn)動(dòng)控制奠定基礎(chǔ)。
(2)通過對飛機(jī)S形進(jìn)氣道仿真軌跡的對比，拓?fù)淞餍畏椒ǖ玫降哪孢\(yùn)動(dòng)學(xué)解相比于拉格朗日優(yōu)化的梯度投影算法更適合于鋪絲軌跡的要求，同時(shí)有效提高了鋪絲過程的精確度。
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Topological Manifolds Analysis for Inverse Kinematics of Redundant Fiber Placement Manipulator
XU Peng CHENG Jinxiang YING Mingfeng LI Kui
(CollegeofMechanicalandElectricalEngineering,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China)
A new topological manifolds method was proposed to solve the inverse kinematics problem of the redundant fiber placement manipulator. It improved the calculation precision compared with the optimized projected gradient method. A structure of smooth topological manifolds was presented by the inverse kinematics solution of redundant fiber placement manipulator, the simulation topological manifolds were obtained when the position sub-manifolds and posture sub-manifolds had a different simulation analysis for the redundant fiber placement manipulator model, it was like the function mapping in the mathematics from the manipulator joints space to the working space of the end effector. The tangent vector described velocity vector for each point on the topological manifolds, the gather of all these tangent vectors were defined as the tangent vector space on the point. The kinematics problems of the redundant fiber placement manipulator were abstracted to mathematically curved surface topological manifolds problem in the new method, it provided a new theoretical basis for manifolds analysis of the redundant fiber placement manipulator. Thus the subsequent optimization of inverse kinematics solutions manifolds problems were obtained by using self-motion curved surface manifolds theory in the mathematics, it provided a new method for improving the subsequent optimization self-motion control of the redundant fiber placement manipulator. The whole operating performance of the redundant fiber placement manipulator was improved greatly, and it would play a great role in promoting the quantity in the working fiber placement. The new method was verified by simulation of plane S-shaped inlet.
manipulator; redundancy; topology; manifolds; inlet
10.6041/j.issn.1000-1298.2017.06.051
2016-09-20
2016-10-19
國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(2014CB046501)
徐朋(1982—)，男，博士生，主要從事冗余鋪絲機(jī)械手的逆解及自運(yùn)動(dòng)流形研究，E-mail: xpnuaa@163.com
TP242.2
A
1000-1298(2017)06-0387-05
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徐 朋 程錦翔 應(yīng)明峰 李 奎
(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院， 南京 210016)
冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的拓?fù)淞餍畏治?/p>
徐 朋 程錦翔 應(yīng)明峰 李 奎
(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院， 南京 210016)
針對優(yōu)化的梯度投影算法在冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題中不一定存在最優(yōu)解的問題，提出了一種拓?fù)淞餍嗡惴?。將冗余鋪絲機(jī)械手的位形空間看作一個(gè)光滑流形，對耦合的位置逆解和姿態(tài)逆解進(jìn)行解耦，然后分別針對位置子流形和姿態(tài)子流形進(jìn)行仿真分析得到其相應(yīng)的仿真拓?fù)淞餍?。該方法可以將鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題抽象為數(shù)學(xué)中的曲面拓?fù)淞餍蝸硌芯?，為鋪絲機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)在流形上分析提供了理論基礎(chǔ)，同時(shí)也為后續(xù)鋪絲機(jī)械手的最優(yōu)化自運(yùn)動(dòng)控制提供了一種新的方法。最后以飛機(jī)S形進(jìn)氣道為例進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了所提方法的正確性。
機(jī)械手； 冗余； 拓?fù)洌?流形； 進(jìn)氣道
引言
復(fù)合材料纖維鋪放成型技術(shù)(Fiber placement, FP)是一種精確的復(fù)合材料先進(jìn)制造技術(shù)[1-2]，既可以鋪放規(guī)則曲面，也可以鋪放不規(guī)則的自由曲面，同時(shí)大大提高了復(fù)合材料的性能，降低了復(fù)合材料的生產(chǎn)成本，減輕了復(fù)合材料成型制品的質(zhì)量，不僅適合于航空航天、尖端武器裝備等高科技產(chǎn)品的應(yīng)用，同時(shí)也適合于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療等高端機(jī)械領(lǐng)域的應(yīng)用[3]。所以對于復(fù)合材料纖維鋪放成型技術(shù)的工作母機(jī)——冗余鋪絲機(jī)械手的研究已經(jīng)成為當(dāng)今先進(jìn)制造技術(shù)的一個(gè)新的研究方向[4]。
鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是實(shí)現(xiàn)整個(gè)鋪絲過程運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)控制的基礎(chǔ)[5-6]，對于冗余鋪絲機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題一般采用基于廣義逆的梯度投影算法[7-8]，基于梯度函數(shù)的不同選擇又出現(xiàn)了加權(quán)最小范數(shù)、最小奇異值、最小條件數(shù)、拉格朗日乘子等優(yōu)化算法，根據(jù)梯度的定義可知以上算法所得逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解不一定是冗余機(jī)械手的全局最優(yōu)逆解，而冗余機(jī)械手拓?fù)淞餍伟巳磕孢\(yùn)動(dòng)學(xué)解，所以得到了逆解的自運(yùn)動(dòng)流形[9-10]，就可以利用拓?fù)淞餍蔚男再|(zhì)從數(shù)學(xué)的角度來研究冗余鋪絲機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)的操作性能指標(biāo)。
拓?fù)淞餍问且粋€(gè)沒有全局坐標(biāo)，局部坐標(biāo)與歐式空間同態(tài)的拓?fù)淇臻g[11]。以拓?fù)淞餍螢楹诵暮突A(chǔ)的現(xiàn)代微分幾何學(xué)，在冗余機(jī)械手研究方面有著越來越多的應(yīng)用和研究，特別是在復(fù)雜冗余機(jī)構(gòu)中的非線性問題[12]，更容易得到具有幾何和物理意義的結(jié)果，為后續(xù)自運(yùn)動(dòng)控制提供一定的理論基礎(chǔ)。冗余機(jī)械手基于拓?fù)淞餍文孢\(yùn)動(dòng)學(xué)求解問題，國內(nèi)外諸多學(xué)者提出了很多算法[13-16]。
本文首先描述特殊結(jié)構(gòu)8自由度串聯(lián)鋪絲機(jī)械手的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[17-19]，在此基礎(chǔ)上分別描述位置和姿態(tài)空間的拓?fù)淞餍?，其次利用旋量理論結(jié)合參數(shù)方程的方法得到冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析解表達(dá)式[20-21]，最后通過仿真得到冗余鋪絲機(jī)械手的位置空間流形和姿態(tài)空間流形，然后利用飛機(jī)S形進(jìn)氣道為例驗(yàn)證所提方法的正確性。
1 冗余鋪絲機(jī)械手拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)
圖1中，滑動(dòng)導(dǎo)軌、6自由度庫卡機(jī)械手和旋轉(zhuǎn)芯模共同組成了8自由度串聯(lián)冗余機(jī)械手的閉環(huán)系統(tǒng)，由于冗余度的存在該系統(tǒng)有無數(shù)多個(gè)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解，逆解的變化呈現(xiàn)出拓?fù)淞餍蔚慕Y(jié)構(gòu)，通過對拓?fù)淞餍蔚难芯靠梢愿玫乩斫膺\(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的數(shù)學(xué)本質(zhì)，圖2為其相應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
圖1 8自由度冗余鋪絲機(jī)械手模型Fig.1 An 8-DOF redundant fiber placement manipulator model
圖2 8自由度冗鋪絲機(jī)械手拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Topological structure of 8-DOF fiber placement manipulator
2 解空間拓?fù)淞餍?/h2>
定義關(guān)節(jié)構(gòu)型空間
C=C1C2C3C4C5C6C7C8
(1)
式中C1——移動(dòng)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間C2～C7——各轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間C8——末端旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間
定義f為關(guān)節(jié)構(gòu)型空間C到工作空間W的映射函數(shù)，f由運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可以得到，由于f是微分同態(tài)映射，則f:C→W和f-1:W→C是各階偏導(dǎo)都存在的光滑映射，所以機(jī)械手關(guān)節(jié)所起的作用相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的函數(shù)，它實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)構(gòu)型空間和末端執(zhí)行器位姿工作空間之間的映射與逆映射。當(dāng)滑軌和末端旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)，8自由度鋪絲機(jī)械手逆解將會(huì)呈現(xiàn)出曲面拓?fù)淞餍蔚慕Y(jié)構(gòu)，它是關(guān)于C的一個(gè)8維流形，包括了冗余鋪絲機(jī)械手的全部逆解。
定義位置關(guān)節(jié)構(gòu)型空間
Cwz=C1C2C3C4C5C6C7C8
(2)
定義位置關(guān)節(jié)工作空間流形
(Cwl,Fwl)={(θwl,fwl(θwl))/fwl(θwl)=P,θwl∈Cwz}
(3)
式中P——工具坐標(biāo)系在慣性坐標(biāo)系中的位置矢量
Fwl——運(yùn)動(dòng)學(xué)正解映射集合
fwl——運(yùn)動(dòng)學(xué)正解映射
θwl——位置關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)流形
Cwl——位置關(guān)節(jié)工作空間流形，是一個(gè)8維拓?fù)淞餍?/p>
矢量P主要由位置關(guān)節(jié)d1、θ2、θ3、θ4、θ8決定，同時(shí)受到姿態(tài)關(guān)節(jié)θ5、θ6、θ7的影響。由于末端操作器工具坐標(biāo)系與腕點(diǎn)第7關(guān)節(jié)坐標(biāo)系連接固定，所以由工具坐標(biāo)系可以得到鋪絲機(jī)械手腕點(diǎn)第7關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的姿態(tài)和位置。
為了能將位置流形映射到三維空間，利用腕點(diǎn)矢量重新定義位置關(guān)節(jié)工作空間流形
C′wz=C1C2C3C4C8
(4)
(C′wl,F′wl)=(θ′wl,f′wl(θwl))/f′wl(θ′wl)=low(θ′wl∈C′wz)
(5)
式中l(wèi)ow——從基坐標(biāo)系原點(diǎn)到鋪絲機(jī)械手腕點(diǎn)的矢量
C′wl——位置關(guān)節(jié)工作空間流形，是一個(gè)5維拓?fù)淞餍?/p>
以d1、θ8作為冗余變量可以將位置關(guān)節(jié)θ2、θ3、θ4映射到三維空間。
定義姿態(tài)關(guān)節(jié)構(gòu)型空間
Czt=C2C3C4C5C6C7C8
(6)
定義姿態(tài)關(guān)節(jié)工作空間流形
(Czl,Fzl)=(θzl,fzl)/fzl(θzl)=(p,xT,zT) (θzl∈Czt)
(7)
式中xT、zT——末端工具坐標(biāo)系的姿態(tài)Czl——姿態(tài)工作空間流形
由于Czl是一個(gè)7維拓?fù)淞餍?，同樣不能在三維空間直觀展示，所以將位置關(guān)節(jié)θ2、θ3、θ4對腕關(guān)節(jié)姿態(tài)的影響歸結(jié)為一個(gè)關(guān)節(jié)的影響，定義為θ′4。
重新定義姿態(tài)關(guān)節(jié)工作空間流形
C′zt=C′4C5C6C7C8
(8)
(C′zl,F′zl)=(θ′zl,f′zl)/f′zl(θ′zl)=(low,x7,z7) (θ′zl∈C′zt)
(9)
式中x7、z7——第7關(guān)節(jié)沿x軸和y軸方向單位矢量，代表了第7關(guān)節(jié)姿態(tài)
C′zl——姿態(tài)關(guān)節(jié)工作空間流形
C′zl也是一個(gè)5維拓?fù)淞餍?，以θ?、θ8作為冗余變量同樣可以將姿態(tài)關(guān)節(jié)θ5、θ6、θ7映射到三維空間。
重新定義的位置空間拓?fù)淞餍蜟′wl和姿態(tài)空間拓?fù)淞餍蜟′zl就可以分別表示為以腰肩肘關(guān)節(jié)θ2、θ3、θ4和以腕關(guān)節(jié)θ5、θ6、θ7為主的曲面流形的結(jié)構(gòu)。
3 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解
利用旋量理論對8自由度冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解，機(jī)械手的初始狀態(tài)及各連桿間的尺寸參數(shù)如圖3所示。
圖3 冗余鋪絲機(jī)械手初始狀態(tài)Fig.3 Initial state of redundant fiber placement manipulator
初始狀態(tài)工具坐標(biāo)系{T}和慣性坐標(biāo)系{S}之間的變換為
(10)
一般工作狀態(tài)工具坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系之間的變換為
gst(θ)=
(11)
式中θ8——第8關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度α——壓輥軸線與芯模軸線的夾角r——鋪絲軌跡點(diǎn)處的芯模半徑a1～a6——鋪絲機(jī)械手結(jié)構(gòu)參數(shù)
將冗余關(guān)節(jié)設(shè)定為鋪絲軌跡點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系下的橫坐標(biāo)d1和θ8，根據(jù)旋量理論及已知的Paden-Kahan子問題可以求得腰肩肘和腕部各關(guān)節(jié)解析表達(dá)式
θ2=arctan2(?(qx-d1),±qy)
(12)
(13)
(14)
θ5=arctan2(q′x-d1,q′z-a3-a4)
(15)
(16)
θ7=arctan2(d1-q″x,a2+a5-q″y)
(17)
當(dāng)冗余關(guān)節(jié)d1、θ8在規(guī)定范圍內(nèi)變化時(shí)，本文所得到的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解θ2、θ3、θ4、θ5、θ6、θ7均是以d1、θ8為變量的函數(shù)。冗余鋪絲機(jī)械手8個(gè)關(guān)節(jié)變量都可以作為冗余變量，不同冗余變量下冗余鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)構(gòu)型是一致的，但是不同冗余變量下冗余機(jī)械手對應(yīng)的自運(yùn)動(dòng)流形是不同的，為了實(shí)際鋪絲過程中方便測量和計(jì)算，本文以d1、θ8作為冗余變量來計(jì)算逆解及拓?fù)淞餍畏治?，其中?耦合于gst(θ)。
4 仿真分析
定義臂形標(biāo)志
基于以上分析分別得到腰肩肘關(guān)節(jié)在不同臂形標(biāo)志下的位置工作空間仿真拓?fù)淞餍危鐖D4所示。
圖4 不同臂形標(biāo)志下的位置空間仿真拓?fù)淞餍蜦ig.4 Position space simulation topological manifolds in different arm configurations
由圖4所示的位置拓?fù)淞餍慰梢钥吹疆?dāng)鋪絲機(jī)械手處于右上臂形和左上臂形時(shí)位置關(guān)節(jié)θ2、θ3、θ4具有較大的活動(dòng)空間和靈活性，正常鋪絲工作一般在上臂形進(jìn)行。
腕關(guān)節(jié)θ5、θ6、θ7在不同臂形標(biāo)志下的姿態(tài)工作空間仿真拓?fù)淞餍畏謩e如圖5、6所示。
圖5 右臂形狀態(tài)下的姿態(tài)空間仿真流形Fig.5 Posture space simulation topological manifolds for right arm configuration
圖6 左臂形狀態(tài)下的姿態(tài)空間仿真流形Fig.6 Posture space simulation topological manifolds for left arm configuration
由圖5、6可知當(dāng)針對特定鋪絲軌跡點(diǎn)時(shí)，鋪絲機(jī)械手腕關(guān)節(jié)姿態(tài)處于右上臂形和左上臂形時(shí)具有較大靈活性，綜合位置關(guān)節(jié)考慮可知當(dāng)鋪絲機(jī)械手處于右上臂形不翻腕的狀態(tài)下具有最大工作空間，同時(shí)靈活性和避障礙能力也越強(qiáng)，在此基礎(chǔ)之上可以利用拓?fù)淞餍蔚男再|(zhì)來研究鋪絲機(jī)械手的關(guān)節(jié)逆解。拓?fù)淞餍斡脕硌芯坑梢唤M變量組成的空間特性，其上每一點(diǎn)處的切向量表征了該點(diǎn)的速度矢量，所有切向量的集合定義為該點(diǎn)的切空間，切空間與光滑函數(shù)的結(jié)合可以研究鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)，更有利于對鋪絲過程的全局性優(yōu)化。同時(shí)為了驗(yàn)證所得拓?fù)淞餍蔚恼_性，在鋪絲機(jī)械手處于右上臂形不翻腕的情況下，以飛機(jī)S形進(jìn)氣道軌跡曲線為例來驗(yàn)證所得拓?fù)淞餍蔚恼_性，同時(shí)也利用拉格朗日優(yōu)化的梯度投影算法得到了相應(yīng)的仿真曲線作為對比，如圖7所示。
圖7 飛機(jī)S形進(jìn)氣道仿真軌跡Fig.7 Simulation path for plane S-shaped inlet
由圖7可知本文所用拓?fù)淞餍畏椒ㄏ啾扔诶窭嗜諆?yōu)化的梯度投影法更接近于期望軌跡，證明了本文所用拓?fù)淞餍畏椒ǖ恼_性和合理性，同時(shí)本文在冗余鋪絲機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)和拓?fù)淞餍沃g建立了合適的橋梁，為后續(xù)優(yōu)化逆解的求取和最優(yōu)自運(yùn)動(dòng)控制的選擇奠定了基礎(chǔ)。
5 結(jié)論
(1) 應(yīng)用拓?fù)淞餍畏椒ㄑ芯苛巳哂噤伣z機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解，分別在其位置工作空間和姿態(tài)工作空間得到了相應(yīng)的仿真流形，將鋪絲機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題成功轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)中的拓?fù)淞餍螁栴}，這樣就可以通過對拓?fù)淞餍蔚难芯縼淼玫戒伣z機(jī)械手的最優(yōu)逆解，為后續(xù)最優(yōu)的自運(yùn)動(dòng)控制奠定基礎(chǔ)。
(2)通過對飛機(jī)S形進(jìn)氣道仿真軌跡的對比，拓?fù)淞餍畏椒ǖ玫降哪孢\(yùn)動(dòng)學(xué)解相比于拉格朗日優(yōu)化的梯度投影算法更適合于鋪絲軌跡的要求，同時(shí)有效提高了鋪絲過程的精確度。
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Topological Manifolds Analysis for Inverse Kinematics of Redundant Fiber Placement Manipulator
XU Peng CHENG Jinxiang YING Mingfeng LI Kui
(CollegeofMechanicalandElectricalEngineering,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China)
A new topological manifolds method was proposed to solve the inverse kinematics problem of the redundant fiber placement manipulator. It improved the calculation precision compared with the optimized projected gradient method. A structure of smooth topological manifolds was presented by the inverse kinematics solution of redundant fiber placement manipulator, the simulation topological manifolds were obtained when the position sub-manifolds and posture sub-manifolds had a different simulation analysis for the redundant fiber placement manipulator model, it was like the function mapping in the mathematics from the manipulator joints space to the working space of the end effector. The tangent vector described velocity vector for each point on the topological manifolds, the gather of all these tangent vectors were defined as the tangent vector space on the point. The kinematics problems of the redundant fiber placement manipulator were abstracted to mathematically curved surface topological manifolds problem in the new method, it provided a new theoretical basis for manifolds analysis of the redundant fiber placement manipulator. Thus the subsequent optimization of inverse kinematics solutions manifolds problems were obtained by using self-motion curved surface manifolds theory in the mathematics, it provided a new method for improving the subsequent optimization self-motion control of the redundant fiber placement manipulator. The whole operating performance of the redundant fiber placement manipulator was improved greatly, and it would play a great role in promoting the quantity in the working fiber placement. The new method was verified by simulation of plane S-shaped inlet.
manipulator; redundancy; topology; manifolds; inlet
10.6041/j.issn.1000-1298.2017.06.051
2016-09-20
2016-10-19
國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(2014CB046501)
徐朋(1982—)，男，博士生，主要從事冗余鋪絲機(jī)械手的逆解及自運(yùn)動(dòng)流形研究，E-mail: xpnuaa@163.com
TP242.2
A
1000-1298(2017)06-0387-05
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