一類解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式

郭 棟， 李宗濤

(1. 滁州職業(yè)技術學院基礎部，滁州 239000； 2. 廣州民航職業(yè)技術學院基礎部，廣州 510403)

一類解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式

郭 棟1*， 李宗濤2

(1. 滁州職業(yè)技術學院基礎部，滁州 239000； 2. 廣州民航職業(yè)技術學院基礎部，廣州 510403)

單葉函數(shù); H(α,A,B)函數(shù);Fekete-Szeg?不等式

Keywords：univalentfunction; H(α,A,B)function;Fekete-Szeg?inequality

令H表示形如

f(z)=z+a2z2+a3z3+…

(1)

FEKETE和SZEG?[1]證明了：設f(z)S， f(z)由式(1)給出，0≤u<1，則

且對每個u等號都成立.

1994年,何維明[2]引入了函數(shù)類

并且研究了此函數(shù)類的Fekete-Szeg?不等式.

仿照函數(shù)類B(β,α),本文定義函數(shù)類H(α,A,B)：

(2)

記函數(shù)f(z)H(α,A,B),其中冪函數(shù)取主值.

當函數(shù)類H(α,A,B)的參數(shù)取一些特殊值時,就得到我們熟知的函數(shù)類,例如[2-3]：

(1)當A=1-2ρ,B=-1時,

其中0≤ρ<1.

(2)當A=1-2α,B=-1,α=β時, H(β,1-2α,-1)=B(β,α).

(3)當A=1-2α,B=-1,α=1時,H(1,1-2α,-1)=P(α).

文獻[5-9]研究了H中一些子類的Fekete-Szeg?問題. 本文利用施瓦茲函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式，得到了H(α,A,B)上的Fekete-Szeg?不等式，并推廣了一些結果.

引理1[10]設ω(z)=d1z+d2z2+…在zU時解析,且|ω(z)|≤|z|,則對任意的復數(shù)t,有}. 等號在函數(shù)ω(z)=z2和ω(z)=z時成立.

引理2[11]設ω(z)=d1z+d2z2+…在zU時解析,且|ω(z)|≤|z|,則對任意的實數(shù)t有

和

引理3[12]設p(z)=1+p1z+p2z2+…在U={z:|z|<1}內解析且滿足Rep(z)>0，則

下面給出本文的主要結果及證明.

且對所有的μ等號都成立.

(3)

將f(z)、ω(z)的冪級數(shù)展開式代入式(3)，并比較恒等式兩邊z和z2兩項的系數(shù)，可得

(4)

所以

(5)

當α≠0時，相應的極值函數(shù)為

或

且對所有的μ等號都成立.

注1 推論1中令α=β,ρ=α，H(α,ρ)就變?yōu)槲墨I[2]的函數(shù)類B(β,α)，μ由實數(shù)推廣到復數(shù).

由定理1的證明過程及引理2可得：

若μ1≤μ≤μ2，由引理2，定理2可以改進為：

且對所有的μ等號都成立，其中μ3=-B(1+α)2/[(A-B)(1+2α)].

且對所有的μ等號都能成立.

類似于定理1的證明,可以證明定理4,此處略.

且對所有的μ等號都能成立.

注2 推論2中令k=1，得文獻[4]中R(0,0,0)的Fekete-Szeg?不等式.

[1]FEKETEM,SZEG?G.EineBermerkunguberungeradeschlichtefunktionen[J].JournaloftheLondonMathematicalSociety,1933,8(1):85-89.

[2] 何維明. 某族解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式[J]. 長沙交通學院學報,1994,10(3):13-17.

HEWM.TheFekete-Szeg?inequalytiesforcertainclassanalyticfunctions[J].JournalofChangshaCommunicationsInstitute,1994,10(3):13-17.

[3]OWAS,AOUFMK,NASRMA.Noteoncertainsubclassofclose-to-convexfunctionsoforderα[J].InternationalJournalofMathematics&MathematicalSciences,1990,13(1):189-192.

[4] 高純一. 近于凸函數(shù)族的一個子類[J]. 長沙交通學院學報,1994,10(4):1-7.

GAOCY.Asubclassofclose-to-convexfunctions[J].JournalofChangshaCommunicationsInstitute,1994,10(4):1-7.

[5]LIUMS.Oncertainclassofanalyticfunctionsdefinedbydifferentialsubordination[J].ActaMathematicaScientia,2002,22B(3):388-392.

[6] 劉名生,崔志峰. 一類解析函數(shù)子類的Fekete-Szeg?不等式[J]. 華南師范大學學報(自然科學版)，2010(1):1-4.

LIUMS,CUIZF.Fekete-Szeg?inequalitiesforsomesubclassesofanalyticfunctions[J].JournalofSouthChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition),2010(1):1-4.

[7] 鮑春梅,李書海. 一類β級擴展的Bazilevic函數(shù)及其Fekete-Szeg?問題[J]. 華南師范大學學報(自然科學版)，2010(3):7-10.

BAOCM,LISH.AclassofβrankexpandedBazilevicfunctionandFekete-Szeg?problem[J].JournalofSouthChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition),2010(3):7-10.

[8] 郭棟,李宗濤,楊家穩(wěn). 一類解析函數(shù)類的Fekete-Szeg?問題[J]. 華南師范大學學報(自然科學版)，2012,44(4):28-30.

GUOD,LIZT,YANGJW.TheFekete-Szeg?inequlitityforsomesubclassesanalyticfunctions[J].JournalofSouthChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition),2012,44(4):28-30.

[9] 崔志峰,劉名生. 用卷積定義的解析函數(shù)子類的Fekete-Szeg?不等式[J]. 數(shù)學雜志，2011，31(5):954-961.CUIZF,LIUMS.Fekete-Szeg?inequalitiesforcertainsubclassesofanalyticfunctionsdefinedbyconvolution[J].JournalofMathematics,2011,31(5):954-961.

[10]KEOGHFR,MERKESEP.Acoefficientinequalityforcertainclassofanalyticfunctions[J].ProceedingsoftheAmericanMathematicalSociety,1969,20:8-12.

[11]PROKHOROVDV,SZYNALJ.Inversecoefficientsfor(α,β)-convexfunctions[J].AnnalesUniversitatisMariaeCurie-SklodowskaA,1981,35:125-143.

[12] 劉名生. 某類解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式[J]. 數(shù)學物理學報,2002,22A(1):8-14.

LIUMS.TheFekete-Szeg?inequalityforcertainclassofanalyticfunctions[J].ActaMathematicaScientia,2002,22A(1):8-14.

【中文責編：莊曉瓊 英文責編：肖菁】

TheFekete-Szeg?InequalityforASubclassofAnalyticFunctions

GUODong1*，LIZongtao2

(1. Foundations Department, Chuzhou Vocational and Technical College, Chuzhou 239000, China；2. Foundations Department, Guangzhou Civil Aviation College, Guangzhou 510403, China)

2016-01-12 《華南師范大學學報(自然科學版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

安徽省高校自然科學基金重點資助項目(KJ2015A372)

O

A

1000-5463(2017)03-0114-03

*通訊作者:郭棟，副教授,Email：Gd791217@163.com.