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      一道靜摩擦力試題的多種正解和誤解分析

      2017-06-27 03:23:48周化海黃紹書
      物理教師 2017年6期
      關(guān)鍵詞:水平面二面角木塊

      周化海 黃紹書

      (六盤水市第23中學(xué),貴州 六盤水 553001)

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      ·復(fù)習(xí)與考試·

      一道靜摩擦力試題的多種正解和誤解分析

      周化海 黃紹書

      (六盤水市第23中學(xué),貴州 六盤水 553001)

      對網(wǎng)上激烈熱議的一道關(guān)于靜摩擦力的測試題進(jìn)行詳細(xì)分析,并給出其多種正確解法及錯誤解法.同時,對一些相關(guān)問題予以說明.

      靜摩擦力; 分析; 二次旋轉(zhuǎn); 二面角; 投影面積

      1 問題及背景

      圖1

      題目.在水平桌面上放置一正方形薄木板abcd,在木板的正中間放一質(zhì)量為m的木塊.先以木板的ad邊為軸緩慢將木板轉(zhuǎn)θ角,再以ab邊為軸將木板向上緩慢轉(zhuǎn)θ角,如圖1所示.整個過程中木塊沒有滑動,則轉(zhuǎn)動后木塊受到的摩擦力大小為

      這是網(wǎng)上最近激烈熱議的一道關(guān)于靜摩擦力的測試題.

      2 分析的思路

      這是一道看似簡單,實(shí)則是頗具難度的試題.它對數(shù)學(xué)知識的儲備要求較高,必須要有一定的空間想象力和二面角的思維,并能正確求出涉及到的二面角,才能給出正確的結(jié)果.

      這道練習(xí)題的求解關(guān)鍵通常是找出木板經(jīng)二次旋轉(zhuǎn)之后與水平面之間的夾角,即木板與水平面構(gòu)成的空間二面角.

      3 正確的解析

      現(xiàn)將討論的幾種比較好的正確解法進(jìn)行梳理,以飧讀者.

      解法1:設(shè)木塊在初始平面1的位置O到正方形各邊的距離為L,則

      木板第1次繞ad轉(zhuǎn)θ角到平面2,令這時Oa與平面1的夾角為α,如圖2所示,那么

      圖2

      圖3

      如圖3所示,木板第2次繞ab轉(zhuǎn)θ角到平面3時,Oa與平面2的夾角顯然亦為α,因此Oa與平面1的夾角必為2α.所以,木塊此時受到的摩擦力大小為

      f=mgsin2α=2mgsinαcosα=

      從而,選項(xiàng)(D)正確.

      解法2:設(shè)木板的初始位置為平面1,并令設(shè)正方形的邊長為L,則正方形的面積為

      S=L2.

      木板第1次繞ad轉(zhuǎn)θ角到平面2時,正方形在平面1的投影面積為

      S1=Scosθ=L2cosθ.

      木板第2次繞ab轉(zhuǎn)θ角到平面3時,正方形在平面2的投影面積亦為

      S2=Scosθ=L2cosθ.

      因此,此時正方形在平面1的投影面積為

      S3=S2cosθ=L2cos2θ.

      設(shè)平面3與水平面1之間夾角為φ,則有

      S3=L2cosφ,

      那么

      cosφ=cos2θ.

      所以,木塊此時受到的摩擦力大小為

      同理,選項(xiàng)(D)正確.

      圖4

      解法3:設(shè)木板的初始位置為平面 1,第1次繞ad轉(zhuǎn)θ角的位置為平面2,第2次繞ab轉(zhuǎn)θ角的位置平面3,且平面3與水平面1之間夾角為α.令木塊重力在各個平面上的法向投影分別為N1、N2、N3,木塊受到的摩擦力為f,如圖2—圖4所示.那么

      N1=mg,

      N2=N1cosθ=mgcosθ,

      N3=N2cosθ=mgcos2θ.

      且N32+f2=(mg)2,

      所以,選項(xiàng)(D)正確.

      這一解法避開求木板經(jīng)2次旋轉(zhuǎn)后與水平面之間的夾角α.但求出摩擦力f后,可根據(jù)f=mgsinα,

      得到平面3與水平面1之間夾角α滿足

      圖5

      解法4:設(shè)木板的初始位置平面的法向量OZ為單位長度1,第1次轉(zhuǎn)動平面時法向量轉(zhuǎn)θ角變?yōu)镺Q,第2次轉(zhuǎn)動平面時法向量亦轉(zhuǎn)θ角變?yōu)镺P,如圖5所示.令OP與OZ的夾角為α角,那么

      所以

      因此

      因而,木塊此時受到的摩擦力大小為

      故,選項(xiàng)(D)正確.

      這4種解法簡繁各異,但都能達(dá)到殊途同歸的效果.

      4 隱蔽的錯誤

      圖6

      在討論中,還給出一些比較隱蔽的錯誤解法,我們摘取其中比較典型的兩例,供同行參考,以求共同提高.

      錯解1:設(shè)木板先后繞ad、ab轉(zhuǎn)動θ角之后與水平面之間的夾角為α,如圖6所示.那么

      因此

      所以,木塊受到的摩擦力大小為

      從而得出選項(xiàng)(B)正確.

      錯解2:設(shè)正方形木板的邊長為L.那么,木板以ad邊為軸將木板轉(zhuǎn)θ角后,則b點(diǎn)比a點(diǎn)高Lsinθ;木板再以ab邊為軸將木板轉(zhuǎn)θ角后,同理c點(diǎn)比b點(diǎn)高Lsinθ.令此時ac與水平面之間的夾角α,那么

      因此,木塊受到的摩擦力大小為

      因而,選項(xiàng)(B)正確.

      這兩種分析方法的錯誤隱蔽性,在于木板經(jīng)二次轉(zhuǎn)動之后,均認(rèn)為正方形的b點(diǎn)與d點(diǎn)等高.

      5 思考與結(jié)語

      物理教學(xué)中必須加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力培養(yǎng),這是培養(yǎng)學(xué)生物理核心素養(yǎng)的要求所在,這也就要求物理教師有足夠的數(shù)學(xué)知識儲備.

      眾多物理QQ群已經(jīng)成為物理教師專業(yè)發(fā)展的網(wǎng)絡(luò)平臺,通過這一平臺能使教師的思想和專業(yè)素養(yǎng)都較快的提升.

      本文是物理QQ群全體教師討論的結(jié)晶,筆者僅是給出其中一種簡易解法的談?wù)撜咧唬诖?特別感謝四川鄧學(xué)軍老師、湖北許文老師、江西涂德新老師以及北京王小老師的有益討論.

      2017-01-11)

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