江蘇省泰州市姜堰區(qū)蔣垛中學(xué) (225503) 徐愛芳

應(yīng)用均值換元法解高考最值問題

江蘇省泰州市姜堰區(qū)蔣垛中學(xué) (225503)
徐愛芳

1.應(yīng)用均值換元法解最大值問題

評(píng)注:此題從表面上看似乎與均值換元無關(guān)，使人陷入“山窮水盡疑無路”之境，但仔細(xì)觀察題目條件的特點(diǎn)，充分展開聯(lián)想，經(jīng)過變形化簡(jiǎn)，發(fā)揮思維的創(chuàng)造性，利用不等式簡(jiǎn)捷明快地求得了最大值，可謂解法靈活巧妙，思路匠心獨(dú)具，不得不令人拍案叫絕.

2.應(yīng)用均值換元法解最小值問題

評(píng)注:本題由a+b=2，直接聯(lián)想到平均值換元，思路明析，目標(biāo)明確，方法簡(jiǎn)捷，別具風(fēng)味.

3.應(yīng)用均值換元法解最大值和最小值問題

評(píng)注:本題如用常規(guī)方法求最大值，可將原式兩邊平方后，通過化簡(jiǎn)變形去尋找解題途徑，然而應(yīng)用均值換元解，不僅方法新穎，而且簡(jiǎn)捷別有風(fēng)味.本題解法的巧妙之處在于通過均值換元后，大大減少了計(jì)算量，降低了解題的難度，充分顯示了均值代換的優(yōu)越性.

例4 (2010年浙江大學(xué)自主招生考試題)設(shè)x,y≥0,2x+y=6,求z=4x2+3xy+y2-6x-3y的最大值和最小值.

評(píng)注:本題用一般的思維方式考慮，很難找到解題的方法或是過程相當(dāng)復(fù)雜，而通過2x+y=6=3+3,聯(lián)想我們?cè)O(shè)2x=3-d,y=3+d,從而溝通了題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系，使問題輕松得到解決，此法不僅別具一格，方法新穎，而且解題過程充分體現(xiàn)了均值換元思想的應(yīng)用價(jià)值，更加顯示出均值代換在解題中的重要作用.

例5 (江蘇省蘇北四市2015年春高三一模試題)設(shè)x、y、z為非負(fù)數(shù)，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-2xyz的最大值和最小值.

縱觀以上五例可以看出應(yīng)用均值換元法求最大(小)值，其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設(shè)及所求題目的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過合理的推理，探究出問題中隱藏的均值關(guān)系，列出符合題意的關(guān)系式，以達(dá)到解題的目的.

[1]趙春，孫健.應(yīng)用均值代換法智解競(jìng)賽最值問題.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版)2016,1.

[2]于志洪.應(yīng)用三角換元法解競(jìng)賽最值問題.數(shù)學(xué)通訊(上半月).2015,4.