蔡虹

數(shù)學(xué)概念是反映事物在空間形式和數(shù)量關(guān)系方面本質(zhì)屬性的基本單位，是數(shù)學(xué)知識體系中最基本的構(gòu)成元素。讓學(xué)生正確掌握一定的數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)課程標準規(guī)定的基本任務(wù)，也是學(xué)生具有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要求和標志。

學(xué)生在建構(gòu)自身概念的過程中，是以自身的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)的。由于知識經(jīng)驗、生活經(jīng)驗、認知水平的差異，學(xué)生對同一概念的理解和認知會有所不同，學(xué)生頭腦中存在的與科學(xué)概念不一致的認識稱為“迷思概念”。學(xué)生在學(xué)習(xí)和運用重要的數(shù)學(xué)概念時常常受到迷思概念困擾，影響數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)質(zhì)量。修正數(shù)學(xué)迷思概念教學(xué)的關(guān)鍵是促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的正確理解和運用，減少迷思概念的產(chǎn)生，從不同的角度修正自己的經(jīng)驗和認識，實現(xiàn)對科學(xué)概念的全面準確理解。

一、把握認知起點：迷思概念修正的前提

建構(gòu)主義認為，概念學(xué)習(xí)是學(xué)生迷思概念改變、發(fā)展和重建的過程，原有認知結(jié)構(gòu)對新知識學(xué)習(xí)具有“可利用性”“可辨別性”。學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)是否有用于同化新知識的觀念，是概念學(xué)習(xí)活動順利進行的關(guān)鍵。學(xué)生構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)是以原有的認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)內(nèi)容為基礎(chǔ)的。如果原有認知結(jié)構(gòu)缺乏新知識學(xué)習(xí)的連接點，新內(nèi)容的輸入沒有相應(yīng)的舊知與之發(fā)生作用，原有的認知結(jié)構(gòu)就不可能進行擴充和建立新的認知結(jié)構(gòu)。

教師研究學(xué)生原有概念和思維方式，掌握其學(xué)習(xí)和理解知識的障礙是概念修正的前提。教師只有深入了解學(xué)生的迷思概念，加強對學(xué)生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)時的有利經(jīng)驗、思維障礙、學(xué)習(xí)路徑的研究，才能合理地創(chuàng)設(shè)認知沖突。了解學(xué)生原有的迷思概念，可以采用課前調(diào)查和導(dǎo)課了解的方法得到。

例如在六年級學(xué)習(xí)“比例尺”前對學(xué)生進行調(diào)研，出示中國地圖，提問學(xué)生：你見過它嗎？它表示什么意思？你是怎么理解的，把你的理解寫下來。調(diào)研的目的是了解學(xué)生對生活中常見的比例尺是否有感知以及對比例尺的理解。調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生多從長度比、距離比或者面積比等角度來理解比例尺的概念。這說明比例尺對學(xué)生來說并不陌生，但熟悉并不等于熟知，學(xué)生對比例尺的概念理解容易受到長度和面積兩個維度的干擾，而面積又比長度容易感知。通過前期調(diào)查，了解學(xué)生認知偏差，教師在教學(xué)中就可以設(shè)計適應(yīng)學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的認知活動。

二、搭建問題支架：迷思概念修正的動力

建構(gòu)主義支架式教學(xué)的關(guān)鍵是根據(jù)學(xué)生認知的“最近發(fā)展區(qū)”，設(shè)計適度的“腳手架”幫助學(xué)生主動學(xué)習(xí)，并完成在他人的協(xié)助下能完成的學(xué)習(xí)任務(wù)。腳手架的搭建需要教師具備問題意識，有了問題才會有真正意義上的思考和活動。問題支架把新知識分解轉(zhuǎn)換成幾個支架問題，讓學(xué)生通過一定的方式沿著問題支架逐漸建構(gòu)新知識。

當學(xué)生用迷思概念理解和解釋問題時，學(xué)生原有的概念與科學(xué)概念出現(xiàn)“不協(xié)調(diào)”現(xiàn)象，學(xué)生無法用原有迷思概念解決問題，這時學(xué)生會依托教師設(shè)計的問題支架主動地修正迷思概念。心理學(xué)研究表明，當認知沖突越強烈，學(xué)生的求知欲就會越強，學(xué)習(xí)思維的價值也就越大。教師搭建的問題支架，需要以問題沖突動搖其迷思概念，幫助學(xué)生進行概念的同化或順應(yīng)，從而形成科學(xué)的新概念。

例如對于四年級面積概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生很早就積累了對面積的體驗，但是這種體驗卻和他們對物體的其他屬性（長度、體積、顏色、質(zhì)量等）的感知揉合起來，特別是不能很好地和“體積”區(qū)分開來。同時，在理解面積時，學(xué)生能較好地理解“封閉圖形”“物體表面”“大小”等名稱術(shù)語，但對于“面積與圖形或物體擺放位置是否有關(guān)系”上，不少學(xué)生認為只有向上擺放才有面積。因此，教學(xué)時首先設(shè)計“數(shù)學(xué)書和鉛筆盒誰大”的情境，學(xué)生根據(jù)原有生活經(jīng)驗，認為面積多是“向上擺放的、平平的面”的大小。當出現(xiàn)物體表面不同方位的平面（曲面）時，學(xué)生就會對不同位置的面（如側(cè)面）是否具有面積產(chǎn)生思維沖突。教師追問：“面積是否和方位有關(guān)？真的只有向上擺放的‘面才有面積？鉛筆盒內(nèi)部的平面算不算面積？”搭建的問題支架讓學(xué)生真實暴露思維困惑，不斷地將學(xué)生的疑問指向?qū)γ娣e定義本身的理解，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)。

三、豐富探究經(jīng)驗：迷思概念修正的關(guān)鍵

經(jīng)驗是學(xué)生構(gòu)建理解的直接素材，是學(xué)生親身或間接經(jīng)歷活動過程而獲得的經(jīng)驗，是學(xué)生獲得知識、理解技能的載體。庫伯的經(jīng)驗學(xué)習(xí)理論就認為，經(jīng)驗是學(xué)習(xí)的途徑，學(xué)習(xí)是“始于經(jīng)驗、然后回歸于經(jīng)驗”?；净顒咏?jīng)驗的獲得是數(shù)學(xué)課程目標之一，也是學(xué)生獲得終身發(fā)展的基本源泉。教師應(yīng)當啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生把具體經(jīng)驗向抽象的、概念性的經(jīng)驗轉(zhuǎn)化，使其獲得抽象經(jīng)驗。

《數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》提出，學(xué)生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。數(shù)學(xué)迷思概念對學(xué)生而言，看不見、摸不著，理解起來有困難。創(chuàng)設(shè)多層次數(shù)學(xué)活動，通過動作表征、表象表征、符號表征等多種表征方式，可以豐富學(xué)生“做的經(jīng)驗”“想的經(jīng)驗”“用的經(jīng)驗”，幫助學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從抽象到具體的自我感悟、自我構(gòu)建的過程，從而促進學(xué)生理解抽象的概念。

例如“倍”的概念是學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中從加法結(jié)構(gòu)過渡到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點。學(xué)生往往看到“倍”就乘，沒有建立一個正確的“倍”的直觀模型。在學(xué)習(xí)前，多數(shù)學(xué)生具有“份”的概念，而少部分學(xué)生具有“倍”的認識，但受到“比多少”的影響就僅關(guān)注多出來的部分。教學(xué)時可設(shè)計四個層次活動，活動一：動手操作，讓學(xué)生用圖片擺出3和4比、3和5比、3和6比，體會不同數(shù)量間的比較關(guān)系；活動二：觀察比較，發(fā)現(xiàn)異同，讓學(xué)生體會哪組的擺法“最與眾不同”；活動三：表達關(guān)系，通過算式表達、文字表達等方式揭示“倍”的概念；活動四：變式練習(xí)，通過位置變式、數(shù)量變式使學(xué)生加深認識深化標準的重要性。在活動三環(huán)節(jié)，添加指向“倍”概念的追問，諸如“2在哪里”“為什么3個一圈”“明明是3個，為什么說看成1”等等，幫助說的學(xué)生加深“倍”概念理解，幫助聽的學(xué)生厘清兩者關(guān)系，學(xué)會新的表達方式。多層次的教學(xué)活動放慢了學(xué)生的腳步，留給學(xué)生更多思考和內(nèi)化的時間，為學(xué)生抽象概括、自主構(gòu)建提供了基礎(chǔ)，這比直接給出精確的數(shù)學(xué)概念更加有效。

四、強化應(yīng)用意識：迷思概念修正的平臺

數(shù)學(xué)是解決問題的工具，是培養(yǎng)應(yīng)用意識的載體?！稊?shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中提到培養(yǎng)應(yīng)用意識，一方面要利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解釋現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界問題；另一方面要從現(xiàn)實生活問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)方法加以解決。應(yīng)用意識的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，也包括概念教學(xué)過程。

學(xué)生對概念的掌握需要經(jīng)歷由具體到抽象，再由抽象到具體的多次往復(fù)過程。而教學(xué)中，教師容易把解題技巧直接告訴學(xué)生，再通過模仿記住技巧。結(jié)果在稍有變化的情境中，“特技”失靈，靈活應(yīng)用知識解決問題成為“泡影”。數(shù)學(xué)家波利亞曾說過，當我們不能解決一個問題的時候，不妨回到定義中去。這說明加強概念自覺應(yīng)用意識，在應(yīng)用中實現(xiàn)迷思概念的修正，尋找解決問題的新思路的重要性。

例如對于三年級分數(shù)概念的學(xué)習(xí)，教材和教師提供的圖形往往是形狀相同、大小相等的圖形，學(xué)生經(jīng)過反復(fù)的感官刺激，認為只有分得的每個部分形狀一樣才能叫平均分。教學(xué)中，教師補充圖1，讓學(xué)生說一說是否能用分數(shù)表示，如果可以，用怎樣的分數(shù)表示。許多學(xué)生認為不可以用分數(shù)表示。教師用動畫演示成圖2，學(xué)生立刻明白可以用1/2表示。教師追問：“涂色個數(shù)與未涂色個數(shù)有沒有變化？為什么現(xiàn)在可以用1/2表示？”學(xué)生在應(yīng)用概念解決問題過程中，認識到涂色的與未涂色位置不是整齊排放，但個數(shù)一樣多，也就是平均分。經(jīng)過這樣的變式教學(xué)，學(xué)生能準確理解平均分的概念，排除形式干擾，領(lǐng)悟平均分的本質(zhì)。

五、重構(gòu)概念體系：迷思概念修正的保障

學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)經(jīng)過個人內(nèi)化的產(chǎn)物，是科學(xué)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生心理結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)作用的結(jié)果。學(xué)生頭腦中的認知結(jié)構(gòu)處于一個不斷分化、逐步精確的過程，教師不僅要了解知識本身的體系，還要幫助學(xué)生在頭腦中形成知識網(wǎng)絡(luò)，促進學(xué)生對新概念的理解鞏固與深化。

心理學(xué)家布魯納認為，獲得的知識如果沒有完整的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那多半是會被遺忘的知識。數(shù)學(xué)比其他學(xué)科具有更高的邏輯性和系統(tǒng)性，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用概念圖、比較表、韋恩圖等方式，在理解相似概念異同、上下位概念聯(lián)系及區(qū)別中“重建”及“整合”的概念體系。

例如對于“直線、線段、射線”，學(xué)生學(xué)習(xí)時可能會混淆概念。教師可以設(shè)計比較表，通過一個有序的框架，讓學(xué)生對圖形進行比較、歸納和提煉，從直觀的數(shù)學(xué)模型向抽象的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化，感悟不同圖形的特點，認識圖形的本質(zhì)特征，從而加深對數(shù)學(xué)概念的理解。

概念學(xué)習(xí)是一種主動的學(xué)習(xí)過程，是將原有經(jīng)驗和新信息進行分析、選擇和重建的過程。教師要重視學(xué)生已有的迷思概念，整合優(yōu)化教學(xué)策略，把握教學(xué)細節(jié)，搭建問題支架，豐富探究方式，修正迷思概念，直到形成正確的科學(xué)概念。

責(zé)任編輯 羅 峰