導(dǎo)電圓環(huán)電感系數(shù)的計(jì)算方法辨析

龍中權(quán)， 周東明， 尹家賢

(1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076 2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410000)

導(dǎo)電圓環(huán)電感系數(shù)的計(jì)算方法辨析

龍中權(quán)1， 周東明2， 尹家賢2

(1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076 2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410000)

本文計(jì)算了導(dǎo)電圓環(huán)的內(nèi)自感系數(shù)和外電感系數(shù)。對(duì)于通有低頻電流的導(dǎo)電圓環(huán)，可近似認(rèn)為電流在導(dǎo)電圓環(huán)的截面內(nèi)均勻分布，且導(dǎo)電圓環(huán)半徑遠(yuǎn)大于導(dǎo)電圓環(huán)截面半徑。導(dǎo)電圓環(huán)的內(nèi)自感系數(shù)可以根據(jù)直導(dǎo)線的內(nèi)自感近似得出；而外電感系數(shù)可以根據(jù)導(dǎo)電圓環(huán)的空間輻射場(chǎng)計(jì)算得到。結(jié)果表明，最終得到的電感系數(shù)與實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)相符。文中采用的方法為任意幾何形狀導(dǎo)電環(huán)的外電感系數(shù)的計(jì)算提供了有效參考。

導(dǎo)電圓環(huán)；內(nèi)自感；外電感

0 引言

導(dǎo)體回路的交變電流所產(chǎn)生的交變磁場(chǎng)在自身回路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這屬于電感現(xiàn)象，可以用電感來描述。

導(dǎo)線中的電流，在導(dǎo)線內(nèi)部、外部都會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。因此，對(duì)于一般導(dǎo)線而言，不僅存在外電感，同時(shí)也存在內(nèi)電感。

長(zhǎng)直導(dǎo)線或長(zhǎng)直螺線管的電感都不難求出，而導(dǎo)電圓環(huán)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，其電感的計(jì)算卻并非容易。

本文首先討論了將導(dǎo)電圓環(huán)等效為磁振子，根據(jù)磁振子的輻射場(chǎng)，由電感的定義計(jì)算出導(dǎo)電圓環(huán)的外電感。經(jīng)驗(yàn)證，這種思路存在一定的問題，本文對(duì)此進(jìn)行了詳細(xì)的討論。計(jì)算導(dǎo)電圓環(huán)電感的方法是將導(dǎo)電圓環(huán)分割成無數(shù)短直導(dǎo)電圓柱，計(jì)算出各短直導(dǎo)電圓柱在空間的輻射場(chǎng)；導(dǎo)電圓環(huán)的輻射場(chǎng)可以看成是各個(gè)導(dǎo)電圓柱輻射場(chǎng)的疊加，進(jìn)而根據(jù)電感的定義計(jì)算出導(dǎo)電圓環(huán)的外電感。而導(dǎo)電圓環(huán)內(nèi)電感可以根據(jù)直導(dǎo)線的內(nèi)電感近似得到。

1 導(dǎo)電圓環(huán)內(nèi)電感系數(shù)的計(jì)算

本文主要討論導(dǎo)電圓環(huán)在通有低頻電流情況下其電感的計(jì)算，所以，電流I可以近似認(rèn)為在導(dǎo)電圓環(huán)的截面內(nèi)均勻分布。

假設(shè)導(dǎo)電圓環(huán)的截面半徑為a，圓環(huán)半徑為R。將導(dǎo)電圓環(huán)放置于直角坐標(biāo)系的XY平面內(nèi)，如圖1所示。

圖1 導(dǎo)電圓環(huán)放置示意圖

由于在導(dǎo)電圓環(huán)的內(nèi)部存在電磁場(chǎng)，則存在內(nèi)磁通，所以存在內(nèi)電感Li。因?yàn)殡娏髟趫A環(huán)截面均勻分布，所以當(dāng)圓環(huán)的半徑遠(yuǎn)大于圓環(huán)的截面半徑時(shí)(R>>a)，導(dǎo)電圓環(huán)的內(nèi)電感可以足夠近似地按照長(zhǎng)直導(dǎo)線內(nèi)電感情況計(jì)算。

一段長(zhǎng)為l，導(dǎo)電材料的磁導(dǎo)率為μ的長(zhǎng)直導(dǎo)線內(nèi)電感為[1]

(1)

從而，圓環(huán)半徑為R的導(dǎo)電圓環(huán)的內(nèi)電感為

(2)

2 導(dǎo)電圓環(huán)外電感系數(shù)的計(jì)算

導(dǎo)電圓環(huán)的外電感系數(shù)比較難以計(jì)算。目前，工程上普遍使用導(dǎo)電圓環(huán)的外電感計(jì)算公式為[2]

(3)

式(3)成立的前提條件是：假設(shè)電流在導(dǎo)電圓環(huán)的截面內(nèi)均勻分布，且R>>a，即：導(dǎo)電圓環(huán)的半徑遠(yuǎn)大于導(dǎo)電圓環(huán)的截面半徑?？紤]到，在滿足上述條件的情況下，導(dǎo)電圓環(huán)的內(nèi)電感往往可以忽略。

本文首先討論將導(dǎo)電圓環(huán)等效為磁振子來計(jì)算其外電感；然后討論將導(dǎo)電圓環(huán)分割成無數(shù)短直導(dǎo)電圓柱，通過計(jì)算其輻射場(chǎng)來計(jì)算外電感。

2.1 等效磁振子方法中存在的問題

由電磁場(chǎng)基本理論可知，小導(dǎo)電圓環(huán)在空間的輻射場(chǎng)可以等效為磁偶極子在空間的輻射場(chǎng)。所以，可以嘗試將導(dǎo)電圓環(huán)等效為磁振子，通過計(jì)算磁振子的輻射場(chǎng)，再來計(jì)算導(dǎo)電圓環(huán)所包圍平面的磁通量，然后根據(jù)電感的定義計(jì)算出導(dǎo)電圓環(huán)的外電感。

1) 導(dǎo)電圓環(huán)的空間輻射電磁場(chǎng)

已知磁振子在空間產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為[3]

(4)

(5)

(6)

其中K為自由空間波阻抗，l為磁振子的長(zhǎng)度，k為波數(shù)。

根據(jù)兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以得到導(dǎo)電圓環(huán)的空間輻射電磁場(chǎng)：

(7)

(8)

(9)

其中，R為導(dǎo)電圓環(huán)的半徑

2) 計(jì)算導(dǎo)電圓環(huán)外電感

由于考慮的是低頻電流下的導(dǎo)電圓環(huán)電感系數(shù)，所以導(dǎo)電圓環(huán)幾何大小相對(duì)其產(chǎn)生的電磁場(chǎng)的波長(zhǎng)來說屬于電小尺寸。

考慮導(dǎo)電圓環(huán)的近場(chǎng)，忽略低階項(xiàng)，得到

(10)

(11)

由回路的電感的定義可知

(12)

將式(10)與式(11)代入式(12)，在導(dǎo)電圓環(huán)所包圍的面上進(jìn)行積分，得到電流環(huán)的電感：

(13)

對(duì)式(13)進(jìn)行積分，得到導(dǎo)電圓環(huán)的電感

(14)

(15)

考慮到R?a，式(13)可近似為

(16)

上述計(jì)算導(dǎo)電圓環(huán)外電感的思路是將導(dǎo)電圓環(huán)等效為磁振子，通過計(jì)算磁振子在空間的輻射場(chǎng)，從而得到導(dǎo)電圓環(huán)在空間的輻射特性。然后由式(13)計(jì)算出導(dǎo)電圓環(huán)的外電感。

根據(jù)式(16)可以發(fā)現(xiàn)，由上述思路最終得到導(dǎo)電圓環(huán)的外電感與導(dǎo)電圓環(huán)的截面半徑?jīng)]有關(guān)系，只與導(dǎo)電圓環(huán)的半徑成正比，這顯然不符合實(shí)際的工程經(jīng)驗(yàn)，也與公式(3)相矛盾。

出現(xiàn)上述錯(cuò)誤推論的原因是導(dǎo)電圓環(huán)輻射場(chǎng)的計(jì)算存在問題。問題出在哪里？簡(jiǎn)單地認(rèn)為導(dǎo)電圓環(huán)的輻射場(chǎng)可以直接等效為磁振子的輻射場(chǎng)，這種等效是有一定前提條件的。一般情況下，小電流環(huán)輻射場(chǎng)與磁基本振子輻射場(chǎng)的等效關(guān)系，只有在小電流環(huán)中通有高頻電流情況下，兩者的輻射場(chǎng)才近似相同。并且，如果將導(dǎo)電圓環(huán)等效為磁偶極子，算出其輻射場(chǎng)后，不能再返回去計(jì)算磁偶極子圍繞區(qū)域的場(chǎng)分布。

問題就出在將通有低頻電流的導(dǎo)電圓環(huán)的輻射場(chǎng)等效為磁振子的輻射場(chǎng)是不正確的。

2.2 等效導(dǎo)電圓柱方法

低頻情況下，電流I在導(dǎo)電圓環(huán)的截面上近似均勻分布。 并且，滿足條件R?a，所以，在計(jì)算過程中，可以將導(dǎo)電圓環(huán)截面的電流看成在圓環(huán)截面中心線集中分布。

將導(dǎo)電圓環(huán)分割成無數(shù)段弧長(zhǎng)為dl的導(dǎo)電圓柱，由于細(xì)分的導(dǎo)電圓柱弧長(zhǎng)長(zhǎng)度很小，故可以將其近似看成是短直線導(dǎo)電圓柱。所以，導(dǎo)電圓環(huán)在空間的輻射場(chǎng)可以等效為各無限小導(dǎo)電圓柱輻射場(chǎng)的疊加。

在導(dǎo)電圓環(huán)上與 軸的夾角為β處，取出一段弧長(zhǎng)為dl的導(dǎo)電圓柱進(jìn)行研究(如圖1所示)。將短直導(dǎo)電圓柱放置于X1Y1Z1坐標(biāo)系內(nèi)，方向朝Z1軸放置，如圖2所示。

圖2 長(zhǎng)度為dl的導(dǎo)體柱放置示意圖

1) 無限小短直導(dǎo)電圓柱輻射場(chǎng)的計(jì)算

在通有電流I的導(dǎo)電圓柱中，截面電流密度

(17)

由矢量位公式

(18)

計(jì)算得到圓柱的矢量位

(19)

以上計(jì)算得到導(dǎo)電圓柱的矢量位是在直角坐標(biāo)X1Y1Z1下計(jì)算的結(jié)果，為了方便后續(xù)的計(jì)算，需要將AZ1轉(zhuǎn)化為基于X1Y1Z1直角坐標(biāo)的球坐標(biāo)下進(jìn)行研究，即：

(20)

(21)

根據(jù)矢量位與磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系

(22)

得到短直導(dǎo)電圓柱在空間產(chǎn)生的輻射電磁場(chǎng)為

(23)

(24)

(25)

由于考慮的是低頻電流，在所考慮圓環(huán)半徑范圍內(nèi)的輻射場(chǎng)是導(dǎo)電圓柱輻射的近場(chǎng)。

經(jīng)過上述簡(jiǎn)化，長(zhǎng)度為dl的短直導(dǎo)電圓柱的空間輻射場(chǎng)為

(26)

2) 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

上述的結(jié)果是在坐標(biāo)系X1Y1Z1下得到的輻射場(chǎng)，X1Y1Z1坐標(biāo)系是動(dòng)坐標(biāo)系，隨著角度β的變化而變化。為了使參考坐標(biāo)系一致，有必要進(jìn)行坐標(biāo)變換，將X1Y1Z1坐標(biāo)系下導(dǎo)電圓柱的輻射場(chǎng)轉(zhuǎn)換到XYZ坐標(biāo)系下進(jìn)行研究。

XYZ坐標(biāo)系與X1Y1Z1坐標(biāo)系的空間位置關(guān)系如圖3所示，X1軸與X軸的夾角為β。

圖3 兩個(gè)坐標(biāo)軸之間的幾何關(guān)系

由坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得到兩坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣

(27)

從而X1Y1Z1坐標(biāo)系與XYZ坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(28)

按照式(28)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，式(26)轉(zhuǎn)換到XYZ坐標(biāo)系后，得到

(29)

將式(29)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)并化簡(jiǎn)

(30)

3) 導(dǎo)電圓環(huán)外電感系數(shù)的計(jì)算

對(duì)式(30)在圓環(huán)所包圍的面內(nèi)進(jìn)行積分：

(31)

由式(31)可得到導(dǎo)電圓環(huán)在空間輻射的近磁場(chǎng)。從而，當(dāng)圓環(huán)內(nèi)的電流為I時(shí)，圓環(huán)包圍的半徑為(R-a)圓面內(nèi)的磁通Φ為

(32)

所以，導(dǎo)電圓環(huán)的外電感

(33)

給定導(dǎo)電圓環(huán)的截面半徑a以及導(dǎo)電圓環(huán)的半徑R，根據(jù)式(33)，通過數(shù)值積分即可算出各種情況下導(dǎo)電圓環(huán)的外電感。

綜合上述分析，導(dǎo)電圓環(huán)的電感由內(nèi)電感Li和外電感Le兩部分組成。導(dǎo)電圓環(huán)的總電感為內(nèi)電感Li和外電感Le之和，即

L=Li+Le

(34)

實(shí)際上，導(dǎo)電圓環(huán)的內(nèi)電感相對(duì)于外電感可以忽略。

4) 結(jié)果討論

對(duì)式(33)進(jìn)行數(shù)值積分，繪制導(dǎo)電圓環(huán)的外電感隨導(dǎo)電圓環(huán)半徑與截面半徑比值(R/a)變化的曲線；同時(shí)對(duì)經(jīng)驗(yàn)公式(3)取相應(yīng)點(diǎn)的數(shù)值以做比較，得到的圖形如圖4所示。

(a) R/a值較小

(b) R/a值較大時(shí)圖4 導(dǎo)電圓環(huán)外電感隨R/a變化曲線

對(duì)比圖4可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)(R/a)較小時(shí)，式(33)計(jì)算出的電感與工程經(jīng)驗(yàn)公式(3)計(jì)算出的結(jié)果差別較大，如圖4(a)中的第一個(gè)點(diǎn)(R/a=2),兩者的差別比較明顯；當(dāng)(R/a)較大時(shí)，兩個(gè)公式的計(jì)算結(jié)果

符合非常好。并且，隨著導(dǎo)電圓環(huán)半徑與圓環(huán)截面半徑的比值(R/a)增大，兩個(gè)計(jì)算公式的誤差逐漸減小。當(dāng)R/a=50時(shí)，兩個(gè)公式的誤差低至1%，上述誤差完全在可接受范圍內(nèi)。

3 結(jié)語

本文針對(duì)導(dǎo)電圓環(huán)的電感進(jìn)行了研究，包括導(dǎo)電圓環(huán)的內(nèi)電感和外電感，導(dǎo)電環(huán)的總電感如式(34)所示。

導(dǎo)電圓環(huán)的內(nèi)電感可以根據(jù)直導(dǎo)線內(nèi)電感近似得出。對(duì)于外電感，本文首先討論了將導(dǎo)電圓環(huán)等效為磁振子，再進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。分析表明，這種思路存在一定的問題，為此給出了合理的解釋。

本文采用的方法是將導(dǎo)電圓環(huán)分割成無數(shù)個(gè)短直導(dǎo)電圓柱，通過計(jì)算各個(gè)導(dǎo)電圓柱的輻射場(chǎng)，然后對(duì)所有導(dǎo)電圓柱的輻射場(chǎng)疊加，得到導(dǎo)電圓環(huán)的輻射場(chǎng)。根據(jù)電感的定義，計(jì)算出導(dǎo)電環(huán)的外電感。計(jì)算結(jié)果如式(33)，這與工程經(jīng)驗(yàn)公式(3)符合非常好。

本文采用的等效導(dǎo)電圓柱計(jì)算電感的方法，為計(jì)算任何幾何形狀導(dǎo)電環(huán)的外電感提供了一定的參考。

[1] 路宏敏，趙永久，朱滿座. 電磁場(chǎng)與電磁波基礎(chǔ)(第二版)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2012

[2] 鐘順時(shí). 電磁場(chǎng)基礎(chǔ)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2006

[3] 魏文元，宮德明等. 天線原理[M]. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1985

Analysis of Calculating Inductance Coefficient of Conducting Circular Ring

LONG Zhong-quan1， ZHOU Dong-ming2， YIN Jia-xian2

(1BeijingInstituteofAerospaceEngineeringSystem,Beijing100076，China2CollegeofElectronicScienceandEngineering，NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410000，China)

This paper explores the inductance coefficient of conducting circular ring, including internal self-inductance coefficient and external inductance coefficient. With consideration of low frequency current in conducting circular ring, the current can be regarded as distributing uniformly in cross section of the ring. The internal self-inductance can be calculated according to the inductance of straight line conduct; and external inductance can be calculated by the electromagnetic radiation field of conducting circular ring. The results show that the inductance coefficient conforms very well to engineering experiences. Furthermore, the methods adopted in this paper can be a reference calculating the inductance coefficient of conducting ring of any shape.

conducting circular ring; internal self-inductance; external inductance

2016-05-21;

2016-09-09

龍中權(quán)(1991-)，男，在讀研究生，研究方法為強(qiáng)電磁脈沖響應(yīng)，E-mail: yb_longzq@163.com

G426

A

1008-0686(2017)02-0094-05