天琴計劃軌道構(gòu)型長期漂移特性分析

萬小波，張曉敏，黎明

航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京100094

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天琴計劃軌道構(gòu)型長期漂移特性分析

萬小波，張曉敏*，黎明

航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京100094

為了實現(xiàn)天琴計劃航天器軌道構(gòu)型的長期穩(wěn)定漂移并滿足軌道構(gòu)型的穩(wěn)定性指標(biāo)，文章應(yīng)用優(yōu)化算法搜索航天器初始最優(yōu)瞬時軌道要素。建立考慮攝動情況下航天器軌道動力學(xué)模型，對導(dǎo)致等邊三角形軌道構(gòu)型發(fā)生長周期漂移的軌道要素進行了分析，并且將這些要素作為軌道設(shè)計的待優(yōu)化參量，應(yīng)用粒子群(Particle Swarm Optimization，PSO)智能尋優(yōu)算法進行優(yōu)化，應(yīng)用最終優(yōu)化得到的軌道要素進行軌道構(gòu)型仿真。仿真結(jié)果表明，在不進行軌道控制的情況下，4年內(nèi)軌道構(gòu)型呼吸角變化小于1.5°，臂長變化小于1 500 km，臂長變化速率小于10 km/s，初步滿足軌道構(gòu)型的穩(wěn)定性指標(biāo)。

天琴計劃；軌道構(gòu)型；長期漂移；穩(wěn)定性；粒子群優(yōu)化算法

引力波是愛因斯坦廣義相對論的四大預(yù)言之一[1]，被認為是時空的漣漪。直接證明引力波的存在意義重大，引力波的直接觀測是對愛因斯坦廣義相對論的最直接驗證，同時提供了一種除電磁輻射和粒子輻射之外觀測宇宙的新手段或新方法，進而發(fā)展引力波天文學(xué)。因此直接證明引力波的存在是歷代科學(xué)家多年的夙愿。

受地面系統(tǒng)噪聲及臂長的限制，地基引力波探測系統(tǒng)只能探測到高頻的引力波信號[2]。因此在宇宙空間建設(shè)探測系統(tǒng)開展低頻引力波信號的探測成為科學(xué)家的首選，典型代表有歐洲航天局LISA/eLISA計劃[3]。中國科學(xué)家也提出了類似的引力波空間探測計劃，比較典型代表有天琴計劃[4]。天琴計劃是由中山大學(xué)為首的科學(xué)家團隊發(fā)起的空間激光干涉引力波探測項目，該項目計劃在距離地球約105km高度的同一近圓軌道面內(nèi)放置航天器S1、S2、S3，各個航天器之間相位角相差120°，3顆航天器形成等邊三角形；在引力波探測期間，由于航天器運行軌道受到各種攝動因素的影響，該等邊三角形構(gòu)型會發(fā)生變化，然而引力波探測激光對準(zhǔn)子系統(tǒng)、激光穩(wěn)頻子系統(tǒng)、多普勒頻移測量子系統(tǒng)對等邊三角形構(gòu)型的穩(wěn)定性提出限制要求[5]，如果等邊三角形構(gòu)型穩(wěn)定性超出指標(biāo)要求，這些子系統(tǒng)的功能將下降或者無法工作，此時航天器需要經(jīng)過軌道機動使得等邊三角形構(gòu)型滿足穩(wěn)定性指標(biāo)要求，但是在航天器進行軌道機動期間內(nèi)，引力波探測任務(wù)將被中斷，這很可能錯過潛在的引力波源信號，因此，空間引力波探測任務(wù)要求等邊三角形軌道構(gòu)型在盡可能長的時間內(nèi)滿足穩(wěn)定性指標(biāo)要求；綜上所述，對于空間引力波探測任務(wù)來說，設(shè)計和分析航天器的初始瞬時軌道要素，使得航天器組成的三角形軌道構(gòu)型在盡可能長的任務(wù)期間內(nèi)滿足等邊三角形的穩(wěn)定性指標(biāo)要求是必不可少的工作。

航天器S1、S2、S3對應(yīng)不同的初始瞬時軌道要素，其形成的等邊三角形軌道構(gòu)型有著不同的長周期漂移特性，而航天器軌道受到的攝動是影響等邊三角形軌道構(gòu)型長周期漂移特性的主要因素，與此前空間科學(xué)性衛(wèi)星試驗計劃不同的是，比如重力測量衛(wèi)星,天琴計劃的軌道高度約為105km，遠遠高于重力測量衛(wèi)星的軌道高度，在分析重力測量衛(wèi)星軌道攝動時，主要考慮地球的攝動項[6]，而在分析天琴計劃航天器軌道攝動時主要考慮三體攝動，忽略地球自身的攝動。文獻[7]基于天琴計劃引力波探測任務(wù)要求，初步對上述等邊三角形的穩(wěn)定提出限制要求，本文主要通過設(shè)計和分析航天器初始瞬時軌道要素，從而對等邊三角形軌道構(gòu)型的長周期漂移特性展開分析研究，為后續(xù)開展天琴計劃相關(guān)任務(wù)提供借鑒作用。

1 建立模型

1.1 問題描述

天琴計劃與其他空間激光干涉引力波探測計劃不同的是，天琴計劃探測確定的引力波源信號，該引力波源是RXJ0806.3 +1527，其在天球赤道慣性坐標(biāo)系的位置如圖1所示，圖1中S代表太陽，E代表地球，地球繞太陽運行的黃道面、天球赤道面之間夾角為23°26′，S1、S2、S3表示3顆大尺度分布式航天器，航天器S1、S2、S3在同一軌道面內(nèi)以相位角相差120°形成等邊三角形。

在設(shè)計航天器S1、S2、S3初始軌道要素之前，首先必須知道3顆航天器平均軌道要素的數(shù)值大?。桓鶕?jù)天琴計劃所要探測的引力波源特性和位置信息，文獻[8]給出航天器S1、S2、S3平均軌道要素的數(shù)值大小如表1所示。

由前述可知，S1、S2、S3航天器軌道在運行時，三者形成等邊三角形構(gòu)型，在空間引力波探測期間，探測信號的精度和分辨率分別對兩干涉臂長的差量、兩條干涉臂之間夾角即呼吸角的變化量，以及干涉臂兩端航天器相對速度的大小提出嚴格的要求，這3項指標(biāo)要求均反映了上述等邊三角形構(gòu)型的穩(wěn)定性，故稱之為表征等邊三角形穩(wěn)定性要素，如表2所示。

表1 航天器S1、S2、S3平均軌道要素

表2 表征等邊三角形穩(wěn)定性要素指標(biāo)要求

本文基于表1航天器S1、S2、S3平均軌道要素，以保證天琴計劃探測器在不進行軌道控制的狀態(tài)下，盡可能長時間的連續(xù)工作為目標(biāo)，分析了系統(tǒng)的長周期漂移特性，確定了航天器初始瞬時軌道要素。

1.2 衛(wèi)星軌道動力學(xué)模型

對于天琴計劃，10萬公里高的軌道，考慮的軌道攝動因素應(yīng)包括地球J2項、月球和太陽引力攝動項，以及太陽光壓攝動項，但是引力波探測系統(tǒng)有一個無拖曳控制系統(tǒng)，專門用來消除系統(tǒng)受到的非保守力，因此太陽光壓不予以考慮?？紤]地球J2項、月球和太陽引力攝動項，航天器i在地心赤道慣性坐標(biāo)系下軌道動力學(xué)方程可以表示為[9]：

(1)

(2)

式中：Re為地球平均半徑；J2=1.082 64×10-3。

1.3 表征等邊三角形穩(wěn)定性要素計算公式

天琴計劃利用航天器S1、S2、S3形成一等邊三角形構(gòu)型，設(shè)該等邊三角形的3個頂點為S1、S2、S3；表征等邊三角形穩(wěn)定性要素有臂長Lsisj變化量，兩個干涉臂之間夾角θsi的變化量，干涉臂長變化速率vsisj；干涉臂長Lsisj，兩個干涉臂之間的夾角θsi，干涉臂長變化速率vsisj的計算公式為：

(3)

(4)

(5)

2 選擇待優(yōu)化參數(shù)

計算表征等邊三角形軌道構(gòu)型穩(wěn)定性要素有如下步驟：

1)已知航天器i初始軌道要素，由經(jīng)典軌道要素與直角法表示航天器運動之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系及旋轉(zhuǎn)矩陣[11]可得航天器i在初始時刻地心慣性坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)rio和速度坐標(biāo)vio；

2)由航天器i軌道動力學(xué)微分方程式(1)和(2)，應(yīng)用經(jīng)典四級四階R-K法，可求得航天器i在tn時刻的位置坐標(biāo)ritn和速度坐標(biāo)vitn；其中航天器軌道動力學(xué)微分方程中所考慮的攝動項有地球扁率J2攝動項，月球和太陽引力攝動項；選用的時間系統(tǒng)TDB，月球和太陽的星歷JPL DE421[12]，積分初始時刻2 034.01.01，積分的時間跨度4年；

3)由式(2)計算得到的航天器i在tn時刻的位置ritn和速度vitn坐標(biāo)，帶入式(3)～(5)，可得表征等邊三角形穩(wěn)定性要素在tn時刻的數(shù)值大小，以此類推，可得表征等邊三角形穩(wěn)定性要素在不同時刻的數(shù)值。

由于等邊三角形軌道構(gòu)型的臂長變化速度和呼吸角的變化線性近似依賴于干涉臂長的變化[13]，以下取干涉臂長的變化為研究對象；以表1中航天器S1、S2平均軌道要素作為航天器S1、S2的初始軌道要素，按照步驟1)～3)，計算得到在6個月內(nèi)航天器S1、S2形成的等邊三角干涉臂L12變化曲線如圖2所示。

干涉臂的變化有短周期漂移和長周期漂移，短周期漂移是航天器軌道運行周期時間范圍內(nèi)干涉臂有不規(guī)則的上下波動變化；長周期漂移是從整體趨勢看，隨著時間的推移，干涉臂長有遞減或者遞增的趨勢，由圖2干涉臂L12的變化曲線可知，干涉臂L12短周期漂移對其臂長變化影響不大，而長周期漂移速度較快，因為在不到一個月的軌道運行期內(nèi)，干涉臂L12的臂長變化已超出初始臂長的1%，干涉臂L13和L23也有類似的短周期和長周期的漂移特性；天琴計劃任務(wù)壽命是3～5年，因此對軌道構(gòu)型有長期穩(wěn)定漂移的特性要求，由上述分析可知，如果將表1中航天器平均軌道要素作為航天器初始瞬時軌道要素，軌道構(gòu)型穩(wěn)定性不滿足天琴計劃的任務(wù)要求，因此，需要重新選擇航天器初始軌道要素，降低干涉臂長周期漂移速度，使得干涉臂的變化在盡可能多的漂移狀態(tài)下滿足等邊三角形穩(wěn)定性指標(biāo)要求。

導(dǎo)致圖2中干涉臂L12長周期漂移不斷縮減的主要原因是航天器S1、S2的平均軌道要素半長軸am不同，在上述外推法計算航天器軌道的過程中，航天器S1、S2瞬時軌道要素半長軸at的變化曲線如圖3所示。

由圖3可知，由于軌道動力學(xué)攝動因素的影響，航天器S1、S2瞬時軌道要素半長軸at處于不斷波動的變化，二者不同，而航天器瞬時軌道要素半長軸at可近似表示[14]：

(6)

(7)

(8)

(9)

由上述分析可知，航天器S1、S2軌道平均軌道要素半長軸的不同是導(dǎo)致干涉臂L12長周期遞減的主要原因，因此選取航天器S1、S2軌道初始瞬時軌道要素半長軸作為待優(yōu)化的參數(shù)，這是因為航天器初始軌道要素半長軸基本決定了航天器的平均軌道要素半長軸的數(shù)值大小，本文通過優(yōu)化已選擇的待優(yōu)化參數(shù)，使得航天器S1、S2、S3形成等邊三角形構(gòu)型在航天器盡可能多的自由漂移狀態(tài)下滿足表2等邊三角形穩(wěn)定性的指標(biāo)要求。

3 基于PSO參數(shù)尋優(yōu)算法

(10)

式中：x表示空間粒子的位置；v表示粒子的速度，本文粒子位置x的參數(shù)為待優(yōu)化的S1、S2、S3航天器初始瞬時軌道要素半長軸；ω為慣性權(quán)重，用來調(diào)節(jié)粒子速度大?。沪?，δ2為兩個學(xué)習(xí)因子，rand1和rand2為0-1之間的隨機數(shù)，用來描述種群內(nèi)部信息交換的學(xué)習(xí)程度；pi表示該粒子迄今為止最優(yōu)位置；pg表示該粒子群迄今為止最優(yōu)位置；下標(biāo)i表示粒子編號，下標(biāo)j表示粒子維度，即指粒子向量的長度。

將PSO算法應(yīng)用到對航天器初始瞬時軌道要素半長軸尋優(yōu)中需要定義合理的適配度函數(shù)；設(shè)干涉臂L21或L12為L1，L13或L31為L2，L23或L32為L3，本文選取在一定的數(shù)值積分時間內(nèi)干涉臂L1、L2、L3各個變量的方差之和作為PSO尋優(yōu)算法的適配值函數(shù)H；設(shè)積分時間節(jié)點為t0,t1,…,tn-1，則Lij表示Li臂在積分時間節(jié)點tj處的數(shù)值大小，Ai表示干涉臂Li的平均值，表達式為：

(11)

(12)

對上述PSO優(yōu)化算法用Matlab編程語言實現(xiàn)，程序運行一次只能得到兩個優(yōu)化的參數(shù)，以S1、S2航天器為例，在整個PSO優(yōu)化算法迭代的過程中，S1、S2航天器初始瞬時軌道要素半長軸的收斂情況及適配值函數(shù)的變化趨勢分別如圖4所示。

最后得到S1、S2、S3航天器初始瞬時軌道要素半長軸的最優(yōu)解為：

(13)

將表1中分布式航天器初始軌道要素半長軸變換為經(jīng)過優(yōu)化得到的式(13)數(shù)據(jù)，航天器其他初始軌道要素不變，然后將變換后表1的數(shù)據(jù)帶入第2節(jié)計算表征等邊三角形穩(wěn)定性要素流程中，得到在4年天琴計劃任務(wù)期間內(nèi)表征等邊三角形穩(wěn)定性要素的變化曲線。

由上述計算的數(shù)據(jù)可得，在天琴計劃4年任務(wù)期間內(nèi)，干涉臂L1、L2、L3臂長變化量δL均符合表2對干涉臂長變化量提出的指標(biāo)要求。

由上述計算的數(shù)據(jù)可得航天器S1、S2、S3軌道構(gòu)型呼吸角在天琴計劃4年的任務(wù)期間內(nèi)變化量δθ滿足表2對呼吸角的指標(biāo)要求。

圖7為在天琴計劃4年的任務(wù)期間內(nèi)，干涉臂L1、L2、L3的臂長變化速率變化曲線，圖中干涉臂L1最大臂長變化速率v1max=5.86 m/s；干涉臂L2最大臂長變化速率v2max=5.98 m/s；干涉臂L3最大臂長變化速率v3max=6.11 m/s；由上述數(shù)據(jù)可知，干涉臂L1、L2、L3最大臂長變化速率均小于9 m/s，滿足表2對干涉臂臂長變化速率的指標(biāo)要求。

4 結(jié)束語

以中國空間激光干涉引力波探測天琴計劃為研究對象，依據(jù)航天器S1、S2、S3軌道構(gòu)型穩(wěn)定性的指標(biāo)要求，首次以數(shù)值方法初步進行探測器軌道的設(shè)計與分析:

1)建立105km軌道高度的航天器軌道動力學(xué)微分方程；

2)分析研究導(dǎo)致等邊三角形臂長長周期漂移的軌道要素，然后將此軌道要素作為航天器設(shè)計的待優(yōu)化參數(shù)；

3)基于粒子群(PSO)智能優(yōu)化算法對已選擇的待優(yōu)化參數(shù)進行尋優(yōu)，最后將優(yōu)化得到的軌道要素進行軌道仿真。結(jié)果表明等邊三角形的穩(wěn)定性在長時間漂移下滿足指標(biāo)要求，證明了該方法的有效性。

本文的研究成果能夠為未來開展空間引力波探測提供建議與參考。

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(編輯：車曉玲)

Analysis of long-period drift characteristics for orbit configuration of the Tianqin Mission

WAN Xiaobo，ZHANG Xiaomin*，LI Ming

DFHSatelliteCo.LTD.，Beijing100094，China

In order to realize the long-term steady drift of Tianqin Mission′s orbital configuration and meet stability index, initial optimum instantaneous orbital elements were searched by the optimization algorithm. Firstly，orbital dynamics model considering perturbation was set up. Secondly,the orbital configuration of equilateral triangle drifted for long-period by the orbital elements′ variety was researched and the orbital elements leading to the orbital configuration of equilateral triangle drifted in a long-period were made as parameters to be optimized. Particle swarm intelligent optimization algorithm (PSO)was applied to optimize parameters selected for optimization. Finally,the simulation results show that the arm length changes less than 1 500 km，the breath angle changes less than 1.5 degrees and the velocity of the arm length variety changes less than 10 m/s in natural drifting of four years without orbital maneuver. The results meet the initial indicators of the orbital configuration.

Tianqin Mission；orbital configuration；long-term drift；stability；particle swarm optimization

10.16708/j.cnki.1000-758X.2017.0044

2017-03-17；

2017-04-18；錄用日期：2017-05-18；網(wǎng)絡(luò)出版時間：2017-05-31 09:59:12

http:∥kns.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20170531.0959.005.html

萬小波(1990-)，男，碩士研究生，873806425@qq.com，研究方向為航天器軌道優(yōu)化與設(shè)計

*通訊作者：張曉敏(1971-)，男，研究員，zhangxiaomin01@tsinghua.org.cn，研究方向為航天器軌道動力學(xué)與控制

萬小波，張曉敏，黎明. 天琴計劃軌道構(gòu)型長期漂移特性分析[J].中國空間科學(xué)技術(shù)，2017，37(3)：110-116.

WANXB，ZHANGXM，LIM.Analysisoflong-perioddriftcharacteristicsfororbitconfigurationoftheTianqinMission[J].ChineseSpaceScienceandTechnology，2017，37(3)：110-116(inChinese).

V412.4

A

http:∥zgkj.cast.cn