◇劉善娜

遵循學(xué)路，建構(gòu)概念的本質(zhì)
——“周長”教學(xué)實(shí)踐與思考

◇劉善娜

在教學(xué)“周長”這節(jié)課之前，我對學(xué)生進(jìn)行了前測。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對“直線圖形”比較敏感，即描畫“直線圖形”的“一周”的正確率明顯高于描畫曲線圖形的“一周”的正確率；學(xué)生對“線段測量”具有經(jīng)驗(yàn)化操作反應(yīng)，也能借助測量工具（如所給的線）的暗示順利測量曲線圖形的周長?；诖?，我對“周長”一課做了幾點(diǎn)新嘗試。

片段一：從離學(xué)生“最近”的圖形出發(fā)，改“操場”為“長方形桌面”

從前測中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對“直線圖形”，特別是對長方形、正方形“一周”的感知力遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于曲線圖形，因此，我決定從學(xué)生最有把握的長方形桌面切入。

師：（出示一個桌面）小胖蟻想每天跑步鍛煉身體，它每天要繞這個桌面跑一圈。怎樣跑才叫跑一圈呢？請用水彩筆描一下小胖蟻的跑步路線。

師：（展示學(xué)生作品，如圖1）你贊同誰描的路線是桌面的一圈？

圖1

生1：我認(rèn)同1號作品。繞著桌面跑一圈就應(yīng)該沿著桌面的邊跑，2號都跑到桌面外面去了。

生2∶2號這樣已經(jīng)多跑了，比一圈多了。

師：怎樣跑，正好是一圈？

生3：就是要沿著桌面的邊跑。

（師板書：沿著邊線）

生4：就是沿著這個長方形的4條邊跑。

師：（課件演示，如圖2）4條邊，邊線AB，邊線 BC，邊線CD，邊線DA。

圖2

師：你想讓小胖蟻從哪里開始跑？誰來邊指邊說？

生：小胖蟻從點(diǎn)A開始跑，跑到點(diǎn)B，再跑到點(diǎn)C，跑到點(diǎn)D，最后回到點(diǎn)A。

（生邊指邊說，師動態(tài)演示）

師：剛才小胖蟻跑的時候，起點(diǎn)在哪里？沿著哪些邊線跑？終點(diǎn)在哪里？

生：小胖蟻從點(diǎn)A開始跑,跑完邊線AB跑邊線BC，然后跑邊線CD，最后跑邊線DA，回到了點(diǎn)A。

師：（板書A→A）從點(diǎn)A出發(fā)，還可以怎樣跑一圈？

生：還可以從點(diǎn)A出發(fā)，依次跑到點(diǎn)D、點(diǎn)C、點(diǎn)B，再回到點(diǎn)A。

師：兩次跑，有什么共同點(diǎn)？

生：都是從點(diǎn)A出發(fā)回到點(diǎn)A，都是沿著長方形桌面的邊線跑。

師：換個起點(diǎn)，會跑一圈嗎？誰來？這一次起點(diǎn)在哪里？沿著邊線跑到了哪個終點(diǎn)？

從學(xué)生最熟悉的長方形入手理解“一圈”，引出4條用字母命名的線段，助力其對周長概念本質(zhì)的初步感知，并利用字母強(qiáng)化“起點(diǎn)”和“終點(diǎn)”的重合。

片段二：從學(xué)生已會的測線段開始，直擊度量本質(zhì)，體驗(yàn)線段長度累加

從前測中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生會基于線段度量的經(jīng)驗(yàn)主動測量圖形中直邊的長度。因此，我就從學(xué)生的這一經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以長方形4條邊線為素材直擊周長的度量本質(zhì)，讓學(xué)生深度感悟周長是線段長度的累加。

師：那么，小胖蟻跑一周，跑了多長呢？

生：可以量一量啊。

師：從點(diǎn)A出發(fā)，怎么量？

生：先量出邊AB，再量出BC、CD、DA。

師：這4條線段的長度，小胖蟻的爸爸已經(jīng)測量出來了，依次是60cm、40cm、60cm、40cm。從點(diǎn)A出發(fā)，誰會算小胖蟻跑一周的長度？

生：60+40+60+40=200（cm）。

師：誰能說說式子中每個數(shù)的意思和算得的200厘米的意思？

（生答略）

圖3

師：小胖蟻從點(diǎn)B出發(fā)跑一周的長度怎么算？

（生答略）

師：怎么都是200cm呀？

生：因?yàn)橐恢艿拈L度就是這4條線段加起來的長度。

師：說得真好，這4條線段的長度加起來得到的200cm就是這個長方形桌面一周的長度。

基于學(xué)生會自發(fā)測量、累加線段長度的特點(diǎn)，將4條線段一段一段地從長方形桌面上移下來，將“一周的長度”直觀地一段一段羅列，直擊概念的度量本質(zhì)，進(jìn)一步感知“周長”是一周各邊長度的累加。

片段三：把動態(tài)演示與靜態(tài)描畫相結(jié)合，感知“封閉”，深化“長度”

周長作為封閉圖形一周的長度，是從靜態(tài)邊線的測量而得。如果把靜態(tài)邊線動態(tài)展開，使其脫離二維的面而被拉成一維的線段，就直觀地放大了周長的一維長度測量的本質(zhì)。在展開之后再將一維空間的線動態(tài)“合攏”，則能幫助學(xué)生更好地理解圖形的“封閉”，也能在“展開”與“合攏”中滲透“化曲為直”和“守恒”的思想。

師：想象一下，如果把圍成這一周的4條邊線展開來，會是什么形狀？

（生想象5秒后課件動態(tài)演示，如圖4）

圖4

生：哇，一條長長的線！

生：變成一條線段了。

師：這條線段，怎么這一頭是點(diǎn)A,那一頭也是點(diǎn)A??？

生：因?yàn)辄c(diǎn)A是起點(diǎn)，也是終點(diǎn)。

生：因?yàn)槭菑狞c(diǎn)A這里打開的，閉合回去就還是點(diǎn)A。

師：好，那我們讓它再閉合回去，（動態(tài)演示）發(fā)現(xiàn)什么？

生：點(diǎn)A和點(diǎn)A碰到一起了，變成一個點(diǎn)A了。

師：小朋友們，像這樣能圍起來的圖形才有一周的長度，這樣的圖形就叫封閉圖形。

前面的4條線段一段一段排列和這里的“展開”是有區(qū)別的，分段羅列后相加是突出各邊長度累加，而封閉圖形的“一周”被展開后是一條線，不僅凸顯了周長的一維特性，而且滲透了“化曲為直”的策略，也有助于學(xué)生日后將周長與面積概念進(jìn)行區(qū)分。

片段四：讓學(xué)生明確自己的度量需求，從提供多種工具到放手讓學(xué)生自己想辦法測量

如果給學(xué)生提供卷尺、線，其實(shí)是給學(xué)生一種暗示：直尺不行了，用另外的工具試試？如果不給學(xué)生提供卷尺和線，學(xué)生就會自己開動腦筋，呈現(xiàn)“原始粗糙”的但非常有價值的測算方法。因此，將這個測算過程分為兩段：先放手讓學(xué)生測算5個圖形或物品表面一周的長度，交流困難點(diǎn)和策略，初步感知“化曲為直”；再提供曲線測量工具讓每個學(xué)生動手測算，進(jìn)一步體驗(yàn)“化曲為直”。

師：請大家拿出1號信封，里面有1個瓶蓋，1片樹葉，1張周長測算記錄表（如表1），要求同桌合作，測算出這5個圖形的周長。時間：5分鐘。開始！

表1 周長測算記錄表

生：老師，我們只有尺子，只測算出了3個圖形的周長。

生：（齊）我們也是。

師：小組再商量商量，想想辦法。

師：其實(shí)，數(shù)學(xué)家和小朋友們一樣，也是先把這些直線圖形的周長測量方法研究出來了，那我們就先交流一下這3個圖形的周長測量過程。

（答案交流略。投影1份全部采用線段一一累加方式計算周長的表格，關(guān)注周長概念的理解，不關(guān)注公式化的方法）

師：那這些由曲線圍成的圖形，它們的周長怎么就不好測呢？

生：它們是曲曲彎彎的，尺子只能測量直直的。

師：曲曲彎彎的我們在數(shù)學(xué)上統(tǒng)稱為“曲”的，直的尺子不方便測量曲的邊。有沒有同學(xué)能想出辦法測量？（有三個學(xué)生舉手）那就請這三位同學(xué)和大家分享一下自己的方法。

生1：我把直尺轉(zhuǎn)動起來繞著瓶蓋，一圈下來，就可以了。

生2：他動了，測不準(zhǔn)。

師：他能想到把直的尺子轉(zhuǎn)起來去測曲的邊，很好，但操作難度比較大。

生3：我是想用剪刀把這個瓶蓋展開來，像剛才的桌面一樣打開，拉成平平的一條線，就可以測量了。

師：一起想象一下，這一圈展開會怎樣？

生3：展開拉直成一條線就能測量了，可是，不好剪啊。

生4：我的辦法是，把這片樹葉對折、對折、再對折，再量出一段，數(shù)數(shù)有幾段，就可以算出全部的長度了。

生5：我覺得這個辦法可以，這樣折啊，折啊，每一段就是直直的了。

師：折一折，也是想把曲的轉(zhuǎn)變成直的，把曲邊分割成很多段，每一段越小就越好測量。這個法子數(shù)學(xué)家求圓的周長時也用過呢?，F(xiàn)在請你打開2號學(xué)具包（內(nèi)有卷尺、毛線），想想用它們幫忙能否測量出較為準(zhǔn)確的周長。

（匯報交流、小結(jié)略）

如果直接給學(xué)生測量的多種工具，學(xué)生能少走很多彎路。但是，這段追尋測算方法的路很有價值，不走這段路，學(xué)生就不會想出轉(zhuǎn)動尺子、“展開”瓶蓋、把軟軟的較對稱的樹葉對折再對折的方法。這些方法都直擊周長概念的測量本質(zhì)，學(xué)生等于像數(shù)學(xué)家一樣走了一段曲線圖形周長測算方法的尋求歷程，感受了六年級求圓的周長中割圓術(shù)的思想萌芽，這種體驗(yàn)是非常必要的。遵循學(xué)路去認(rèn)識“周長”，歸根結(jié)底，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)、敏感點(diǎn)、興趣點(diǎn)，是引導(dǎo)學(xué)生去建構(gòu)概念本質(zhì)的重要的路徑導(dǎo)向點(diǎn)。

【本文系浙江省教育科研課題“小學(xué)數(shù)學(xué)相異構(gòu)想調(diào)正策略的行動研究”（課題編號：02259）的階段性研究成果之一】

（作者單位：浙江寧波市奉化區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)。作者系朱樂平名師工作室“一課研究”團(tuán)隊成員）