盧家寬，孟 偉，王靜靜

(1.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004；2.云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650031)

Sylow-子群的自同構(gòu)導(dǎo)子是小的有限群

盧家寬1，孟 偉2，王靜靜1

(1.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004；2.云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650031)

目的 研究自同構(gòu)導(dǎo)子對有限群結(jié)構(gòu)的影響。方法 使用單群分類定理及圈積等手段，分可解群、非可解群兩種情況分別討論。結(jié)果 證明了Sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子是小的有限群恰是冪零群。結(jié)論 某些特殊子群的自同構(gòu)導(dǎo)子對有限群的結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的影響，對自同構(gòu)導(dǎo)子附加合適條件后，可以得到有限群若干信息。

自同構(gòu)導(dǎo)子；冪零群；可解群

0 引 言

在本文中，G表示有限群。設(shè)H≤G，由NG(H)中的元素誘導(dǎo)的H的自同構(gòu)的全體，稱為H在G中的自同構(gòu)導(dǎo)子，記作AutG(H)。易見，AutG(H)=NG(H)/CG(H)，并且

Inn(H)≤AutG(H)≤Aut(H)

為了方便，稱AutG(H)是小的，若Inn(H)=AutG(H)；稱AutG(H)是大的，若AutG(H)=Aut(H)。容易驗(yàn)證，AutG(H)是小的當(dāng)且僅當(dāng)NG(H)=HCG(H)。

某些特殊子群的自同構(gòu)導(dǎo)子對有限群的結(jié)構(gòu)有很強(qiáng)的影響。例如，Zassenhaus[1]證明了如下經(jīng)典結(jié)果：G是交換群當(dāng)且僅當(dāng)G的所有交換子群的自同構(gòu)導(dǎo)子是小的。另一方面，Nomura[2]證明了：如果可解群G的所有交換子群的自同構(gòu)導(dǎo)子是大的，則G同構(gòu)于S1、S2、S3或Q8。Bechtell等[3]把Nomura的結(jié)果拓展到所有有限群。

在文獻(xiàn)[4]中，Deaconescu和Walls提出了如下問題：

問題1.1 描述Sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子要么全是小的，要么全是大的有限群的結(jié)構(gòu)。

在文獻(xiàn)[2]中，Nomura證明了：如果G的Sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子是大的，那么G是亞循環(huán)群。于是，一個(gè)自然的問題是考慮Sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子是小的有限群的結(jié)構(gòu)。在本文中，證明了這樣的有限群恰是冪零群。

1 引 理

在這一節(jié)，證明列出自同構(gòu)導(dǎo)子的一些基本性質(zhì)，并列出幾個(gè)有用的已知結(jié)果。

引理1.1 設(shè)G的Sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子在G中是小的。則

(1)如果N?G，那么G/N的Sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子在G/N中也是小的。

(2)如果H是G的Hall子群，那么H的Sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子在H中也是小的。

證明 設(shè)H/N是G/N的Sylowp-子群，其中p∈π(G/N)。則存在G的Sylowp-子群P使得H/N=PN/N。于是

NG/N(H/N)=NG(P)N/N=PCG(P)N/N≤(H/N)CG/N(H/N)

另一方面，由于(H/N)CG/N(H/N)≤NG/N(H/N)，于是NG/N(H/N)=(H/N)CG/N(H/N)，即AutG/N(H/N)在G/N中是小的。

設(shè)P是H的Sylowp-子群，其中p∈π(H)。則P也是G的Sylowp-子群。由假設(shè)有NG(P)=PCG(P)，于是由模律得NH(P)=PCH(P)，即AutH(P)在H中是小的。證畢。

引理1.2[5]設(shè)E是非交換單群。則|E|的最大素因子不整除|Out(E)|。

在主要結(jié)果的證明中，使用到引理1.2；而引起1.2的原始證明使用到了單群分類定理。

引理1.3[6]設(shè)p≥5是素?cái)?shù)，P是G的非平凡Sylowp-子群。如果NG(P)/CG(P)是p-群，那么Op(G)

2 結(jié) 果

定理2.1 設(shè)可解群G的Sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子是小的，則G是冪零群。

證明 設(shè)N是G的極小正規(guī)子群。由于G是可解群，故N是p-群，其中p是某個(gè)素?cái)?shù)。由引理1.1(1)，定理假設(shè)對群G/N也成立。因此，對|G|用歸納，有G/N時(shí)冪零群。設(shè)P是G的Sylowp-子群。則N≤P，從而P/N是G/N的正規(guī)子群。這說明P也是G的正規(guī)子群。由假設(shè)知AutG(P)在G中是小的，即G=NG(P)是p-冪零群。令G=P×K，其中K是P在G中的正規(guī)p-補(bǔ)。再次用歸納，有K是冪零群。于是G是冪零群。證畢。

定理2.2 設(shè)G的Sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子是小的，則G是可解群。

證明 假設(shè)G非可解，并選擇G是極小反例。設(shè)N是G的極小正規(guī)子群。由引理1.1(1)，定理假設(shè)對G/N成立。于是G/N是可解群。進(jìn)一步，N是G的唯一極小正規(guī)子群。由于N非可解，故有N=K1×…×Kn，其中K1是非交換單群，對任意1≤i≤n，有Ki?K1。由于CG(N)=1,把N與Inn(N)恒等，以及N≤G≤Aut(N)。

如果n=1,那么N=K1是非交換單群。由Burnside定理，存在素?cái)?shù)p≥5使得p整除|N|。由引理1.2，知p?|Out(N)|,于是p?G/N|。這說明N包含G的某個(gè)Sylowp-子群，記為P。由假設(shè)AutG(P)在G中是小的，即NG(P)=PCG(P)。由于P≤N，由模律知NN(P)=PCN(P)。由引理1.3，Op(N)

下面證明：對任意p∈π(N)，有A*G∩Sn?G/(G∩A*)是p-群。若不然，那么存在素?cái)?shù)q≠p使得q||A*G∩Sn|。設(shè)P1是K1的Sylowp-子集，則P*=P1×…×P1是N的Sylowp-子群。再令P是G的Sylowp-子群，使得P∩N=P*。由于G/N可解，G/N的Sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子在G/N中是小的，故由定理2.1知G/N是冪零群。于是PN/N是G/N的正規(guī)子群，從而G=NG(P)N。選擇q-元素x∈GG∩A*使得x∈NG(P)。則x∈NG(P*)?？梢约僭O(shè)x=as,其中a∈A*,1≠s∈Sn。易見，s正規(guī)化P*，從而a正規(guī)化P*。于是a正規(guī)化P*的每個(gè)組成，而s非平凡置換P*的每個(gè)組成。因此，x不能中心化P*。這與NG(P)是p-冪零群矛盾。這說明A*G∩Sn是p-群。

由定理2.1和2.2可得下列推論：

推論2.1G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng)G的sylow子群的自同構(gòu)導(dǎo)子全是小的。

設(shè)P是G的Sylowp-子群，其中p∈π(G)。易見，AutG(P)在G是小的，等價(jià)于NG(P)=PCG(P)，等價(jià)于NG(P)是p-冪零的。因此由推論2.1可得如下推論：

推論2.2[5]G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng)G的Sylow子群的正規(guī)化子是冪零群。

推論2.3[7]對任意素?cái)?shù)p，如果G的任意Sylow子群的正規(guī)化子是p-冪零，則G冪零群。

[1]ZASSENHAUSH.AgrouptheoreticproofofatheoremofMacLagan-Wedderburn[J].ProcGlas-gowMathAssoc,1952(01):53-56.

[2]NOMURAK.Innersubgroupsoffinitegroups[J].KodaiMathJ,1978,1(03):354-361.

[3]BECHTELLH,DEACONESCUM,SILBERBERGGH.Finitegroupswithlargeautomizersfortheirabeliansubgroups[J].CanadMathBull,1997,43(03):266-270.

[4]DEACONESCUM,WALLSG.Automotives[M].London:CambridgeUniversityPress,2011:228-243.

[5]BIANCHIMG,MauriAGB,HAUCKP.OnfinitegroupswithnilpotentSylow-normalizers[J].ArchivderMath,1986,47(03):193-197.

[6]HUPPERB,BLACKBURNN.FinitegroupsIII[M].Heidelberg-New-York-Beilin:Springer,1982:12-74.

[7]BALLESTER-BOLINCHESA,SHEMETKOVLA.OnnormalizersofSylowsubgroupsinfinitegroups[J].SiberMathJ,1999,40(01):1-2.

[責(zé)任編輯：關(guān)金玉 英文編輯：劉彥哲]

Finite Groups with Small Automizers for Their Sylow Subgroups

LU Jia-kuan1,MENG Wei2,WANG Jing-jing1

(1.School of Mathematics and Statistics,Guangxi Normal University,Guilin,Guangxi 541004,China; 2.School of Mathematics and Computer Science,Yunnan Minzu University,Kunming,Yunnan 650031,China)

Objective To investigate the influence of Automizer on the structure of finite groups.Methods By the classification of finite simple groups and wreath product,the groups are divided into solvable and non-solvable groups.Results It proves that finite groups with small automizers for their Sylow subgroups are nilpotent groups.Conclusion The automizers of some subgroups have a strong influence on the structure of finite groups.Adding suitable conditions to automizers can lead to certain information of finite groups.

automizer;nilpotent group;solvable group

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461007，11361075)；廣西自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(2016GXNSFAA380156)；廣西高校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)模型重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(2016GXKLMS002)。

盧家寬(1980-)，男，廣西桂林人，廣西師范大學(xué)副教授，博士。

O 152.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.05.005

來稿日期：2016-08-30