高珊，周文艷，梁偉光，劉德成，唐玉華，楊維廉

（1. 北京空間飛行器總體設計部，北京 100094；2. 北京航天飛行控制中心，北京 100094；3. 探月與航天工程中心，北京 100037）

地月拉格朗日L2點中繼星軌道分析與設計

高珊1*，周文艷1，梁偉光2，劉德成1，唐玉華3，楊維廉1

（1. 北京空間飛行器總體設計部，北京 100094；2. 北京航天飛行控制中心，北京 100094；3. 探月與航天工程中心，北京 100037）

地月L2點位于地月連線的延長線上，在地月L2點運行的衛(wèi)星可以連續(xù)觀測月球背面，解決月球背面與地球之間的通訊問題，在月球背面著陸探測任務中起著至關重要的作用。對從地球出發(fā)、利用月球引力輔助變軌、形成地月L2點的軌道進行了研究，分析了發(fā)射窗口、地月轉移時間、近月點高度、近月點傾角、軌道振幅等多項因素對轉移軌道和使命軌道特性的影響，尋求滿足地月L2點中繼任務需求的飛行軌道。通過分析研究，文章明確了轉移和使命軌道的相關特性，可為中繼星任務軌道的參數設計和優(yōu)化提供有益參考。

地月L2點；中繼星軌道；halo軌道；月球借力；軌道維持

0 引 言

“嫦娥4號”探測器將實現人類首次月球背面軟著陸并開展巡視探測。由于月球的自轉周期和繞地球的公轉周期同步，月球始終只有一面朝向地球，在地球上無法看到月球背面，在月球背面著陸的探測器也無法與地球直接通訊，因此要實現月球背面軟著陸探測必須首先解決通訊問題。

1765年歐拉（Euler）發(fā)現了在一個旋轉二體重力場中存在3個共線的天平動點，1772年拉格朗日（Lagrange）指出在一個旋轉二體重力場中存在另外兩個天平動點，后人將這5個點統(tǒng)稱為拉格朗日點，也稱平動點[1-2]。平動點是第三體在受兩個大天體的萬有引力作用時，在空間中的引力平衡點。運行于平動點的飛行器可以保持該雙星系統(tǒng)的公轉角速度而幾乎不用消耗推進劑。由于平動點特殊的動力學特性和在三體問題中相對固定的位置，使其在停泊中轉、中繼通信、星際轉移等未來深空探測任務中具備較好的工程應用價值。地月L2平動點位于地球至月球連線的延長線上，與地球、月球的位置相對固定。中繼星在地月L2點附近可進行長期環(huán)繞飛行，對月球背面進行連續(xù)觀察。因此，發(fā)射一顆環(huán)繞地月L2點的中繼星，即可建立地球與月球背面探測器的中繼通信鏈路，從而有效支持月球背面著陸探測任務。

“嫦娥4號”中繼星將是我國首顆正式任務采用平動點軌道的中繼衛(wèi)星，為合理地設計飛行任務軌道，必須對從地球到地月L2點的轉移軌道和L2點附近的使命軌道進行比較全面的研究。本文對從地球出發(fā)，利用月球引力輔助變軌，形成地月L2點的飛行軌道進行研究，分析了發(fā)射窗口、地月轉移時間、近月點高度、近月點傾角和軌道振幅等因素對轉移軌道和使命軌道特性的影響，尋求滿足月球探測L2點中繼任務需求的飛行軌道。

1 研究方法

1.1 飛行方式

從地球到地月L2點的轉移軌道通常有3種方式：直接轉移、低能轉移和月球引力輔助變軌轉移[3-5]，飛行軌跡示意圖分別對應圖 1的3條曲線。

直接轉移軌道與地月轉移軌道類似，只是其遠地點更高，因此出發(fā)能量比地月轉移軌道稍大，直接轉移軌道在到達L2點時要進行捕獲控制，所需速度增量約1 km/s；低能轉移即行星際高速公路，通過從地球發(fā)射拋物線軌道，使衛(wèi)星運行到日地平動點附近后返回地月系統(tǒng)，進入地月L2點軌道，低能轉移軌道所需消耗的速度增量小但是近地點出發(fā)速度較大，且轉移時間一般長達3～4個月[4,6-7]。月球引力輔助變軌轉移方式是從地球發(fā)射直接地月轉移軌道，飛行至近月點時通過月球借力完成減速變軌，所需速度增量約200 m/s，衛(wèi)星不進入環(huán)月軌道，而是在飛越月球后進入地月L2點附近的穩(wěn)定流形，在到達L2點附近時可不經變軌或只需很小的速度增量就進入環(huán)繞L2點的軌道[3-5]。3種轉移方式的參數比較見表1。

圖 1 3種轉移軌道飛行方式示意圖Fig. 1 Illustration for transfer tajectories

表 1 轉移方式對比Table 1 Comparison of transfer tajectories

本文主要對第3種飛行方式進行研究，這種方式繼承性好、轉移時間短、速度增量需求遠小于直接轉移，而且考慮到發(fā)射能量對發(fā)射質量的影響，探測器的剩余質量大。這種方式的轉移軌道包括兩段，一段是地月轉移，另一段是從月球到地月L2點的轉移。

在地月L2點飛行的軌道（平動點軌道）通常有Lissajou軌道和halo軌道。Lissajous軌道在地月旋轉平面內和平面垂直方向均有振動，且平面和垂直方向的振動頻率不同，而halo軌道在平面和垂直方向的振動頻率相等，目前工程應用中已實現的主要是這兩種軌道。平動點軌道還有其他幾種類型，如垂直軌道、軸向軌道、蝶形軌道等，本文不進行討論。

1.2 運動方程

慣性空間中，n個物體在無其它外力的作用下，公共質心加速度為零，各物體在相互作用下繞質心作圓周運動。設n個物體的質量分別為mi(i=1,···,n)，相對于慣性參考系的矢徑分別為ri(i=1,···,n)，慣性參考系o-xyz的圓點為它們的公共質心，如圖2所示。

圖 2 n體問題示意圖Fig. 2 Illustration of multi-body problem

第i個物體的單位質量的加速度為

其中rij是第個i物體到第j個物體的矢徑。

將第n個物體作為飛行器，第1個物體作為主物體，坐標系原點在主物體質心，則飛行器相對于主物體慣性坐標系中的加速度為

式（2）為n體運動方程。對于飛行器運動是四體問題時，考慮日、月的中心引力，根據式（2）和圖 2，可以寫出如下飛行器運動方程

其中：μe、μm和μs是地球、月球和太陽的引力常數；J2為地球帶諧系數；Re是地球平均赤道半徑。

1.3 坐標系

在軌道的積分和計算中用到了兩個坐標系：地心J2000坐標系和地月L2會合坐標系。地心J2000坐標系的原點在地心，三軸符合IAU2000的定義；地月L2點會合坐標系，原點在地月L2點，x?軸始終沿地球指向月球方向，z?軸沿白道面法線，y?軸和z?軸、x?軸構成右手螺旋坐標系。會合坐標系是隨著月球旋轉的坐標系，也叫旋轉坐標系，在軌道積分中要將參數轉到會合坐標系中，判斷探測器是否滿足L2點的運行狀態(tài)。

1.4 平動點

限制性問題方程首先由歐拉提出，行星繞太陽運動近似為圓、小行星相對于這些大天體的質量很小。將一般的三體問題簡化為限制性問題的基本假設是兩個物體是主體（用P1和P2表示），相對于第三體（用P3表示）的質量非常大，第三體相對于主體的質量很小，不影響主體的運動。如果忽略P3的引力，主體P1和P2的運動簡化成二體問題的解。P1和P2的運動是相對于它們質心的開普勒運動。二體運動進一步簡化為主體相對質心的圓軌道，P3的運動即變成圓限制性三體問題的解。

圖 3 圓限制性三體問題示意圖Fig. 3 Illustration of circular restricted three-body problem

如圖 3所示定義坐標系xyz，以P1、P2二體的質心為坐標原點，x由大天體P1指向P2，y位于P1、P2的運動平面內并垂直于x，z垂直于運動平面。記P3在該坐標系下的坐標為（x，y，z）。對單位進行歸一化，P3二階微分運動方程的標量形式如下[8]在旋轉坐標系中存在平衡解。這些點相當于旋轉坐標系中引力和離心力（離心力于會合坐標系的旋轉有關）平衡的地方，因此很小的物體放在其中的一個點，在會合坐標系中似乎是穩(wěn)定的。在圓限制性三體問題中可以求出5個平動點，3個天平動點位于x?軸，1個內部點在2個主體之間，另外兩個分別在每個主體的背面。另外2個天平動點（三角形點）分別位于由2個主體構成的等邊三角形的頂點。通用的術語用L1表示內部點、P2外部用L2表示、P1外部用L3表示。三角形頂點用L4和L5表示，L4位于x?軸前方，L5位于x?軸后方，同會合坐標系一起相對于I2旋轉。

共線的3個天平動點由方程的解確定，對于地月系統(tǒng)x1= 0.837，x2= 1.156，x3=–1.005。L4和L5位于r1= r2= 1的點

1.5 計算方法

對平動點軌道及轉移軌道的求解除需要考慮太陽、地球、月球外，還要考慮太陽光壓等的影響，沒有解析解，只能采用數值積分對軌道進行精確計算。對于地月轉移軌道采用文獻[11]中提出的對軌道進行數值積分，然后用誤差傳遞矩陣修正初值的方法找到地球出發(fā)的初始狀態(tài)；對于月球到L2轉移軌道采用二分法調整近月點的初值，找到滿足地月L2點狀態(tài)要求的近月點初始速度；而平動點軌道的求解是采用解析方法求得需要的軌道位置和速度，然后對軌控位置進行優(yōu)化達到目標軌道，在平動點的長期運行及軌道維持同樣采用二分法計算軌控的速度增量[12-13]。

定義擬勢函數U

運動方程可寫為[9-10]ˉ?U=0

當擬勢函數的偏導數（8）等于零時，即，

2 軌道設計

2.1 使命軌道

本節(jié)針對使命軌道設計過程中的任務幾何、軌道振幅、陰影條件及軌道維持等問題進行探討。

2.1.1 任務幾何

由于中繼星承擔著著陸器與地球之間的通訊任務，因此使命軌道設計中應充分考慮到月掩、著陸器可見性等任務幾何條件對中繼任務的影響。

1）月掩

掩星是指一個天體在另一個天體和觀測者之間通過而產生的遮蔽現象，由月球遮蔽引起掩星現象稱為月掩。當中繼星在L2點運行時，可能會面臨由于月掩而導致的無法實現中繼任務的問題，如圖 4所示。

圖 4 月掩示意圖Fig. 4 Illustration of lunar occultation

在軌道設計時，應通過軌道類型和振幅的選擇盡量避免月掩情況的出現。對于Lissajous軌道，其軌道在會合坐標系下呈Lissajous曲線的形式，雖然可以通過選取初始相位和軌道振幅使航天器盡量避開月掩帶，但在長時間飛行的情況下仍然難以避免月掩的出現。因此考慮到保障長期運行對地通訊的需求，中繼星軌道類型采用halo軌道。

halo軌道在會合坐標系下的各向振幅分別記為Ax、Ay、Az，三者單調相關，利用解析方法，可以計算出不同形狀halo在近月端、遠月端位置以及各向振幅大小，見圖 5。

圖 5 halo軌道各向振幅關系圖Fig. 5 Illustration of halo orbit amplitude

不同振幅的軌道，其任務幾何條件和光照條件均有一定差異，因此halo軌道振幅的選擇需考慮中繼任務需求、光照條件以及軌道維持消耗等因素綜合確定。為軌道描述方便，后文中統(tǒng)一選用Az作為軌道特征變量。

針對不同振幅下的halo軌道進行了MEP角（月心–地心–中繼星夾角）、MFP（月心–測站–中繼星夾角）進行了分析，其中測站以喀什站為例進行了計算。對于MEP角，Az振幅為1.2萬 km的軌道不小于1.2°，Az振幅為1.3萬 km的軌道不小于1.3°，Az為1.5萬 km的軌道不小于1.5°。對于MFP角，Az振幅為1.2萬 km、1.3萬 km和Az= 1.5萬 km的軌道分別不小于1.3°、1.4°和1.6°。按照測站與月球的距離關系，當MFP角大于0.3°時，月球不會遮擋測站與中繼星的通信。

根據分析可知，振幅越大的halo軌道，MEP角和MFP越大，出現月掩的概率越小，對于Az= 1.2萬～1.5萬 km的軌道，均不會出現月掩問題。

2）著陸器可見性

針對不同振幅軌道的中繼星相對著陸器的高度角進行了分析，對于Az= 1.2萬 km的軌道，高度角范圍為21～64°；對于Az= 1.3萬 km的軌道，高度角范圍為20～65°；對于Az= 1.5萬 km的軌道，高度角范圍為18～66°。按照著陸器仰角5°考慮，統(tǒng)計了不同振幅軌道下中繼星運行3年內的幾何可見性及占總時間的百分比，結果如表 2所示。可以看出，使命軌道振幅越大，中繼星相對著陸器的最小高度角越低，而著陸器對中繼星的幾何可見性也越差。

表 2 可視弧段百分比Table 2 Visible arc percentage

因此，在進行使命軌道設計時，應當結合任務需求，綜合考慮月掩和著陸器可見性因素來選擇任務軌道振幅。

2.1.2 陰影分析

地月L2點附近的陰影主要是由于受到地球或月球遮擋而造成的，效果如圖 6所示。由于平動點空間位置的特殊性，運行在其附近的航天器光照條件與環(huán)月軌道差異很大，其陰影時長往往較長。

圖 6 陰影示意圖Fig. 6 Illustration of halo orbit eclipse

從圖中可知：即使日–地–月不在同一直線上（即不是月食時），也有可能對平動點軌道產生陰影影響。根據太陽、地球、月球的形狀位置參數，計算在地月L2點YZ平面（經過L2點且垂直地月連線的平面）的地月陰影投影半徑如表 3所示。

相較萬千米級別的中繼軌道包絡振幅，陰影半徑已低一個數量級，陰影軌跡在中繼軌道包絡投影范圍內呈窄帶狀分布。選取南北向不同振幅（Az= 5 000 km、1.15萬 km、1.5萬 km）的各3條軌道，一共6條halo軌道，分析不同初始相位下軌道在3.5年內的地月影情況，地月陰影的計算均選取本影。統(tǒng)計結果如表 4所示。

表 3 地月L2點YZ平面地月陰影投影半徑Table 3 Occultation radius in Y-Z plane of Earth-Moon L2 point km

表 4 地/月影分析結果匯總Table 4 Summary of eclipse time results

通過對陰影情況的統(tǒng)計分析可以得出以下結論：

1）地影平均時長2 h左右，且地影時長不隨振幅、相位、南北向的改變而發(fā)生較明顯的變化，3.5年長期飛行過程中無法完全規(guī)避。

2）halo軌道振幅越大，惡劣月影時長越短。

3）惡劣月影時間長，有可能威脅航天器安全。

4）月影時長隨軌道初始相位改變較大，在一定的初始相位范圍內，可以實現3.5年長期飛行過程中無月影。

5）3種振幅在月影方面均表現出南向優(yōu)于北向的情況，這與所選分析階段的天體空間分布有關。理論上，南北向的長期陰影分布情況應相同。

6）分析尚未考慮地月全影連續(xù)遮擋，但從halo軌道和日地月的空間分布可以初步判斷，地月全影連續(xù)遮擋的情況比較罕見。

2.1.3 軌道維持

由于地月L2點為不穩(wěn)定點，且中繼星在飛行過程中受到多種攝動和誤差因素的影響，因此需要定期進行軌道控制才能保證中繼星在L2點附近的長期穩(wěn)定運行。halo軌道的維持選擇在過旋轉坐標系的XOZ面附近進行，根據測控系統(tǒng)對變軌測控弧段的需求，可在過XOZ面前后進行適當調整。維持控制方式考慮以下兩種[14-15]。

1）擬halo軌道方式，維持目標是軌道在halo軌道附近，與halo軌道面的幅值偏差保持在一定范圍內；2）halo軌道方式，其維持目標是嚴格的halo軌道。以各向速度誤差0.01 m/s為例，計算不同控制方式和頻率對應的速度增量如表 5所示。

表 5 軌道維持速度增量統(tǒng)計Table 5 Summary of orbit maintenance velocity

通過計算可以得出如下結論：

1）同樣誤差條件下，halo軌道控制方式比擬halo方式所需的速度增量更多。

2）同樣誤差條件下，半圈一次的控制頻率比一圈一次所需的速度增量大幅下降。

考慮到推進劑約束，在保證halo軌道形狀的同時盡量減小軌控所需的速度增量，中繼星軌道維持選擇擬halo軌道的控制方式，通過調整控制時刻速度三方向分量，使控后第三次過XOZ面時X方向的速度為零，控制頻率為半圈（約7 d）一次。

2.2 轉移軌道

對于地球至L2點的轉移軌道設計，需要考慮各類工程要求和約束來確定軌道參數，其中速度增量需求是參數選擇中一項重要的約束條件。中繼星采用月球引力輔助變軌的轉移方式，由運載火箭發(fā)射直接進入地月轉移軌道，到達近月點時進行近月制動，減速的速度增量不足以捕獲成月球衛(wèi)星，中繼星進入穩(wěn)定流形，飛行約3～4 d到達L2附近，在到達L2后的第一圈軌道上中繼星將執(zhí)行2～3次的捕獲機動，進入halo軌道。在進入使命軌道前的飛行過程中，中繼星總速度增量為近月制動和捕獲控制速度增量之和。

針對近月制動和捕獲的速度增量的影響因素開展了研究。近月制動速度增量受發(fā)射日期、轉移時間、近月點高度和捕獲軌道傾角等參數的影響，捕獲控制的速度增量受近月點狀態(tài)和目標軌道振幅等參數影響。本節(jié)通過采用單變量分析方法，對比不同參數對軌道特性和速度增量的影響，分析討論了滿足探測任務需求條件下的轉移軌道參數選擇問題。

2.2.1 近月制動

1）發(fā)射窗口。計算2個月內不同發(fā)射窗口下地月轉移軌道和地月L2點轉移軌道近月制動所需的速度增量，結果見圖 7（a）。圖中下方實線表示捕獲成環(huán)月圓軌道所需的速度增量（802～852 m/s）（右縱坐標），上方實線表示形成地月L2平動點軌道所需要的近月制動速度增量（160～216 m/s），兩者變化趨勢一致。進入地月L2點軌道所需的近月制動速度增量最小和最大相差約60 m/s。

圖 7 不同參數對近月制動速度增量的影響Fig. 7 Parameter influence analyse of perilune deceleration

由于發(fā)射窗口的選擇受到運載近地點幅角的約束，用虛線給出了出發(fā)近地點幅角的變化曲線?？梢钥闯?，2018年發(fā)射地月L2點探測器時，地月轉移軌道近地點幅角最小，即月球位于地球最南緯附近時到達月球的轉移軌道，所需的速度增量最小。在確定發(fā)射窗口時，需要綜合考慮運載和大系統(tǒng)約束條件，適當選擇發(fā)射窗口來滿足任務要求的同時使得到達月球的速度最小。

2）近月點高度。不同近月點高度與近月制動速度的關系曲線如圖 7（b）所示，近月點高度與近月制動速度增量基本成單調遞增關系，近月點越高，近月制動速度增量越大。當近月點高度為100 km，所需近月制動速度增量200 m/s；近月點高度1 000 km時，近月點制動速度增量比100 km增加約42 m/s。因此，為節(jié)省探測器的速度增量，近月點高度的選擇不應過高。

3）近月點傾角。近月點傾角影響航天器到達月球時的速度，考慮到探測器到達月球時有升軌和降軌兩種飛行方向，圖 7（c）給出了不同到達方式下的近月點傾角與近月制動速度的關系?？梢钥闯?，近月點軌道傾角越大，近月制動速度增量越小，近月點90°傾角到達月球比較小傾角到達月球，近月制動速度增量減少約15～20 m/s。近月點軌道傾角大于90°后，近月制動一次很難形成地月L2的平動點軌道，所以地月轉移軌道的近月點是順行軌道。

4）地月轉移時間。不同轉移時間對應的近月點制動速度增量見圖 7（d），由圖可以看出，當轉移時間在4～5 d范圍內時，近月制動速度增量達到最小；相比地月轉移時間約5 d的軌道，約6 d的轉移軌道近月制動速度增量增加不到20 m/s，約3 d的轉移軌道近月制動速度增加約50 m/s。

2.2.2 捕獲控制

為保證中繼星準確進入滿足任務要求的使命軌道，在到達L2后的第一圈軌道上安排了2～3次變軌，飛行過程示意如圖 8所示。探測器飛越月球后，位置“1”“2”和“3”分別表示探測器飛越月球后的3次捕獲控制位置。其中第一次捕獲用于修正之前的飛行誤差，第二次捕獲控制通過在位置“2”進行機動，使得位置“3”到達目標位置，隨后在位置“3”執(zhí)行進入halo軌道的捕獲控制。

圖 8 捕獲控制示意圖Fig. 8 Illustration of halo orbit capture maneuvers

針對不同的近月點參數（傾角、高度）和目標軌道振幅參數對捕獲控制速度增量的影響進行了分析，結果如表 6所示。

通過計算可得以下結論。

1）相同傾角、高度到達月球，使命軌道振幅越大，所需要的捕獲速度增量越大；

2）相同傾角到達月球，形成相同振幅的使命軌道，近月點高度越高，所需要的速度增量越大，升軌到達比降軌到達所需的速度增量大；

3）對于相同振幅的使命軌道、相同的近月點高度，傾角對速度增量的影響并非單調，對于Az= 1萬 km的軌道，最小速度增量出現在最小傾角附近，而對于Az= 1.5萬 km的軌道，最小速度增量出現在約降軌10°傾角附近，因此對于不同振幅的軌道，可通過優(yōu)化傾角來減小速度增量的需求。

表 6 不同參數捕獲控制速度增量Table 6 Parameter influence analyse of capture maneuvers

3 結 論

本文主要針對地月L2點的中繼星任務，分析了發(fā)射窗口、地月轉移時間、近月點高度、近月點傾角、軌道振幅等因素對地月L2轉移軌道和L2點使命軌道特性的影響，通過分析得到以下結論：

1）對于轉移軌道，采用月球引力輔助變軌轉移方式可兼顧轉移時間和速度增量，地月轉移時間約為4～5 d，到達近月點時為順行軌道；近月制動速度增量隨發(fā)射窗口呈周期性變化，且近月點高度越低、傾角越大，近月點制動的速度增量越小。

2）對于使命軌道，中繼星采用halo軌道，維持方式采用擬halo方式，控制頻率為半圈一次；halo振幅越大對避免月掩和陰影越有利，但中繼星對著陸器可見性越差，捕獲所需速度增量也越大。

因此在軌道設計時應綜合考慮任務需求選擇合適的軌道參數。本文通過各項參數的計算分析，明確了對軌道特性的影響，可為地月L2點軌道參數的選擇、設計和優(yōu)化提供參考。

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Trajectory Analysis and Design for Relay Satellite at Lagrange L2 Point of Earth-Moon System

GAO Shan1*，ZHOU Wenyan1，LIANG Weiguang2，LIU Decheng1，TANG Yuhua3，YANG Weilian1
（1. Beijing Institute of Spacecraft System Engineering，Beijing 100094，China；2. Beijing Aerospace Control Center，Beijing 100094，China；3. Lunar Exploration and Space Program Center，Beijing 100037，China）

The Earth-Moon L2 point plays a significant role in the far-side lunar landing mission due to its special location. Orbits about the L2 point could provide continuous communications link between the Earth and the lunar far-side lander. Transfer trajectories using lunar gravity assisted to L2 point and libration point trajectories are studied in this paper. Considering mission requirements，the trajectory characteristics and influence factors are analyzed，including launch window，transfer duration，amplitude of halo orbit，attitude and inclination of periselene. Through the analysis of influence factors，the paper provides several conclusions of trajectory characteristics，which could offer references for relay satellite trajectory design and optimization.

Earth-Moon L2 point；relay satellite trajectory；halo orbit；lunar gravity assist；orbit maintenance

V423.4+1

A

2095-7777（2017）02-0122-08

10.15982/j.issn.2095-7777.2017.02.004

高珊（1988– ），女，碩士，工程師，主要研究方向：航天器軌道力學及設計。

[責任編輯：高莎，英文審校：朱魯青]

高珊，周文艷，梁偉光，等. 地月拉格朗日L2點中繼星軌道分析與設計[J]. 深空探測學報，2017，4（2）：122-129.

Reference format: Gao S，Zhou W Y，Liang W G，et al. Trajectory analysis and design for relay satellite using lagrange L2 point of Earth-Moon system [J]. Journal of Deep Space Exploration，2017，4（2）：122-129.

2017-03-14

2017-04-02