朱政帆，高揚(yáng)

（1. 中國(guó)科學(xué)院 光電研究院，北京 100094；2. 中國(guó)科學(xué)院 空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心，北京 100094）

空間小推力軌道最優(yōu)Bang-Bang控制的兩類延拓解法綜述

朱政帆1，高揚(yáng)2*

（1. 中國(guó)科學(xué)院 光電研究院，北京 100094；2. 中國(guó)科學(xué)院 空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心，北京 100094）

介紹了空間小推力軌道優(yōu)化問題中的最優(yōu)Bang-Bang控制問題，對(duì)兩類延拓解法給出了描述：第一類解法首先求解能量最優(yōu)解，然后采用能量–燃耗同倫得到最優(yōu)Bang-Bang控制；第二類解法引入推力開關(guān)切換準(zhǔn)則，以雙脈沖解作為初解，通過參數(shù)延拓得到最優(yōu)Bang-Bang控制。對(duì)兩類延拓解法進(jìn)行了比較，指出了各自的優(yōu)勢(shì)與特點(diǎn)。對(duì)延拓方法應(yīng)用于求解更加復(fù)雜的小推力軌道設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了展望，提出了包含初解、延拓與拼接三要素的人工智能軌道優(yōu)化概念。

小推力軌道；數(shù)值優(yōu)化；Bang-Bang控制；同倫延拓；人工智能

0 引 言

隨著空間電推進(jìn)技術(shù)應(yīng)用于航天器軌道機(jī)動(dòng)，小推力軌道優(yōu)化問題成為航天飛行動(dòng)力學(xué)研究的一個(gè)重要方向[1-2]。對(duì)于任意的航天器變軌方案，燃料消耗始終是一個(gè)核心指標(biāo)。此外，小推力控制從最初的地面優(yōu)化設(shè)計(jì)，發(fā)展到目前所需的星載自主控制律，不斷追求自主性、穩(wěn)定性、最優(yōu)性等基本性能指標(biāo)。雖然小推力空間軌道設(shè)計(jì)問題越來越復(fù)雜，但均可認(rèn)為復(fù)雜軌道由若干小推力轉(zhuǎn)移軌道段拼接而成，而每一個(gè)小推力轉(zhuǎn)移軌道段的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可以描述如下：給定初始與末端軌道狀態(tài)以及轉(zhuǎn)移時(shí)間，求解燃耗最省轉(zhuǎn)移軌道的最優(yōu)控制策略。考慮小推力發(fā)動(dòng)機(jī)推力幅值受限的情況，利用最優(yōu)控制理論可以推導(dǎo)出推力控制的最優(yōu)性一階必要條件，其中Bang-Bang控制是必要條件之一，即推力幅值或取最大值或?yàn)榱鉡3]。Bang-Bang控制在開關(guān)切換時(shí)刻推力幅值不連續(xù)，而且事先并不知道推進(jìn)段數(shù)目，也不知曉開關(guān)時(shí)刻，故求解Bang-Bang控制是小推力轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問題的主要難點(diǎn)。

在過去的20年，小推力軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究可謂百花齊放、百家爭(zhēng)鳴，總結(jié)起來主要可以分為間接法、直接法和混合法。間接法利用龐特里亞金極小值原理引入?yún)f(xié)態(tài)變量微分方程，推導(dǎo)出最優(yōu)性必要條件（包括決定推力幅值的開關(guān)函數(shù)），將軌道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性常微分方程的邊值問題，滿足邊值約束的解即為最優(yōu)解，無需對(duì)指標(biāo)函數(shù)（如燃耗最省等）直接尋優(yōu)。直接法的主要思想是將軌道狀態(tài)和推力控制變量離散化，狀態(tài)和控制變量的時(shí)間函數(shù)通過若干離散節(jié)點(diǎn)的插值得到，直接法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的非線性參數(shù)優(yōu)化問題，通過迭代離散點(diǎn)的值使得目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)并且滿足約束條件，目前已有較為成熟的軟件包求解此類問題[4-7]?；旌戏ǎㄩg接法與直接法的混合）的基本思路與直接法相似，也是將最優(yōu)控制問題最終轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題，也可以利用較為成熟的軟件包求解?；旌戏ɡ脜f(xié)態(tài)變量微分方程以及求解最優(yōu)控制的解析形式或近似解析形式，避免將連續(xù)時(shí)間控制變量完全離散化。關(guān)于優(yōu)化方法的綜述文章可參見文獻(xiàn)[8~11]，然而并沒有哪一種方法能夠完美地解決所有問題。間接法中協(xié)態(tài)變量沒有物理意義且相對(duì)于邊值約束非常敏感，協(xié)態(tài)變量初值猜測(cè)很難給定，從而難以收斂到最優(yōu)解；直接法不采用協(xié)態(tài)變量方程，參數(shù)優(yōu)化問題較容易收斂到可行解，但其最優(yōu)性一般難以保證；混合法則介于間接法與直接法之間，協(xié)態(tài)變量初值迭代收斂性優(yōu)于間接法，解的最優(yōu)性優(yōu)于直接法。采用直接法或混合法，雖然均可設(shè)法得到Bang-Bang控制方案，但一般均不滿足最優(yōu)性必要條件。

迄今為止，求解最優(yōu)Bang-Bang控制的方法主要是延拓方法（也稱為同倫方法、平滑方法等）。延拓方法利用相關(guān)參數(shù)構(gòu)造出簡(jiǎn)單問題與復(fù)雜問題的聯(lián)系，首先設(shè)法求解簡(jiǎn)單問題，然后通過對(duì)參數(shù)逐步改進(jìn)最終得到復(fù)雜問題的解。求解最優(yōu)Bang-Bang控制被認(rèn)為是復(fù)雜問題，因此簡(jiǎn)單問題和延拓參數(shù)成為延拓方法的兩個(gè)主要因素。本文以二體模型下轉(zhuǎn)移軌道為例介紹兩類延拓方法。第1節(jié)簡(jiǎn)要介紹小推力軌道優(yōu)化問題，并對(duì)Bang-Bang控制求解方法進(jìn)行評(píng)述；第2、3節(jié)分別描述兩類延拓方法；第4節(jié)對(duì)比兩類解法，指出各自的優(yōu)勢(shì)與特點(diǎn)；第5節(jié)描述延拓方法的應(yīng)用展望；第6節(jié)探討人工智能軌道優(yōu)化；第7節(jié)為本文總結(jié)。

1 小推力軌道優(yōu)化問題與Bang- Bang控制求解方法

在單一引力場(chǎng)中（例如以太陽或者地球?yàn)橹行模┣也豢紤]攝動(dòng)影響，航天器動(dòng)力學(xué)方程如下其中：r為的航天器的位移矢量，v為航天器的速度矢量；μ為中心天體引力常數(shù)；F為推力幅值；m為航天器質(zhì)量；α為推力方向；ge為地球水平面重力加速度（ge=9.806 65 m/s2）；Isp為比沖。對(duì)于小推力軌道，推力幅值F存在最大值，即0 6 F 6 Fmax。對(duì)于脈沖轉(zhuǎn)移軌道，近似認(rèn)為推力F無窮大，即航天器在發(fā)動(dòng)機(jī)開啟瞬時(shí)獲得一個(gè)速度增量，實(shí)現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移，其作用時(shí)間可以忽略不計(jì)。

航天器轉(zhuǎn)移軌道的最優(yōu)控制問題可以描述如下：給定航天器在初始時(shí)刻t0的軌道狀態(tài)[r0,v0]和質(zhì)量m0，要求航天器在末端時(shí)刻tf轉(zhuǎn)移至目標(biāo)軌道狀態(tài)[rf,vf]，尋找最優(yōu)推力方向和大小，在保證約束的條件下使燃料消耗最少，性能指標(biāo)可以表示為

已知航天器初始軌道狀態(tài)[r0,v0]，可通過微分方程（1）和（2）積分求得末端時(shí)刻的位置矢量r(tf)和速度矢量v(tf)，末端約束條件為

依據(jù)最優(yōu)控制理論[3]，可以構(gòu)造系統(tǒng)的哈密爾頓函數(shù)

其中：λr為位置矢量r對(duì)應(yīng)的協(xié)態(tài)變量；λv為速度矢量v對(duì)應(yīng)的協(xié)態(tài)變量；λm為質(zhì)量m對(duì)應(yīng)的協(xié)態(tài)變量。協(xié)態(tài)變量的微分方程為

由于末端質(zhì)量m(tf)并無約束，并且性能指標(biāo)與之相關(guān)，協(xié)態(tài)變量λm在末端時(shí)刻tf的值為

依據(jù)龐特里亞金極小值原理[12]，最優(yōu)推力方向α?應(yīng)滿足?H/?α?=0，并且對(duì)于任意推力方向均滿足∥α∥=1，可推導(dǎo)出最優(yōu)推力方向

由于哈密爾頓函數(shù)與推力幅值F為線性關(guān)系，可推導(dǎo)出最優(yōu)推力幅值應(yīng)滿足Bang-Bang控制

其中S為Bang-Bang控制的開關(guān)函數(shù)，暫不考慮S = 0的奇異情況。最終，最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為如表 1所示的常微分方程兩點(diǎn)邊值問題，式（11）～（13）為推力控制取得最優(yōu)解的必要條件。由于初始時(shí)刻的協(xié)態(tài)變量（λr(t0)、λv(t0)、λm(t0)）需要進(jìn)行初值猜測(cè)，并且轉(zhuǎn)移軌道的推力開關(guān)序列無法事先給出，該兩點(diǎn)邊值問題的求解顯得非常困難。

表 1 燃耗最優(yōu)小推力轉(zhuǎn)移軌道的兩點(diǎn)邊值問題Table 1 Two-point boundary value problem of fuel-optimal low-thrust transfer trajectory

為了求解滿足最優(yōu)性必要條件的小推力轉(zhuǎn)移軌道，可以首先預(yù)設(shè)開關(guān)序列，然后驗(yàn)證求解的小推力轉(zhuǎn)移軌道是否滿足必要條件。若不滿足必要條件，則需要對(duì)開關(guān)序列進(jìn)行調(diào)整，并且對(duì)調(diào)整后的結(jié)果再次驗(yàn)證，直到求解的轉(zhuǎn)移軌道滿足最優(yōu)性必要條件為止[13-17]。Fowler[18]等求得至多有一個(gè)滑行段的Bang-Bang控制軌道。Dixon[14]提出了一種改進(jìn)開關(guān)序列的方法。Bartholomew-Biggs[16]等首先求解全程推進(jìn)的小推力軌道，然后依據(jù)開關(guān)函數(shù)不斷增加滑行段，求解出“開–關(guān)–開”和“開–關(guān)–開–關(guān)–開”序列的Bang-Bang控制（其中“開”表示推進(jìn)段，“關(guān)”表示滑行段）。Chuang等通過增加飛行時(shí)間，由少數(shù)推進(jìn)段的轉(zhuǎn)移軌道求得更多推進(jìn)段的轉(zhuǎn)移軌道，算例中實(shí)現(xiàn)了由兩個(gè)推進(jìn)段增加到三個(gè)推進(jìn)段的轉(zhuǎn)變[19-20]。這些算法總體而言需要更多人為參與，因而計(jì)算效率不高，目前都未成為通用方法。

另一種方法是經(jīng)過分析轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)需求后設(shè)定開關(guān)序列并進(jìn)行求解，不對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行開關(guān)函數(shù)等必要條件的驗(yàn)證。Redding[21-22]設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)移至太陽同步軌道的飛行軌跡時(shí)，只在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)附近設(shè)計(jì)推進(jìn)段。Gao[23]基于對(duì)軌道段和推力方向?qū)壍栏鶖?shù)改變效率的分析預(yù)設(shè)了一個(gè)軌道周期內(nèi)的開關(guān)序列規(guī)律，用于求解多圈轉(zhuǎn)移軌道，Zuiani[24]應(yīng)用類似方法實(shí)現(xiàn)了Bang-Bang控制軌道求解。Goodson[19,25]等提出將多段小推力軌道拼接起來形成具有大量開關(guān)序列的轉(zhuǎn)移軌道。此類方法可以快速求解有較多開關(guān)切換的轉(zhuǎn)移軌道，但無法保證該解滿足最優(yōu)性必要條件。

在傳統(tǒng)的直接法、混合法中，將推力幅值時(shí)間函數(shù)離散化，即可通過直接優(yōu)化得到推力幅值變化曲線。由于推力幅值的變化是有梯度的，無法得到開關(guān)瞬時(shí)切換，即難以直接形成理想的Bang-Bang控制，需要經(jīng)過后續(xù)的分段處理。利用直接法、混合法求解Bang-Bang控制可參考文獻(xiàn)[26~35]。另一方面，開關(guān)函數(shù)的最優(yōu)性必要條件一般不在直接法或混合法中設(shè)定，從而在很大程度上降低了協(xié)態(tài)變量敏感性。因此，傳統(tǒng)的直接法或混合法失去了基于必要條件判斷最優(yōu)性的依據(jù)，即使它們可以更加高效地得到可行解。

延拓方法是目前求解最優(yōu)Bang-Bang控制的有效方法，而且越來越廣泛地被用于小推力轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)。本文中，我們將已有的延拓方法分為兩類：能量–燃耗同倫方法和開關(guān)序列切換延拓方法。能量–燃耗同倫方法是指首先求解滿足約束的能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，然后通過對(duì)性能指標(biāo)的延拓最終求解燃耗最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。開關(guān)序列切換延拓方法是指從一個(gè)滿足Bang-Bang控制必要條件的燃耗最優(yōu)解出發(fā)，通過參數(shù)延拓直接求解另一個(gè)滿足Bang-Bang控制必要條件的燃耗最優(yōu)解，并且在延拓過程中依據(jù)開關(guān)函數(shù)變化切換開關(guān)序列。第2、3節(jié)將詳細(xì)介紹這兩種延拓方法。

2 第一類解法：能量–燃耗同倫方法

求解燃耗最優(yōu)的小推力軌道之所以困難，原因在于最優(yōu)控制對(duì)應(yīng)的推力幅值變化不連續(xù)（Bang-Bang控制形式），難以直接得到最優(yōu)的開關(guān)序列。與燃耗最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道不同，能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道對(duì)應(yīng)的推力幅值隨時(shí)間變化連續(xù)可導(dǎo)，相較于Bang-Bang控制被認(rèn)為較容易求解的一個(gè)主要依據(jù)?；谘油胤椒ǖ乃枷?，可以先求解簡(jiǎn)單的能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，然后通過延拓轉(zhuǎn)移時(shí)間、推力幅值、引力系數(shù)、約束條件等求得復(fù)雜的能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，最后對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行延拓（能量–燃耗同倫過程）求解最優(yōu)Bang-Bang控制。Bertrand[36]利用能量–燃料同倫方法求解了最優(yōu)Bang-Bang控制問題。Haberkron[37]應(yīng)用始端軌道根數(shù)延拓求得能量最優(yōu)軌道，而后應(yīng)用性能指標(biāo)延拓得到最小燃耗轉(zhuǎn)移軌道。Gergaud[38]對(duì)文獻(xiàn)[37]中的方法進(jìn)行了更為嚴(yán)密的論證，并且提出在轉(zhuǎn)移時(shí)間沒有限制的條件下不斷增加轉(zhuǎn)移圈數(shù)，Bang-Bang控制小推力軌道最終接近于脈沖轉(zhuǎn)移軌道[39]。Martinon[40]提出在此同倫方法的積分中加入開關(guān)檢測(cè)，提高了打靶法的計(jì)算效率，并且求解出具有大量開關(guān)切換的小推力軌道。

能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道的性能指標(biāo)一般定義為

其中u=F/Fmax，u∈[0,1]。此時(shí)最優(yōu)控制對(duì)應(yīng)的推力幅值隨時(shí)間變化連續(xù)可導(dǎo)，各優(yōu)化算法更容易處理此類問題，求解出滿足約束的小推力轉(zhuǎn)移軌道。為了求解燃耗最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，可以將性能指標(biāo)式（4）等價(jià)轉(zhuǎn)化為

并且通過延拓參數(shù)ε構(gòu)造新的性能指標(biāo)

其中ε∈[0,1]。當(dāng)ε = 1時(shí)，性能指標(biāo)式（16）為能量最優(yōu)形式；當(dāng)ε = 0時(shí)，性能指標(biāo)式為燃耗最優(yōu)形式。性能指標(biāo)中乘以常數(shù)并不改變最終尋優(yōu)結(jié)果。

由于構(gòu)造了新的性能指標(biāo)式（16），對(duì)應(yīng)的哈密爾頓函數(shù)為

可以推導(dǎo)出最優(yōu)推力幅值滿足

其中：ρ為能量–燃耗同倫過程的開關(guān)函數(shù)。在能量–燃耗同倫過程中，初始時(shí)刻的狀態(tài)量[r0,v0,m0]和協(xié)態(tài)變量[λr(t0),λv(t0),λm(t0)]通過式（1）～（3）、式（7）～（9）積分，在積分過程中實(shí)時(shí)檢測(cè)開關(guān)函數(shù)ρ的值，并且依據(jù)式（18）設(shè)定推力幅值，采用優(yōu)化算法（例如打靶法）滿足末端時(shí)刻約束條件式（5）和式（10）。將能量最優(yōu)小推力轉(zhuǎn)移軌道作為延拓過程的初始解（ε = 1），逐步減小延拓參數(shù)ε進(jìn)行迭代優(yōu)化，將上一次優(yōu)化結(jié)果作為下一次優(yōu)化的初值，最終求得燃耗最優(yōu)的小推力轉(zhuǎn)移軌道。從能量最優(yōu)延拓至燃耗最優(yōu)的過程中，由于數(shù)值積分過程內(nèi)嵌了開關(guān)檢測(cè)，保證了最終的Bang-Bang控制滿足一階必要條件。圖 1為能量–燃耗同倫方法延拓過程中推力幅值的變化示意圖，當(dāng)ε = 1時(shí)推力幅值隨時(shí)間變化為一條連續(xù)可導(dǎo)的曲線，隨著延拓系數(shù)ε不斷增加，推力幅值不斷接近Bang-Bang控制形式；當(dāng)ε = 0時(shí)推力幅值為標(biāo)準(zhǔn)的Bang-Bang控制形式。

圖 1 能量–燃耗同倫方法延拓過程推力幅值變化示意圖Fig. 1 Schematic diagram of thrust-amplitude variation in the continuation process of energy-fuel homotopy

自2008年以來，能量–燃料同倫方法得到了廣泛的應(yīng)用[41-57]。Petukhov提出了末端條件延拓和引力常數(shù)延拓兩種延拓方法求解能量最優(yōu)軌道的方法[41]，而后通過在開關(guān)函數(shù)中構(gòu)造延拓變量的方法得出燃耗最優(yōu)軌道[42]。Caillau[43-44]利用能量–燃料同倫法求解圓形限制性三體模型下的最優(yōu)Bang-Bang控制轉(zhuǎn)移軌道。Olympio[45]、Guo等[46-47]和Jiang等[48]采用能量–燃料同倫方法的同時(shí)，考慮了引力輔助的情況。Li等[49]實(shí)現(xiàn)了相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型下的燃耗最優(yōu)的Bang-Bang控制軌道求解，并給出了相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型下能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道的協(xié)態(tài)變量近似解析形式。Tarzi等[50]將延拓方法與軌道平均技術(shù)相結(jié)合，先用延拓方法求解協(xié)態(tài)變量初值，然后通過能量–燃料同倫方法求得多圈轉(zhuǎn)移軌道，同時(shí)考慮了太陽光壓、地影、近地點(diǎn)等約束。Zhang[51]采用能量–燃耗同倫求解“日–地–月–航天器”四體模型下的小推力軌道。Chen等[52]也通過能量–燃料同倫法設(shè)計(jì)出通過兩次火星借力轉(zhuǎn)移至主帶小行星的轉(zhuǎn)移軌跡。Zhang等[53]考慮了能量約束和太陽能帆板效率下降情況下燃耗最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。Zhang等[54-55]在限制性三體模型下先通過推力幅值延拓求解出能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，再通過延拓性能指標(biāo)求得上百圈的燃耗最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。陸毅[56]在第5屆全國(guó)空間軌道設(shè)計(jì)競(jìng)賽中實(shí)現(xiàn)了載人小行星探測(cè)的Bang-Bang控制軌道設(shè)計(jì)。黃岸毅[57]等人在全局軌跡優(yōu)化競(jìng)賽中采用此方法完成了連續(xù)交會(huì)小行星的任務(wù)設(shè)計(jì)。雖然能量最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道收斂域更大，但對(duì)于推力取常值的問題，能量最優(yōu)解只是一個(gè)中間解，推力幅值隨時(shí)間變化，無法成為常值推力轉(zhuǎn)移軌道的可行解。

3 第二類解法：開關(guān)序列切換延拓方法

開關(guān)序列切換延拓方法是基于混合法提出的一種參數(shù)延拓方法，主要為了彌補(bǔ)原方法中預(yù)先猜測(cè)開關(guān)序列的不足（預(yù)先猜測(cè)的開關(guān)序列可能不是最優(yōu)方案）。該方法源于通過推力幅值延拓求解滿足Bang-Bang控制的小推力軌道[58]。對(duì)于第2節(jié)中的兩點(diǎn)邊值問題，存在一條燃耗最優(yōu)全程推進(jìn)的最小推力軌道（F = Fmin），推力方向滿足式（11），開關(guān)函數(shù)滿足S ≤ 0。當(dāng)推力幅值增加時(shí)（F>Fmin），轉(zhuǎn)移軌道出現(xiàn)滑行段，可以求得滿足Bang-Bang控制的小推力軌道。當(dāng)推力幅值繼續(xù)增加至F→+∞時(shí)，推進(jìn)段時(shí)間可以忽略不計(jì)進(jìn)而采用脈沖代替，此時(shí)開關(guān)函數(shù)滿足S ≥ 0，并且僅在脈沖時(shí)刻有S = 0。圖 2為不同推力幅值對(duì)應(yīng)的開關(guān)函數(shù)曲線示意圖。受到圖 2的啟發(fā)，滿足Bang-Bang控制的小推力軌道可以通過全程推進(jìn)的最小推力軌道延拓推力幅值求解。

圖 2 不同推力幅值開關(guān)函數(shù)示意圖Fig. 2 Schematic diagram of switching function with respect to different thrust amplitude

為了求解最小推力轉(zhuǎn)移軌道，首先以蘭伯特算法[60]求解的兩脈沖轉(zhuǎn)移軌道作為兩點(diǎn)邊值問題的初值，然后優(yōu)化求解具有“開–關(guān)–開”序列的小推力軌道。隨著推力幅值不斷降低，推進(jìn)時(shí)間不斷增加，可以求解出全程推進(jìn)的最小推力軌道（F=Fmin）。這一延拓步驟得到的最小推力轉(zhuǎn)移軌道無需為協(xié)態(tài)變量提供初值[63]。Shen在文獻(xiàn)[64~66]中分別給出了二體模型和三體模型下脈沖轉(zhuǎn)移軌道的初值猜測(cè)方法，但文獻(xiàn)中初值猜測(cè)方法提供的協(xié)態(tài)變量初值并不是原始最優(yōu)控制問題的初值，而是輔助最優(yōu)控制問題的初值，然后通過對(duì)性能指標(biāo)數(shù)值延拓求解原始最優(yōu)控制問題的協(xié)態(tài)變量，并且此方法是否適用于小推力軌道也有待進(jìn)一步討論。

以最小推力轉(zhuǎn)移軌道為起始解，推力幅值增加一個(gè)小量δF（F=Fmin+δF，記為F0，其中δF ＞ 0），轉(zhuǎn)移軌道出現(xiàn)滑行段（S ＞ 0），可求得滿足Bang-Bang控制的小推力轉(zhuǎn)移軌道。接下來延拓推力幅值，延拓策略如下：

其中：c為延拓步長(zhǎng)系數(shù)，并且c ＞ 0，并可采用適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)策略選取。采用如表 2所示的非線性參數(shù)優(yōu)化模型NLP（Nonlinear Programming）求解推力幅值為Fn+1的小推力轉(zhuǎn)移軌道。表 2中ti為開關(guān)切換時(shí)刻，由式（12）可知應(yīng)滿足約束條件S(ti)=0。Fn最優(yōu)解作為NLP中優(yōu)化參數(shù)的初值，由初始狀態(tài)[r0,v0,m0]和協(xié)態(tài)變量[λr(t0),λv(t0)]通過式（1）～（3）和式（7）～（8）積分求得末端時(shí)刻軌道狀態(tài)[r(tf),v(tf)]，并要求滿足等式約束。協(xié)態(tài)變量λm可由式（9）和（10）從tf向t0積分，并計(jì)算開關(guān)函數(shù)式（13）。

表 2 NLP：Bang-Bang控制小推力軌道優(yōu)化模型Table 2 NLP: the optimization model of low-thrust trajectory with Bang-Bang control

若NLP不收斂，則減小延拓步長(zhǎng)c，直至NLP收斂為止；若NLP收斂，并且Fn+1收斂解滿足式（12），則收斂解為Fn+1的燃耗最優(yōu)解，滿足Bang-Bang控制必要條件，若Fn+1收斂解不滿足式（12），則表明收斂解不是Fn+1的燃耗最優(yōu)解，開關(guān)序列需要切換以滿足Bang-Bang控制必要條件。開關(guān)序列的切換規(guī)則與開關(guān)函數(shù)S中四類特征值有關(guān)：局部極大值SU、局部極小值SL、初始值S(t0)和末端值S(tf)，如圖 3所示。通過比較Fn+1收斂解和Fn最優(yōu)解，如果某特征值在優(yōu)化前后的正負(fù)號(hào)發(fā)生改變，則表明開關(guān)序列需要切換。開關(guān)序列切換準(zhǔn)則如表 3所示。當(dāng)推力幅值延拓至目標(biāo)推力幅值時(shí)延拓停止，最終求得滿足Bang-Bang控制必要條件的小推力轉(zhuǎn)移軌道。

圖 3 開關(guān)函數(shù)特征值示意圖Fig. 3 Schematic diagram of the characteristic values of the switching function

表 3 開關(guān)序列切換準(zhǔn)則Table 3 The principle of thrust switching

推力幅值延拓只是開關(guān)序列切換延拓方法的一個(gè)示例，延拓參數(shù)還可選取轉(zhuǎn)移時(shí)間、相位角等。開關(guān)序列切換延拓方法的思路為：從一個(gè)滿足Bang-Bang控制必要條件的小推力轉(zhuǎn)移軌道出發(fā)，通過參數(shù)延拓直接求解另一滿足Bang-Bang控制必要條件的小推力轉(zhuǎn)移軌道，在延拓的過程中跟蹤開關(guān)函數(shù)變化，并依據(jù)表 3中的準(zhǔn)則切換開關(guān)序列。推力幅值延拓過程可視為：已知F=Fmin的燃耗最優(yōu)小推力軌道滿足Bang-Bang控制必要條件，通過延拓推力幅值，求解出目標(biāo)推力幅值的燃耗最優(yōu)小推力軌道。此方法不再利用能量最優(yōu)解作為一個(gè)中間過渡而直接進(jìn)行參數(shù)延拓，并且延拓過程檢測(cè)開關(guān)函數(shù)后再設(shè)定開關(guān)序列。若采用推力幅值延拓方法進(jìn)行大規(guī)模的優(yōu)化，在延拓過程中嚴(yán)格滿足最優(yōu)性一階必要條件將影響計(jì)算效率，可以考慮適當(dāng)放寬約束條件，快速求得次優(yōu)解以利于全局尋優(yōu)，相關(guān)內(nèi)容有待進(jìn)一步研究。

朱小龍等[58]利用推力幅值延拓求解相對(duì)運(yùn)動(dòng)線性化模型下滿足Bang-Bang控制的小推力轉(zhuǎn)移軌道和多脈沖轉(zhuǎn)移軌道，并且提出了臨界推力的概念。所謂臨界推力是指使得開關(guān)函數(shù)部分特征值為零對(duì)應(yīng)的推力，此時(shí)開關(guān)序列奇異，出現(xiàn)某個(gè)瞬時(shí)的開關(guān)序列既可以是“開”也可以是“關(guān)”。Chuang等也在求解Bang-Bang控制時(shí)發(fā)現(xiàn)了此現(xiàn)象，但沒有進(jìn)行分析討論[19]。隨后，朱小龍等通過延拓方法求解了月面轉(zhuǎn)移的“開–關(guān)–開”推力序列的燃耗最優(yōu)軌跡[59]。朱政帆利用該方法求解了衛(wèi)星編隊(duì)重構(gòu)的最優(yōu)控制問題（第7屆全國(guó)空間軌道設(shè)計(jì)競(jìng)賽乙組題目）[61]，利用狀態(tài)變量方程與協(xié)態(tài)變量方程解耦的特性實(shí)現(xiàn)了相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型中的多圈轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)。孟雅哲[62]將相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程拓展到二體模型采用無奇異軌道根數(shù)模型求解最優(yōu)Bang-Bang控制的兩點(diǎn)邊值問題，利用推力幅值延拓能夠求解不同開關(guān)序列的小推力軌道。朱政帆等[63]開展了進(jìn)一步的深入研究，一方面對(duì)延拓參數(shù)為轉(zhuǎn)移時(shí)間和末端相位角的情況進(jìn)行了探討，給出了更多的算例，而且算例表明延拓參數(shù)存在極限值，開關(guān)序列相應(yīng)地從存在“開”和“關(guān)”的Bang-Bang控制通過延拓切換序列最終為全程推進(jìn)；另一方面，從不同兩脈沖解出發(fā)（飛行圈數(shù)不同，但對(duì)應(yīng)同一個(gè)問題），針對(duì)同一個(gè)兩點(diǎn)邊值問題求解出不同的Bang-Bang控制小推力軌道，且均滿足最優(yōu)性必要條件。

4 兩類延拓解法之比較

簡(jiǎn)而言之，兩類解法均以參數(shù)延拓為基礎(chǔ)。第一類解法首先求解能量最優(yōu)解，然后采用能量–燃耗同倫得到最優(yōu)Bang-Bang控制；第二類解法則引入推力開關(guān)切換準(zhǔn)則，從雙脈沖解開始通過參數(shù)延拓最終得到最優(yōu)Bang-Bang控制。通過進(jìn)一步分析，兩類解法之比較可以體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

1）第一類解法已被應(yīng)用于多種小推力轉(zhuǎn)移軌道問題的求解，包括中途約束[46-48]與多圈轉(zhuǎn)移軌道（包括限制性三體模型中的上百圈轉(zhuǎn)移軌道）[50-55]。第二類方法還沒有證明有同樣的能力，目前僅求解了相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型與二體模型轉(zhuǎn)移軌道，且轉(zhuǎn)移圈數(shù)較少（十幾圈的量級(jí)[63]）。對(duì)于線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，能量最優(yōu)解可以解析得出[49]，因而第一類解法計(jì)算效率更高。

2）對(duì)于二體模型轉(zhuǎn)移軌道，在協(xié)態(tài)變量初值猜測(cè)方面，第一類解法在求解相對(duì)簡(jiǎn)單的能量最優(yōu)軌道時(shí)仍需猜測(cè)協(xié)態(tài)變量初值。第二類解法則可從雙脈沖解（由蘭伯特算法求得）開始通過推力幅值延拓得到最小推力全程推進(jìn)解（滿足最優(yōu)性必要條件）以及Bang-Bang控制最優(yōu)解，這樣可以無需提供協(xié)態(tài)變量初值。

3）若轉(zhuǎn)移軌道問題（二體模型轉(zhuǎn)移軌道）的系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化（如轉(zhuǎn)移時(shí)間、推力幅值、目標(biāo)軌道相位角等），第一類解法需重新計(jì)算對(duì)應(yīng)的能量最優(yōu)解（可利用已有能量最優(yōu)解作為初解通過參數(shù)延拓求得），然后再實(shí)施能量–燃料同倫過程得到Bang-Bang控制最優(yōu)解。對(duì)于第二類解法，采用已有Bang-Bang控制最優(yōu)解作為初解，直接延拓變化參數(shù)即可得到新的Bang-Bang控制最優(yōu)解。相對(duì)之下，第二類解法無需求解能量最優(yōu)解，因而計(jì)算效率更高。

4）第二類解法可以找出延拓參數(shù)的臨界解（如推力幅值、時(shí)間、目標(biāo)軌道相位角等），臨界解表明開關(guān)函數(shù)或Bang-Bang最優(yōu)控制具有分岔特性，成為Bang-Bang最優(yōu)控制的另一種奇異狀態(tài)（開關(guān)函數(shù)恒取零是已知的一種奇異狀態(tài)）。第一類解法暫無策略處理此奇異現(xiàn)象，針對(duì)求解包含臨界參數(shù)的轉(zhuǎn)移軌道問題，可能會(huì)遇上迭代收斂困難的情況。

5）第二類解法通過延拓推力幅值，最終可以求出最優(yōu)脈沖轉(zhuǎn)移軌道，特別是多脈沖最優(yōu)解。除此之外，還有望求解脈沖與有限推力混合推進(jìn)最優(yōu)控制問題。第一類解法目前暫不具備該項(xiàng)功能，沒有考慮求解最優(yōu)脈沖轉(zhuǎn)移軌道問題。

6）對(duì)于同一個(gè)二體模型轉(zhuǎn)移軌道問題，雙脈沖解可能對(duì)應(yīng)多解（通過蘭伯特算法求解的多圈轉(zhuǎn)移軌道具有多解特性），那么通過推力幅值延拓，即有可能得到有限推力（以及多脈沖）的多解情況。也就是說，第二類解法提供了一種得到最優(yōu)多解的計(jì)算途徑。第一類解法暫未涉及討論Bang-Bang控制多解問題，也沒有探討能量最優(yōu)解的多解特性。

5 延拓方法應(yīng)用展望

實(shí)際上，兩類延拓解法可以融為一體，延拓參數(shù)設(shè)定可以有多種不同方案，如指標(biāo)參數(shù)延拓、任務(wù)參數(shù)延拓、模型參數(shù)延拓、約束條件參數(shù)延拓等，從而建立起基于延拓設(shè)計(jì)的求解空間小推力Bang-Bang控制轉(zhuǎn)移軌道的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法體系。延拓方法提供了基本轉(zhuǎn)移軌道問題的Bang-Bang控制局部最優(yōu)解的計(jì)算途徑，為進(jìn)一步的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)提供了滿足最優(yōu)性必要條件的最佳初解。

本節(jié)簡(jiǎn)要展望本文所述延拓方法的應(yīng)用前景，問題背景包括：多目標(biāo)巡游轉(zhuǎn)移軌道、復(fù)雜引力場(chǎng)轉(zhuǎn)移軌道、全局最優(yōu)解與帕累托前沿解、小推力多圈轉(zhuǎn)移軌道、星群編隊(duì)與博弈問題、Bang-Bang制導(dǎo)控制律自主生成、人工智能軌道優(yōu)化。

1）對(duì)于多目標(biāo)巡游探測(cè)飛行軌道，整條軌道可以分為多段基本轉(zhuǎn)移軌道，中途約束表現(xiàn)為目標(biāo)飛越、交會(huì)、停留等。一般可以采用雙脈沖軌道拼接得到整條軌道，然后通過延拓方法求解基本轉(zhuǎn)移軌道（可設(shè)法實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算），最后進(jìn)行整體或部分軌道優(yōu)化得到最終設(shè)計(jì)結(jié)果。對(duì)于整體軌道優(yōu)化的中途約束，可以推導(dǎo)出最優(yōu)性必要條件，也可以不再加以考慮，只考慮滿足狀態(tài)約束即可。

2）一般而言，相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)移軌道（圓軌道與橢圓軌道線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程）最容易求解，其雙脈沖或能量最優(yōu)解均能解析得到；其次是二體模型轉(zhuǎn)移軌道，圓形限制性三體與多體星歷模型轉(zhuǎn)移軌道求解則更有難度。例如，在三體模型下延拓模型參數(shù)可能出現(xiàn)非線性分岔，延拓方法是否需要針對(duì)分岔現(xiàn)象進(jìn)行改進(jìn)仍需要進(jìn)一步探討。如果建立模型之間的參數(shù)延拓方案，那么可以將各類模型轉(zhuǎn)移軌道關(guān)聯(lián)起來，即有望先求解簡(jiǎn)單模型轉(zhuǎn)移軌道，然后通過延拓求解復(fù)雜引力場(chǎng)轉(zhuǎn)移軌道問題。

3）從多個(gè)初解出發(fā)，通過設(shè)置不同的延拓路徑（或?qū)崿F(xiàn)延拓路徑的自動(dòng)選擇），可利用并行計(jì)算自動(dòng)且更加快速地求得一系列Bang-Bang控制最優(yōu)解。在給定參數(shù)及其定義域的情況下，可以通過并行計(jì)算延拓方法更高效地得到全局最優(yōu)解以及帕累托前沿解，有助于任務(wù)設(shè)計(jì)者對(duì)任務(wù)參數(shù)開展折中分析（Trade Study）。

預(yù)裂孔：線裝藥密度：加強(qiáng)段 294g/m、正常段 147g/m，底部裝藥量 1.8kg，單孔裝藥量 3.8kg。

4）當(dāng)轉(zhuǎn)移圈數(shù)足夠多（如數(shù)百圈），Bang-Bang控制的開關(guān)切換次數(shù)非常多，轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問題求解會(huì)變得越來越困難。多圈數(shù)轉(zhuǎn)移軌道較多采用軌道平均化方法求解，得到的解由平均軌道根數(shù)表示。以平均軌道根數(shù)解為參考，通過構(gòu)建多參數(shù)交叉延拓方案，有望能夠進(jìn)一步求解由瞬時(shí)軌道根數(shù)表示的Bang-Bang控制多圈轉(zhuǎn)移問題。

5）延拓方法對(duì)于Bang-Bang制導(dǎo)控制律自主生成具有潛在應(yīng)用價(jià)值。當(dāng)前狀態(tài)偏離標(biāo)稱軌道，特別是線性反饋跟蹤控制律失效的情況，可以利用當(dāng)前或末端狀態(tài)延拓的方法得到新的Bang-Bang最優(yōu)控制律。該方法基于模型預(yù)測(cè)，與基于誤差的反饋控制律結(jié)合一起，有望在自主制導(dǎo)方面發(fā)揮更大的作用。當(dāng)然，延拓方法計(jì)算效率還有待進(jìn)一步提升。

6）星群編隊(duì)與博弈的小推力轉(zhuǎn)移軌道主要探討單顆衛(wèi)星轉(zhuǎn)移軌道局部最優(yōu)解的組合方案，從而實(shí)現(xiàn)星群整體控制層面的最優(yōu)性能指標(biāo)。由于衛(wèi)星數(shù)目多，直接求解多星Bang-Bang控制并不容易。可采用首先求解單星的轉(zhuǎn)移軌道，設(shè)置合理可行的多參數(shù)延拓方案，即可得到一系列局部最優(yōu)解，然后將多顆星的局部最優(yōu)解組合為多星最優(yōu)解。針對(duì)星群編隊(duì)與博弈問題，往往需要考慮計(jì)算時(shí)間約束，即在給定的計(jì)算時(shí)間內(nèi)得到盡可能最優(yōu)的解，這也涉及到制導(dǎo)控制律自動(dòng)生成問題。

6 人工智能軌道優(yōu)化的探討

本文提出一個(gè)新的概念：人工智能軌道優(yōu)化。此概念是指給出復(fù)雜飛行軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題描述，計(jì)算機(jī)可以模擬人的思考方式自動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，可以將問題求解分為三個(gè)基本步驟：初解、延拓和拼接。人工智能方法也可遵循這個(gè)設(shè)計(jì)步驟，并在每一步均遵循特定的自動(dòng)計(jì)算方法。

初解可以理解為最容易得到的解，可能并不滿足問題約束的解，比如本文所述的能量最優(yōu)解（第一類方法）與雙脈沖解（第二類方法）。初解可以還有其他形式，如多脈沖解或特定推力解等。初解最好是解析形式并無需迭代，這樣可以適應(yīng)大范圍的問題參數(shù)空間。通過并行計(jì)算可以獲得大量對(duì)應(yīng)不同參數(shù)的初解，并從中選取較好的局部初解。

延拓解法的基本思路是從已知解得到未知解（包括從初解開始延拓）。延拓可以提供某些系統(tǒng)參數(shù)在一定取值范圍內(nèi)的局部最優(yōu)解。在這一步中，從較好的局部初解出發(fā)，通過延拓即可得到最優(yōu)推力方向，包括得到Bang-Bang控制。延拓過程一般需要進(jìn)行數(shù)值迭代，如何提高迭代效率值得深入研究。

將局部最優(yōu)解按照時(shí)間順序拼接起來（后者其它組合方式），即可得到更加復(fù)雜的飛行軌道。這一步驟主要關(guān)注組合優(yōu)化的全局最優(yōu)性，同時(shí)組合優(yōu)化算法的計(jì)算效率也是值得研究的問題。在這一步使用遺傳算法，可以更好地發(fā)揮算法的優(yōu)勢(shì)。但針對(duì)初值、延拓的計(jì)算需求，遺傳算法的優(yōu)勢(shì)往往難以體現(xiàn)。

總而言之，初解、延拓與拼接的求解步驟為人工智能軌道優(yōu)化提供了潛在的實(shí)現(xiàn)途徑。與直接采用進(jìn)化算法求解不同，基于初解（如雙脈沖解）、延拓與拼接的思想有望讓計(jì)算機(jī)更加智能化，初解選擇延拓起點(diǎn)，延拓注重獲得局部最優(yōu)解，拼接注重獲得全局最優(yōu)。初解、延拓與拼接方案的設(shè)定可以借助機(jī)器學(xué)習(xí)的思想，通過讓計(jì)算機(jī)不斷求解轉(zhuǎn)移軌道問題，總結(jié)規(guī)律與積累經(jīng)驗(yàn)，從而能夠高效地求解新問題。當(dāng)然，以上僅為概念設(shè)想，但值得開展創(chuàng)新研究。

7 結(jié)束語

本文介紹了空間小推力Bang-Bang控制轉(zhuǎn)移軌道的兩類延拓解法。第一類解法主要采用能量–燃耗同倫得到最優(yōu)Bang-Bang控制；第二類解法則以推力開關(guān)切換準(zhǔn)則為依據(jù)通過參數(shù)延拓最終得到最優(yōu)Bang-Bang控制。對(duì)于不同類型轉(zhuǎn)移軌道問題，兩類解法各有優(yōu)勢(shì)。第二類解法在傳統(tǒng)直接/間接混合法的基礎(chǔ)上，解決了此前無法準(zhǔn)確預(yù)設(shè)開關(guān)序列的問題。將兩類延拓方法融為一體，有望進(jìn)一步認(rèn)識(shí)與理解復(fù)雜轉(zhuǎn)移軌道問題的求解方案，并有望建立系統(tǒng)的空間小推力軌道優(yōu)化的方法體系。最后，探討了基于初解、延拓與拼接的人工智能軌道優(yōu)化新概念。the Second International Symposium on Spacecraft Flight Dynamics. Darmstadt，Germany：ESA，1986.

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通信地址：北京海淀區(qū)鄧莊南路9號(hào)（100094）

電話：（010）82178880

E-mail：zhuzhengfan@aoe.ac.cn

高揚(yáng)（1974– ），男，研究員，主要研究方向：空間軌道優(yōu)化、定軌與導(dǎo)航、空間動(dòng)力學(xué)與控制。

通信地址：北京海淀區(qū)鄧莊南路9號(hào)（100094）

電話：（010）82178228

E-mail：gaoyang@csu.ac.cn

Survey of Two Classes of Continuation Methods for Solving Optimal Bang-Bang Control of Low-Thrust Space Trajectories

ZHU Zhengfan1，GAO Yang2*
（1. Academy of Opto-electronics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100094，China；
2. Technology and Engineering Center for Space Utilization，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100094，China）

The optimal Bang-Bang control problem of low-thrust space trajectories is introduced. Two classes of continuation methods are described：the first solves the energy-optimal solution，and subsequently employs the energy-fuel homotopy to obtain the optimal Bang-Bang control；the second introduces a switching principle，and obtains the optimal Bang-Bang control through parameter continuation starting from a two-impulse solution. The two continuation methods are compared，and the advantages and characteristics of the two methods are discussed. The prospects of the continuation methods applying to more complicated low-thrust trajectory designs are proposed. The concept of artificial intelligence trajectory optimization is presented，which contains three aspects：initial solution，continuation，and patching.

low thrust；numerical optimization；Bang-Bang control；homotopy continuation；artificial intelligence

V412.4

A

2095-7777（2017）02-0101-10

10.15982/j.issn.2095-7777.2017.02.001

朱政帆（1988– ），男，博士研究生，主要研究方向：空間小推力軌道優(yōu)化、空間任務(wù)設(shè)計(jì)。

[責(zé)任編輯：高莎，英文審校：朱魯青]

朱政帆，高揚(yáng). 空間小推力軌道最優(yōu)Bang-Bang控制的兩類延拓解法綜述[J]. 深空探測(cè)學(xué)報(bào)，2017，4（2）：101-110.

Reference format: Zhu Z F，Gao Y. Survey of two classes of continuation methods for solving optimal Bang-Bang control of Low-Thrust space trajectories [J]. Journal of Deep Space Exploration，2017，4（2）：101-110.

2017-01-10

2017-03-29

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11372311）；中國(guó)科學(xué)院空間科學(xué)研究院培育項(xiàng)目；中國(guó)科學(xué)院國(guó)防科技創(chuàng)新基金項(xiàng)目（CXJJ-15M016）