曾定方

(北京工業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院,北京 100124)

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電動(dòng)力學(xué)教學(xué)論文

引力波背景下的電磁波

曾定方

(北京工業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院,北京 100124)

本文首先介紹了激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)原理教學(xué)的時(shí)空?qǐng)D方法，緊接著對(duì)引力波背景下一種具有簡(jiǎn)單然而非平庸時(shí)空輪廓的電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程進(jìn)行了化簡(jiǎn)并求出了其解析解，最后利用所得解對(duì)激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)中測(cè)地光子近似的有效性進(jìn)行了定量的評(píng)估和分析。我們的結(jié)果對(duì)激光干涉引力波探測(cè)原理和彎曲時(shí)空中麥克斯韋方程組及電磁波理論的教學(xué)有積極的探討價(jià)值。

激光干涉引力波探測(cè);彎曲時(shí)空背景下的麥?zhǔn)戏匠探M;電磁波

1 引論

激光干涉引力波探測(cè)研究組(英文簡(jiǎn)稱LIGO)對(duì)引力波事件GW20150914及后續(xù)事件觀測(cè)結(jié)果[1,2]的公布是2016年最重要的科學(xué)事件，這一事件的意義在于，它是人類第一次通過實(shí)驗(yàn)直接證實(shí)引力波的存在，也是人類通過實(shí)驗(yàn)第一次觀測(cè)到恒星質(zhì)量黑洞的存在以及雙黑洞的合并過程。由于引力波是愛因斯坦引力理論最早也最重要的理論預(yù)言之一，將這一事件稱為Eistein引力理論100年來最重要的進(jìn)展應(yīng)該不會(huì)過分。

基于引力波探測(cè)可能為未來天文和宇宙學(xué)觀測(cè)提供新渠道的動(dòng)機(jī)，除了LIGO,當(dāng)前國(guó)際上尚有3個(gè)引力波探測(cè)項(xiàng)目正在被改進(jìn)執(zhí)行當(dāng)中，即英德聯(lián)合的GEO600,意法聯(lián)合的VIRGO,日本的KAGRA,而我們國(guó)內(nèi)中山大學(xué)的“天琴計(jì)劃”和中科院的“太極計(jì)劃”也已進(jìn)入籌劃/實(shí)施準(zhǔn)備。在2016年，引力波探測(cè)似乎一下子成了我們國(guó)家的大科學(xué)發(fā)展戰(zhàn)略核心。

在交流中我們察覺，和我們自己剛剛接觸這個(gè)問題時(shí)的狀態(tài)相似，我們的很多同行，包括引力和相對(duì)論天體物理研究領(lǐng)域的同學(xué)和老師對(duì)激光干涉引力波探測(cè)儀的工作原理并不十分了解。譬如，一個(gè)最容易讓大家疑惑的問題是：既然引力的本質(zhì)就是時(shí)空彎曲，那么處在引力波波場(chǎng)中的探測(cè)儀兩臂和在臂上傳播的光波波長(zhǎng)就應(yīng)該同步伸縮，這意味著干涉儀任意單臂上光波的光程應(yīng)該是個(gè)常數(shù)，兩臂上光波的光程差怎么會(huì)隨著引力波的振蕩而變化呢？這是一個(gè)非常自然而且尖銳的問題，它觸到了激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)的基本原理。但在當(dāng)前充斥于市面的大量引力波介紹文獻(xiàn)中，我們沒有看到對(duì)這一問題的準(zhǔn)確回答。本文第2節(jié)將使用時(shí)空?qǐng)D示法為這一問題的教學(xué)給出一個(gè)直觀而準(zhǔn)確的回答。

本文希望回答的核心問題是，激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)原理與數(shù)據(jù)分析中被當(dāng)作常識(shí)接受的測(cè)地光子近似——即假設(shè)干涉儀兩臂上的激光具有確定的波長(zhǎng)、頻率定義并沿引力波時(shí)空中的測(cè)底線運(yùn)動(dòng)而不是彎曲時(shí)空麥克斯韋方程組所要求的時(shí)空依賴波長(zhǎng)、頻率以及振幅變化——到底在多高精度上是合理的？這一問題從一開始[3]激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)原理被提出時(shí)起就被假設(shè)是合理的，其準(zhǔn)確性直到目前為止仍然沒有被定量研究過。雖然正像我們?cè)诒疚闹袑⒁故镜模捎谌祟愒诘厍蛏夏軌驕y(cè)量到的引力波振幅的量級(jí)太小，對(duì)這一效應(yīng)定量影響的忽略具有數(shù)量上的合理性。然而，從概念和教學(xué)的角度，對(duì)這一問題的定量研究卻是非常必要和有價(jià)值的。我們的研究思路是，從線性極化平面引力波時(shí)空背景下麥?zhǔn)戏匠探M的一般形式出發(fā)，假設(shè)電磁波沿引力波波矢方向線性極化、垂直于引力波波矢并沿著其振幅最大或最小的方向傳播，從而將電磁勢(shì)非零的分量數(shù)降到最少，將其滿足的偏微分方程復(fù)雜度降到最低，然后通過對(duì)電磁勢(shì)時(shí)間和空間依賴形式的簡(jiǎn)化假設(shè)，將偏微分形式的麥?zhǔn)戏匠探M轉(zhuǎn)化成一個(gè)帶時(shí)間參數(shù)的描述電磁勢(shì)空間分布特征的常微分方程并通過對(duì)該方程的數(shù)值求解得到期望中的電磁場(chǎng)分布及傳播圖像，從而為激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)中測(cè)地光子近似的有效性提供定量評(píng)估的依據(jù)。

本文目的是介紹激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)的基本原理并定量評(píng)估該實(shí)驗(yàn)原理中測(cè)地光子近似的精確程度。我們假設(shè)讀者學(xué)習(xí)過電動(dòng)力學(xué)和引力波理論的基礎(chǔ)知識(shí)，顯然文章內(nèi)容對(duì)加深和擴(kuò)展電動(dòng)力學(xué)課程內(nèi)容的教學(xué)具有積極的探索價(jià)值。文章接下來的兩節(jié)將分別對(duì)上述兩段中提出的問題進(jìn)行詳細(xì)的解答并在最后一節(jié)給出簡(jiǎn)單的總結(jié)。

2 激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)原理

首先對(duì)引力波的概念做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹。使用電磁類比，引力波可以被理解為空間本身的一種振動(dòng)，而且振動(dòng)的等相面會(huì)由近及遠(yuǎn)地傳播?？臻g本身振動(dòng)的意思是說，如果在該空間引入一把固態(tài)尺子，該尺子的物理長(zhǎng)度將以某種可測(cè)量的方式發(fā)生變化，這種物理長(zhǎng)度的變化可能通過另一把不同材料因而具有不同彈性模量的固態(tài)尺子的測(cè)量發(fā)現(xiàn)，但最好的方法是通過光在這種尺子兩端走一個(gè)來回的時(shí)間相對(duì)于不含引力波的靜態(tài)時(shí)空下同樣過程的時(shí)間差異來測(cè)量[4]。

時(shí)空本身的振蕩或伸縮行為是用度規(guī)衡量的，為直觀起見，設(shè)想一束沿 z 軸傳播的單色引力波，它引起的時(shí)空振蕩有兩種偏振方式即所謂的+模式和×模式，前者波函數(shù)可寫做

(1)

而后者可寫作

ds2=-dt2+dx2+2hdxdy+dy2+dz2

(2)

現(xiàn)在，讓我們使用時(shí)空?qǐng)D示法來考察激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)的原理。參考圖1,設(shè)想一單色激光光源在坐標(biāo)原點(diǎn)O處被分成兩束，沿相互垂直的OA,OB兩臂傳播，物理的光速由零質(zhì)量粒子的測(cè)地線方程決定

(5)

顯然坐標(biāo)光速是依賴于引力波導(dǎo)致的空間振蕩幅度的，

(6)

所以，如果畫出沿著干涉儀兩臂往返傳播的光波波前的世界線，將獲得圖1所示的示意圖。顯然，當(dāng)引力波穿過干涉儀平面時(shí)，干涉儀兩臂OA,OB物理長(zhǎng)度會(huì)隨著時(shí)間周期性地變化，但其間光波的物理傳播速度卻不會(huì)發(fā)生變化。因此如果有兩束同相激光同時(shí)從O出發(fā)沿x,y軸傳播并在A,B處反射后回到O點(diǎn)，則它們的返回時(shí)間將存在差異(l表示干涉儀兩臂在引力波不存在時(shí)的長(zhǎng)度)，

(7)

顯然，同時(shí)從O出發(fā)但沿著不同路徑的光不可能同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)，而從兩條e臂上同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)疊加的光一定不是同時(shí)出發(fā)的，因此它們之間必然存在相位差異，而且這種相位差異是依賴于引力波導(dǎo)致的空間伸縮幅度變化的。激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)正是利用這一原理，將引力波導(dǎo)致的幅度僅為h0～10-21量級(jí)的空間伸縮效應(yīng)轉(zhuǎn)換成人眼可見的激光干涉條紋，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)引力波的直接觀測(cè)和驗(yàn)證的。

這里介紹的時(shí)空?qǐng)D示法準(zhǔn)確而且直觀地解決了本文引論部分提出的典型疑問：即由于引力波會(huì)導(dǎo)致電磁波波長(zhǎng)和干涉儀臂長(zhǎng)的同步變化

沿兩條不同路徑傳播的電磁波為什么仍然出現(xiàn)相位差異并在最終疊加時(shí)導(dǎo)致時(shí)間依賴的干涉條紋？基于時(shí)空?qǐng)D示法的分析得之，這種相位差異來源于Ex,Ey中表面上看起來相同e-i ωΔt因子，沿著不同路徑傳播的電磁波往返一圈所花費(fèi)的時(shí)間是不同的，參看表達(dá)式(7)。從教學(xué)的角度看，時(shí)空?qǐng)D示法是電動(dòng)力學(xué)中狹義相對(duì)論部分的內(nèi)容，但它在激光干涉引力波探測(cè)這樣的前沿科學(xué)研究中竟然可以有如此簡(jiǎn)單漂亮的應(yīng)用。因此如果我們能夠?qū)⑺m當(dāng)?shù)匾氡究粕碾妱?dòng)力學(xué)課堂，對(duì)于提升課程的前沿性和時(shí)代感顯然具有積極的意義。

3 引力波背景下的電磁波

在上節(jié)對(duì)激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)原理的介紹中，探針電磁波被假設(shè)具有確定的波長(zhǎng)和頻率，在被引力波導(dǎo)致的彎曲時(shí)空中沿測(cè)地線運(yùn)動(dòng)?？梢园堰@種做法稱作測(cè)地光子假設(shè)，這種假設(shè)從該實(shí)驗(yàn)原理的早期探討[3]直到今天實(shí)驗(yàn)結(jié)果被發(fā)布出來，一直都被認(rèn)為是合理的，原因是現(xiàn)實(shí)的可被探測(cè)的引力波振幅都是如此小以致它們導(dǎo)致的時(shí)空彎曲程度完全不足以引起其中光波波長(zhǎng)和頻率的可察覺變化。然而正如在引論中介紹的，類似像這種假設(shè)的可靠度有多高？當(dāng)引力波振幅強(qiáng)到什么量級(jí)時(shí)會(huì)失效？之類的問題卻一直沒有被定量研究過，本節(jié)希望對(duì)這一問題給出一份認(rèn)真的研究。

我們的出發(fā)點(diǎn)是一般彎曲時(shí)空背景下的麥克斯韋方程組[5]

方程(10)允許即便在彎曲時(shí)空背景下仍然可以,至少是定域地可以引入四矢量勢(shì)Aμ表示電磁場(chǎng)，使得場(chǎng)強(qiáng)Fμ ν=Aμ;ν-Aν;μ，而且協(xié)變導(dǎo)數(shù)及散度則可分別計(jì)算如下

(14)

引力波是一種彎曲度隨時(shí)間變化的彎曲時(shí)空，激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)的原理就是讓激光即電磁波在這種時(shí)空背景下沿著兩條互相正交的光路傳播一定距離后相干疊加，通過干涉條紋的時(shí)變特征對(duì)背景時(shí)空的引力波的變化頻率和振幅進(jìn)行定量的測(cè)量。當(dāng)考察引力波時(shí)空背景下光信號(hào)的自由傳播時(shí)，只需把麥?zhǔn)戏匠探M右邊的源流矢量Jν設(shè)為零，同時(shí)將相應(yīng)的度規(guī)和曲率張量設(shè)為(1)及下述形式

此處的曲率張量分量根據(jù)下述定義

作為求解麥?zhǔn)戏匠探M最簡(jiǎn)單的一步，可以驗(yàn)證上述形式的電磁場(chǎng)場(chǎng)勢(shì)函數(shù)自然地滿足洛倫茲規(guī)范條件

(19)

亦即

(20)

(21)

注意到所有下標(biāo)非y的A場(chǎng)分量都等于零，并將全部非零的曲率和相關(guān)聯(lián)絡(luò)系數(shù)

代入方程(21),將得到

由于所考慮的電磁波只有Ay分量不為零，而Ay函數(shù)又不依賴于y坐標(biāo)，所以上述4個(gè)分量方程中實(shí)際上只有第三個(gè)是非平庸的。

(31)

圖2 引力波背景下的電磁波示意圖引力波沿z軸傳播，電磁波沿x軸傳播，沿y軸偏振，這種電磁波具有形如的波函數(shù)

(32)

(34)

完整的電磁波波場(chǎng)可寫為下述形式

(35)

(36)

這意味著將引力波背景下的電磁波看做具有確定頻率和波長(zhǎng)的平面波 (ke=ωe)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析和解釋可能產(chǎn)生的相對(duì)誤差與引力波的振幅有相同的量級(jí)，由于實(shí)驗(yàn)中h0=10-21量級(jí)，這種誤差確實(shí)可以忽略。由于引力輻射的振幅隨著探測(cè)器跟源之間距離的縮小按負(fù)一次冪增強(qiáng)，因此如果希望在距離地球更近的某處(LIGO探測(cè)到的GW150914事件源距離地球10億光年，振幅為10-21量級(jí))發(fā)生類似的雙黑洞合并事件，并且其產(chǎn)生的引力波到達(dá)地球上振幅能夠達(dá)到10-11的量級(jí)，則“更近”的標(biāo)準(zhǔn)就是1光年！

雖然在太陽(yáng)系附近1光年的范圍內(nèi)不存在任何其他恒星或雙黑洞系統(tǒng)，但是我們的計(jì)算結(jié)果式(34)，(35)仍然有價(jià)值，其價(jià)值一是，它們從概念角度讓我們明確了引力波背景下的電磁波不可能同時(shí)具有確定數(shù)值頻率和波數(shù)的事實(shí)；價(jià)值二是，在高能對(duì)撞機(jī)實(shí)驗(yàn)中，如果產(chǎn)生引力子，其振幅和頻率將同時(shí)達(dá)到那樣的量級(jí)使得它們跟光子的耦合導(dǎo)致光子不可能同時(shí)具有確定頻率和波數(shù)的結(jié)果。在理論研究中，存在大量文獻(xiàn)[6-12]將引力子和光子同時(shí)處理為具有確定頻率和波數(shù)的基本粒子的做法。根據(jù)本文的討論，這種做法跟廣義相對(duì)論實(shí)際上是存在明顯沖突的。當(dāng)前人們尚未對(duì)這些沖突進(jìn)行認(rèn)真的研究，原因主要在于將引力作用納入微擾量子場(chǎng)論框架的研究并沒有給出實(shí)驗(yàn)上可驗(yàn)證的理論預(yù)言，因此未受到認(rèn)真關(guān)注而非這種做法本身不容置疑。其價(jià)值三在于，隨著引力物理人工材料模擬研究的發(fā)展[13-15]，我們也許能夠在看得見的將來設(shè)計(jì)并制造出合適的人工材料器件，利用其光學(xué)特性模擬引力波對(duì)電磁波傳播的影響，在那樣的模擬引力波器件中，引力波的振幅可以做到足夠大以致式(34)所體現(xiàn)的電磁波波數(shù)不能為常數(shù)現(xiàn)象可以被直接觀測(cè)到。

4 結(jié)語(yǔ)

本文討論了兩個(gè)問題，第一個(gè)是用時(shí)空?qǐng)D方法解釋了激光干涉引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)的基本原理，這種方法直觀而準(zhǔn)確地消除了很容易困擾學(xué)生和研究者的一個(gè)關(guān)鍵問題：由于引力波會(huì)導(dǎo)致干涉儀臂長(zhǎng)和激光波長(zhǎng)的同步變化，憑什么兩條互相正交光路上的光波在經(jīng)過反射后匯合時(shí)仍然會(huì)產(chǎn)生時(shí)間依賴的相位差異？我們解釋的核心思想是，這種相位差異不是來自于相位因子e-i ωΔt+i2πΔx/λ的Δx部分，而是來自于Δt部分。時(shí)空?qǐng)D是電動(dòng)力學(xué)狹義相對(duì)論教學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，我們將它應(yīng)用到引力波探測(cè)這樣的前沿基礎(chǔ)研究的討論中，對(duì)于拓寬和加深電動(dòng)力學(xué)課程的教學(xué)有重要的探索價(jià)值。

本文討論的第二個(gè)問題是，引力波背景下的電磁波。文中嚴(yán)格地求解了線性、平面、單色引力波背景下沿著引力波導(dǎo)致的空間伸縮幅度最大方向上傳播(主要沿該方向，實(shí)際上沿引力波傳播方向電磁波的波矢量也有無(wú)法設(shè)為零的分量)，與引力波傳播方向和空間申縮幅度最大方向同時(shí)正交的方向偏振的電磁波所滿足的麥克斯韋方程組。我們的結(jié)果表明，引力波背景下的電磁波不可能同時(shí)具有確定的頻率和波數(shù)定義。當(dāng)頻率取確定值時(shí)，波數(shù)會(huì)變成一個(gè)時(shí)空坐標(biāo)依賴的量；反過來也一樣。我們的研究結(jié)果對(duì)于定量評(píng)估引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)中的測(cè)地光子近似的準(zhǔn)確性有重要的參考價(jià)值。我們的研究也有可能對(duì)那些將引力子像光子一樣處理，使用微擾量子場(chǎng)論方法計(jì)算高能對(duì)撞過程引力子效應(yīng)的研究構(gòu)成一定程度的挑戰(zhàn)。

本文第一部分的創(chuàng)新點(diǎn)主要在于教學(xué)角度，類似的方法在以前的文獻(xiàn)和教科書中從未出現(xiàn)過。本文第二部分從科學(xué)研究角度考察具有原創(chuàng)性，據(jù)我們所知，本文是第一個(gè)導(dǎo)出引力波背景下特殊電磁波解析解式(34)，(35)的學(xué)術(shù)論文。

致謝： 本文內(nèi)容在第16屆全國(guó)電動(dòng)力學(xué)研究會(huì)上報(bào)告過，作者非常感謝以朱傳界、鄧文基、李志兵、周磊、王振林，崔元順，以及鄭漢青等為代表的參會(huì)老師對(duì)論文各方面內(nèi)容和問題的點(diǎn)撥和修改建議，同時(shí)也非常感謝未參會(huì)的羅春榮老師仔細(xì)閱讀論文草稿并向會(huì)議學(xué)術(shù)委員會(huì)作出的熱情推薦。

[1] The LIGO Scientific Collaboration, the Virgo Collaboration. Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger”, Phys. Rev. Lett. 116(2016) 061102.

[2] LIGO Scientific and Virgo Collaborations. GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence, Phys. Rev. Lett. 116(2016) 241103.

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ELECTROMAGNETIC WAVES IN THE BACKGROUND OF GRAVITATIONAL WAVES

Zeng Ding-fang

(School of Math and Physics, Beijing University of Technology, Beijing 100124)

This paper covers two topics. The first is the space-time diagrams’ application in the teaching and learning of principles of the laser interferometer gravitation wave observation experiments. The second is the exploration of electromagnetic waves in the background of gravitational wave backgrounds. We provide an exact nontrivial solution to the Maxwell equations in such a curved background and find that such electromagnetic waves could not have exact frequency and wave-number definition simultaneously. That is, if the frequency takes a definite value, then its wave-number becomes space-time coordinate dependent and vice versa. We use this results making quantitative estimation for the geodesic photon approximation in LIGO experiments. Our results is valuable for the teaching and learning of LIGO experimental principle and Maxwell equations under the curved space-time.

gravitational waves; gravitational time delay; laser

2016-12-31

曾定方,男,講師,主要研究方向：String Theoy and M-theory,物理教育，dfzeng@bjut.edu.cn。

曾定方. 引力波背景下的電磁波[J]. 物理與工程，2017，27(3)：76-81.