丁釗鵬，劉立新

（1.對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)金融學(xué)院，北京100029；2.北京聯(lián)合大學(xué)，北京100101）

融資約束下CPPI策略風(fēng)險分析

丁釗鵬1,2，劉立新1

（1.對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)金融學(xué)院，北京100029；2.北京聯(lián)合大學(xué)，北京100101）

在融資約束之下，通過定義三種資產(chǎn)狀態(tài)，文章計算出投資組合價值在三者之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣，并推演出各概率值與風(fēng)險乘數(shù)、資產(chǎn)波動率、期望收益率、無風(fēng)險收益率和投資者風(fēng)險偏好諸要素之間的增減關(guān)系。以滬深300指數(shù)作為風(fēng)險資產(chǎn)，在四類典型波動的市場，推算出融資約束下不同調(diào)整周期與風(fēng)險乘數(shù)對應(yīng)的期末組合價值以及各狀態(tài)的期初期末轉(zhuǎn)移概率，并闡述了市場狀況與投資組合保險策略的選擇關(guān)系以及風(fēng)險頭寸與組合保險失敗的聯(lián)系。

投資組合保險；風(fēng)險乘數(shù)；融資約束；轉(zhuǎn)移概率

0 引言

投資組合保險策略，即投資機構(gòu)在保障資金安全的前提下，在各資產(chǎn)類別之間動態(tài)線性配置投資資金比重，以期獲得較高的市場收益率。

對于投資組合策略，一個基本的前提假設(shè)是：可用資金量不存在任何限制。但在CPPI策略中，倘若風(fēng)險乘數(shù)過大，隨著市場的變化，一定時期，風(fēng)險資產(chǎn)投資額度理論上可能會高于當(dāng)期投資組合價值總額，因此，當(dāng)期資產(chǎn)不但悉數(shù)應(yīng)投向風(fēng)險資產(chǎn)，尚且需要借助外部融資杠桿投向風(fēng)險資產(chǎn)。然而對于很多基金來說，融資約束通常存在，甚至不允許外部杠桿借貸，況且，即使不存在融資約束，過高的杠桿融資成本也將使多數(shù)投資者望而卻步。本文擬在融資約束之下，通過定義三種資產(chǎn)狀態(tài)，利用轉(zhuǎn)移概率矩陣，推演出各概率值與風(fēng)險乘數(shù)、資產(chǎn)波動率、期望收益率、無風(fēng)險收益率和投資者風(fēng)險偏好諸要素之間的增減關(guān)系，在融資約束下，以滬深2011—2014年四個有代表性的風(fēng)險市場推算出不同調(diào)整周期與風(fēng)險乘數(shù)所對應(yīng)的期末組合價值以及各狀態(tài)的期初期末轉(zhuǎn)移概率，并闡述了市場狀況、風(fēng)險頭寸與組合保險策略選擇之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

1 融資約束下的條件轉(zhuǎn)移概率

策略的基本理論公式和符號：

Vt:t時刻投資組合價值；

Ct:t時刻緩沖值；

Ft:t時刻要保額度；

Et:t時刻風(fēng)險資產(chǎn)投資價值；

St:t時刻風(fēng)險資產(chǎn)市場價格；

Dt:t時刻無風(fēng)險資產(chǎn)市場價格；

G:投資者要求的期末要保額度價值；

m:風(fēng)險乘數(shù)；

r:即期無風(fēng)險收益率。

按照CPPI策略，投資者根據(jù)風(fēng)險偏好在期初設(shè)定風(fēng)險乘數(shù)m以及t時刻所需要保額度Ft，風(fēng)險資產(chǎn)投資額度為風(fēng)險乘數(shù)乘以緩沖值Ct=Vt-Ft，余下份額投向無風(fēng)險資產(chǎn)。隨著市場上風(fēng)險資產(chǎn)價格的變動以及投資保險期限逐步收縮，風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)二者之間的投資權(quán)重需要投資者動態(tài)調(diào)配。此處的風(fēng)險乘數(shù)（m＞1）對應(yīng)于投資者的金融杠桿，越高的風(fēng)險乘數(shù)，代表投資者越風(fēng)險偏好，投資者在風(fēng)險資產(chǎn)升值中具有更誘人的杠桿收益；反之，一旦風(fēng)險資產(chǎn)下跌，則投資組合價值損失成倍放大，在來不及重配資產(chǎn)并止損的情況下，投資組合將無從保險。

定理1：按照Black-Scholes的假設(shè)，且無風(fēng)險資產(chǎn)收益率、風(fēng)險資產(chǎn)漂移率及波動率和都是固定值，可得投資組合價值將滿足：

倘若存在融資約束，即投資者投資于風(fēng)險資產(chǎn)的頭寸受到外部融資的限制，那么風(fēng)險資產(chǎn)頭寸將定義為：

其中，a表示當(dāng)期組合價值用于風(fēng)險資產(chǎn)頭寸的上限比率，它刻畫了投資者的風(fēng)險偏好程度。則可以得到，在任意投資組合調(diào)整周期Δt=ti-ti-1內(nèi)，總是存在三種不同的投資組合價值狀態(tài)：

定理2：從ti-1至ti這段時間區(qū)間，投資組合價值三種狀態(tài)之間存在一定的轉(zhuǎn)移概率，且令條件轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

其中：

推論1：條件轉(zhuǎn)移概率矩陣：

d5皆依賴于該時間區(qū)間內(nèi)期初要保額度與投資組合價值

且由上面分析可知：d4＞d1＞d3＞d5，因此

上面的不等式表明：當(dāng)前一期投資組合價值超過要保額度時，下一期超過投資上限限額（轉(zhuǎn)移至狀態(tài)1）的概率必將大于不能保底的概率（轉(zhuǎn)移至狀態(tài)3），亦即，無論取什么樣的參數(shù)，當(dāng)期保險失敗的條件概率永遠(yuǎn)不可能超過50%。

由d1、d3、d4、d5各自的定義，將之關(guān)于m、σ、μ、諸因素進行相應(yīng)的敏感度分析，可以得到相互之間的增減關(guān)系如表1所示：

表1 各因素對d1、d3、d4、d5的影響

結(jié)合條件轉(zhuǎn)移概率的定義，可以得到各概率值與相應(yīng)要素之間的關(guān)系如下頁表2所示。

表2 各因素對轉(zhuǎn)移概率的影響

推論2：從表2可以看出：隨著風(fēng)險乘數(shù)m的增大，狀態(tài)1與狀態(tài)2能夠保持或上升到狀態(tài)1的概率減少，雖然狀態(tài)1跌至狀態(tài)3的概率未變，但是狀態(tài)2跌至狀態(tài)3的概率卻上升了，因此，風(fēng)險乘數(shù)若增加，缺口風(fēng)險將會上升。

隨著風(fēng)險資產(chǎn)波動率σ的增大，狀態(tài)1與狀態(tài)2保持之前狀態(tài)的概率均減少，但是轉(zhuǎn)移至狀態(tài)1與狀態(tài)3的概率均有所增加，因此波動率使得未來的走向變得更加的不確定：或者更好，或者更壞。這并非單由波動率可以決定，總體上說，波動率若增加，缺口風(fēng)險會上升。

隨著風(fēng)險資產(chǎn)漂移率μ的增加，與波動率σ的作用恰好相反，它會使得投資組合價值向狀態(tài)2集中，轉(zhuǎn)移向狀態(tài)1與狀態(tài)3的概率皆會縮小，從而價值狀態(tài)越趨穩(wěn)定，漂移率若增加，缺口風(fēng)險會減少。

隨著無風(fēng)險資產(chǎn)收益率r的增加，與風(fēng)險資產(chǎn)漂移率μ的作用恰好相反，它會使得投資組合價值以更大的概率向狀態(tài)1與狀態(tài)3轉(zhuǎn)移，而狀態(tài)2的概率減少。原因在于，無風(fēng)險收益率是要保額度的增長率，也是風(fēng)險資產(chǎn)的機會成本，所以無風(fēng)險收益率若增加，缺口風(fēng)險會增加。

隨著融資約束比率a的增加（限制減弱），則向上的收益空間更大，亦即向狀態(tài)1轉(zhuǎn)移的概率增大，從而降低了投資組合價值在狀態(tài)2中的概率，但是由于杠桿交易的作用同時也放大了從狀態(tài)1陡然下降到狀態(tài)3的概率，因此，融資約束比率若增加，缺口風(fēng)險會上升。

a，故效果與之相似，投資更激進，缺口風(fēng)險也會更大。

推論3：令ti時刻的非條件狀態(tài)概率分別如下：

由上面的分析可知，該狀態(tài)概率是路徑依賴的

2 融資約束下CPPI策略實證分析

風(fēng)險資產(chǎn)采用滬深300指數(shù)，圖1為該指數(shù)2011—2014年的走勢。

圖1 滬深300質(zhì)素2011—2014年走勢圖

2011 年，滬深市場處于跌勢，日最大跌幅達到3.87%；2012年，滬深市場震蕩中收漲，日最大跌幅達到2.88%；2013年，滬深市場震蕩中收跌，日最大跌幅達到6.52%；2014年，滬深市場處于漲勢，日最大跌幅達到4.59%。選取這四年作為實證的原因，即在于這四年的滬深市場囊括了具有代表性的四類風(fēng)險資產(chǎn)波動類別。以一年作為組合投資期限，進行不同市場的比較實證，無風(fēng)險收益率則參考一年期國債收益率。

期初，假定組合價值為100，并以期初組合價值的90%作為期末的要保額度，亦即G=90。滬深股票交易是按成交金額的千分之三收取傭金，并按成交金額的千分之一收取印花稅，實證中假定風(fēng)險資產(chǎn)換手金額的千分之四作為總交易費。

在不可融資限制下（a=1），以0.025為間隔選擇風(fēng)險乘數(shù)m∈(1，10]，選擇組合調(diào)整周期△t=1，5，10，20，30，40（分別對應(yīng)日、周、兩周、四周、六周、八周），可以得到2160種組合。

可以計算出不可融資限制下不同調(diào)整周期與風(fēng)險乘數(shù)對應(yīng)的期末組合價值，如圖2所示：

圖2 不可融資條件下期末組合價值

從最低期末組合價值比較可見，在市場下跌或震蕩收跌之時，不可融資的限制并未保證投資組合保險的成功。

根據(jù)圖2，可以得到不可融資限制下最優(yōu)的風(fēng)險乘數(shù)和調(diào)整周期，如表3所示：

表3 不可融資限制下最優(yōu)的固定風(fēng)險乘數(shù)和調(diào)整周期

若存在外部融資約束，在下跌或震蕩收跌的市場，最好避免投資風(fēng)險資產(chǎn)；而對于上漲或震蕩收漲的市場，最優(yōu)策略卻是選擇較高的風(fēng)險乘數(shù)和較長的調(diào)整周期。較高的風(fēng)險乘數(shù)可以通過較大的權(quán)重投資于風(fēng)險資產(chǎn)從而獲得較多的風(fēng)險收益率，而較長的調(diào)整周期則可以最大程度上避免因頻繁換手對應(yīng)的波動回調(diào)和交易費用對于收益的吞噬。

同時，在不可融資限制下，以0.025為間隔選擇風(fēng)險乘數(shù)m∈(1，10]，選擇△t=1，5，10，20，30，40，可以得到2160種組合，按之前的定義，組合價值的三種狀態(tài)依次為：狀態(tài)1、狀態(tài)2、狀態(tài)3，從而計算得到各狀態(tài)的初始概率與轉(zhuǎn)移概率如表4所示：

表4 初始概率與轉(zhuǎn)移概率的計算結(jié)果（單位：%）

由表4可知：在下跌的市場（2011年）或震蕩收跌的市場（2013年），轉(zhuǎn)移概率相似，如果初始組合價值處于狀態(tài)1，期末將有一半的概率跌到狀態(tài)2，另一半概率跌到狀態(tài)3（保險失?。?，如果初始組合價值處于狀態(tài)2，則期末基本會維持在狀態(tài)2；在震蕩收漲的市場（2012年），如果初始組合價值處于狀態(tài)1，將有約1/3的概率期末維持狀態(tài)1剩下2/3的概率跌到狀態(tài)2，如果初始組合價值處于狀態(tài)2，則基本會維持在狀態(tài)2；而在上漲的市場（2014年），若初始組合價值處于狀態(tài)1，期末將會維持在狀態(tài)1，若初始組合價值處于狀態(tài)2，則將有約1/3的概率維持在狀態(tài)2還有2/3的概率期末上升至狀態(tài)1。

由計算可知，只要風(fēng)險乘數(shù)大于7.9左右，則初始狀態(tài)就位于狀態(tài)1，它代表了使用了較高的金融杠桿，從而放大了風(fēng)險頭寸。金融杠桿的使用，在震蕩收漲的市場（2012年）與上漲的市場（2014年）中可以保障本金安全前提下能取得較好的投資績效。然而，在下跌的市場（2011年）或震蕩收跌的市場（2013年）中高金融杠桿卻可能導(dǎo)致組合保險失敗。

因此，投資失敗的主要原因是在市場下跌或震蕩下跌的情況下決策者過于激進的風(fēng)險偏好并選擇了過高的風(fēng)險乘數(shù)，從而放大了保險失敗的缺口風(fēng)險。

對于投資者來說，市場的趨勢是投資組合保險失敗與否的重要因素。但是無論什么樣的市場，過度的風(fēng)險頭寸都是投資組合保險失敗的誘因，尤其在預(yù)期下跌或震蕩收跌的市場，風(fēng)險乘數(shù)的設(shè)定存歿攸關(guān)。

3 結(jié)論

在存在融資約束之下，本文計算出投資組合價值在三種資產(chǎn)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣，并推演出：風(fēng)險乘數(shù)若增加，缺口風(fēng)險將會上升；波動率若增加，缺口風(fēng)險會上升；漂移率若增加，缺口風(fēng)險會減少；無風(fēng)險收益率若增加，缺口風(fēng)險會增加；融資約束比率若增加，缺口風(fēng)險會上升；若增加融資約束比率，投資更激進，缺口風(fēng)險也會更大。

本文利用滬深300指數(shù)在2011—2014年這四個典型波動年份數(shù)據(jù)，計算出不可融資限制下最優(yōu)的風(fēng)險乘數(shù)和調(diào)整周期，從而為市場狀況與投資組合策略的選擇提供了實證參考。通過這四年的金融數(shù)據(jù)實證計算出不同初始狀態(tài)的期末資產(chǎn)價值轉(zhuǎn)移概率，從中可知，組合保險失敗的主要原因是在市場下跌或震蕩下跌的情況下決策者過于激進的風(fēng)險偏好從而選擇了過高的風(fēng)險乘數(shù)，過度的風(fēng)險頭寸導(dǎo)致了保險失敗。

[1]Black F,Jones R.Simplifying Portfolio Insurance[J].Journal of Portfolio Management,1987,14,(1).

[2]Merton R C.Continuous-Time Finance[M].New York:Basil Blackwell,1990.

[3]Black F,Andre F.Theory of Constant Proportion Portfolio Insurance [J].Journal of Economic Dynamic and Control,1992,(16).

[4]Khuman A,Dietmar M,Nick C.Constant Proportion Portfolio Insurance:Statistical Properties and Practical Implications[R].University of Essex,Working Paper,2008.

[5]Weng C G.Constant Proportion Portfolio Insurance Under a Regime Switching Exponential Levy Process[J].Insurance:Mathematics and Economic,2013,(52).

[6]程兵，魏先華.投資組合保險CPPI策略研究[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2005，25(3).

[7]杜少劍,陳偉忠.CPPI投資組合保險策略的實證分析[J].財貿(mào)研究，2005，(1).

[8]黃麗清.CPPI策略缺口風(fēng)險研究[D].上海：復(fù)旦大學(xué)，2009.

[9]徐競.基于馬爾科夫鏈的動態(tài)CPPI投資策略研究及實證[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，26(4).

[10]周圣，史本山，段玉娟.基于離散時間交易下的CPPI策略[J].系統(tǒng)工程，2012，30(5).

（責(zé)任編輯/易永生）

F832

A

1002-6487（2017）11-0162-04

丁釗鵬（1978—），男，四川潼南人，博士研究生，講師，研究方向：金融工程、債券及衍生品。劉立新（1966—），男，河北安國人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：金融工程、風(fēng)險管理。