基于MQ擬插值的Burgers-Fisher方程數(shù)值解法

高欽姣, 張勝剛, 何素艷, 曹宏舉

(1.大連外國語大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院,遼寧 大連 116044; 2.大連醫(yī)科大學(xué) 公共衛(wèi)生學(xué)院,遼寧 大連 116044; 3.大連外國語大學(xué) 軟件學(xué)院,遼寧 大連 116044)

基于MQ擬插值的Burgers-Fisher方程數(shù)值解法

高欽姣1, 張勝剛2, 何素艷3, 曹宏舉3

(1.大連外國語大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院,遼寧 大連 116044; 2.大連醫(yī)科大學(xué) 公共衛(wèi)生學(xué)院,遼寧 大連 116044; 3.大連外國語大學(xué) 軟件學(xué)院,遼寧 大連 116044)

文章利用 MQ 擬插值構(gòu)造了求解Burgers-Fisher 方程的無網(wǎng)格數(shù)值方法。在時間方向,用向前差分法對方程進行離散; 在空間方向,用 MQ 擬插值及其導(dǎo)數(shù)逼近函數(shù)本身及其空間導(dǎo)數(shù)。該方法的特點是操作簡單,不用求解大型的方程組,穩(wěn)定性好。最后,將該方法與精確解的誤差和其他方法與精確解的誤差進行了比較,結(jié)果顯示MQ擬插值方法求解此類方程表現(xiàn)更好。

MQ函數(shù);Burgers-Fisher 方程;擬插值

0 引 言

Burgers-Fisher方程在氣體動力學(xué)、熱傳導(dǎo)和彈性力學(xué)中都有重要的應(yīng)用,是國內(nèi)外研究的熱點問題[1]。研究Burgers-Fisher方程的數(shù)值解問題既對流體力學(xué)的研究具有重要意義,也可以檢測數(shù)值方法的有效性。

自20世紀(jì)60年代以來,關(guān)于上述方程解析解和數(shù)值解的研究成果豐富。在解析解方面,文獻[2]研究了應(yīng)用 Adomian 分解法的 Burgers-Huxley 和 Burgers-Fisher 方程;文獻[3]給出了廣義形式的非線性熱傳導(dǎo)和 Burgers-Fisher 方程的 tanh 方法;文獻[4] 研究譜域分解法求解廣義 Burgers-Fisher 方程的方法。在數(shù)值解方面,文獻[5] 給出了一個非標(biāo)準(zhǔn)的 Burgers-Fisher方程的有限差分格式;文獻[6]介紹了數(shù)值模擬和廣義 Burgers-Fisher 方程的精確解;文獻 [7] 提出解決廣義 Burgers-Fisher方程的限制性Padé 逼近;文獻[8-9] 分別給出Burgers-Fisher 方程的有限差分?jǐn)?shù)值解法?；诰W(wǎng)格的有限元、有限差分等方法在微分方程數(shù)值解中應(yīng)用廣泛[10-13],但它們在處理大曲率、大變形、激波等問題時,會產(chǎn)生計算量大、格式不穩(wěn)定的問題。

為了克服傳統(tǒng)數(shù)值方法對網(wǎng)格的依賴性,近年來,越來越多的專家學(xué)者利用無網(wǎng)格方法求微分方程的數(shù)值解。無網(wǎng)格方法[12-13]將函數(shù)的構(gòu)造建立在一系列離散的節(jié)點上,這類方法對求解區(qū)域以及網(wǎng)格的設(shè)置沒有任何限制,并且無網(wǎng)格方法具有計算簡便、高效、易于操作的特點,受到數(shù)學(xué)和工程界的歡迎。

文獻[14-16]分別利用一類無網(wǎng)格法MQ擬插值法求解Burgers方程,數(shù)值試驗結(jié)果效果良好、操作簡便。文獻[17-18]從理論上證明了MQ擬插值的高階導(dǎo)數(shù)的逼近階和穩(wěn)定性,從而為MQ擬插值求解微分方程奠定了理論基礎(chǔ)?？紤]到在擬合Burgers-Fisher方程時與Burgers方程數(shù)值解的相似性,文獻[12]提出使用B樣條擬插值方法求Burgers-Fisher方程的數(shù)值解,并取得了滿意的效果。

與B樣條擬插值方法相比,MQ擬插值具有精度高、穩(wěn)定性好、表達式更加簡單,從而更易于操作等優(yōu)點?；谝陨峡紤],本文運用一類MQ擬插值求Burgers-Fisher方程的數(shù)值解。首先將方程在時間方向用有限差分方法進行離散,然后在空間方向使用MQ擬插值逼近函數(shù)本身和函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù),給出基于MQ擬插值的數(shù)值方法。

1 數(shù)值方法

Burgers-Fisher方程[19]為:

(1)

該方程初始條件為:

(2)

邊界條件為:

(3)

及

(4)

在上述條件下,方程的精確解為:

(5)

其中α、β、δ為系數(shù)。

當(dāng)α=1,β=0,δ=1時,Burgers-Fisher方程變?yōu)閹юば缘腂urgers方程?？紤]到這一點,文獻[14-16]用MQ擬插值很好地擬合了Burgers方程,本文考慮用其來擬合Burgers-Fisher方程。在擬合Burgers方程時,用簡單的有限差分法并不能得到滿意的結(jié)果,MQ擬插值法在擬合Burgers-Fisher方程時比有限差分法、有限元法等方法更有優(yōu)勢。

定理1[16]在區(qū)間[x0,xm]上,擬插值f*(x)可以寫成:

且在[x0,xm]上有:

在此基礎(chǔ)上,對帶有初始條件(2)和邊值條件(3)、(4)的廣義Burgers-Fisher方程(1),本文給出基于MQ擬插值的方法如下:

(2) 將帶有上述初始條件和邊值條件的Burgers-Fisher方程在時間方向離散為:

與其他方法相比,上述算法編程簡單、穩(wěn)定性好,并且不需要求解大規(guī)模的矩陣的逆,下一節(jié)的數(shù)值試驗說明該算法的可行性。

2 數(shù)值實驗

本節(jié)用MQ擬插值方法(MQQI)求在初值條件(2)和邊值條件(3)、(4)的Burgers-Fisher方程(1)的數(shù)值解。

選擇與B樣條擬插值方法(B-Spline quasi-interpolation,BSQI)[12]進行比較,這是因為與SCM(spectral collocation method)方法、SDD(spectral domain decomposition)方法等相比,就精確度和簡便性而言,B樣條擬插值方法都表現(xiàn)更好。下面給出數(shù)值例子,驗證本文方法的可行性。設(shè)h=1/15,τ=0.000 1，根據(jù)形狀參數(shù)的理論[18]以及多次實驗結(jié)果知:

例1 本文使用上述方法求當(dāng)α=0.001,β=0.001時的Burgers-Fisher方程(1)的數(shù)值解。對不同的δ、t,MQ擬插值法在不同時間的最大模誤差,并與B樣條擬插值方法進行了比較，見表1所列。數(shù)值結(jié)果表明MQ擬插值法的表現(xiàn)更好。

例2 本文使用上述方法求當(dāng)α=0.1,β=-0.002 5時的Burgers-Fisher方程(1)的數(shù)值解。對不同的δ、t,MQ擬插值法在不同時間的最大模誤差,并與B樣條擬插值方法進行了比較，見表2所列。數(shù)值結(jié)果表明MQ擬插值法的表現(xiàn)更好。

表1 當(dāng)α=0.001,β=0.001時,不同δ、t的最大模誤差

表2 當(dāng)α=0.1,β=-0.002 5時,不同δ、t的最大模誤差

3 結(jié) 論

本文使用MQ擬插值數(shù)值求一類帶有初邊界條件的Burgers-Fisher方程的數(shù)值解,給出了數(shù)值方法:首先將方程在時間方向進行離散,然后用MQ擬插值逼近固定時間層上的離散點。將此算法應(yīng)用于實際例子,并與B樣條擬插值方法進行了比較,結(jié)果表明本文方法的表達式比B樣條擬插值方法的表達式簡單,并且本文方法的誤差可以滿足工程界對求解精度的需求。實驗證明MQ擬插值法精度高,穩(wěn)定性好,易于操作。

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(責(zé)任編輯 朱曉臨)

Numerical solution of Burgers-Fisher equation based on MQ quasi-interpolation

GAO Qinjiao1, ZHANG Shenggang2, HE Suyan3, CAO Hongju3

(1.School of Economics and Management, Dalian University of Foreign Languages, Dalian 116044, China; 2.School of Public Health, Dalian Medical University, Dalian 116044, China; 3.School of Software, Dalian University of Foreign Languages, Dalian 116044, China)

In this paper, the meshless numerical method for Burgers-Fisher equation based on the multi-quadric(MQ) quasi-interpolation is presented. In the temporal direction, a low order forward difference is applied to approximating the time derivative of the dependent variable. In the spatial direction, the derivative of the MQ quasi-interpolation is applied to approximating the spatial derivative of the dependent variable. The algorithm is very simple, stable and does not need to solve the large-scale equations. The error between the numerical result of this method and the exact solution is compared with that between the result of other method and the exact solution to show the better performance of the presented method.

multi-quadric(MQ) function; Burgers-Fisher equation; quasi-interpolation

2016-03-20；

2016-08-31

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項目(11501006);遼寧省教育廳自然科學(xué)一般資助項目(L2013434);遼寧省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃資助項目(JG12DB318)和大連外國語大學(xué)校級青年資助項目(2014XJQN11)

高欽姣(1986-),女,山東日照人,博士,大連外國語大學(xué)講師; 張勝剛(1983-)，男，湖北黃岡人，大連外國語大學(xué)講師； 何素艷(1963-),女,河北保定人,博士,大連外國語大學(xué)教授.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.05.027

O241.82

A

1003-5060(2017)05-0712-04