劉 鑫 趙里昂 于文晶 楊華哲

(中國(guó)醫(yī)科大學(xué)公共基礎(chǔ)學(xué)院物理與生物物理教研室, 遼寧 沈陽(yáng) 110122)

Mathematica在普通物理教學(xué)中的應(yīng)用

劉 鑫 趙里昂 于文晶 楊華哲

(中國(guó)醫(yī)科大學(xué)公共基礎(chǔ)學(xué)院物理與生物物理教研室, 遼寧 沈陽(yáng) 110122)

目的：針對(duì)高校普通物理的傳統(tǒng)課堂教學(xué)內(nèi)容抽象復(fù)雜，教學(xué)方式較大局限性及學(xué)生吸收知識(shí)慢、興趣弱等問(wèn)題，可適當(dāng)引入計(jì)算機(jī)軟件支撐教學(xué)，豐富課堂，解決以上教學(xué)難題。方法：運(yùn)用Mathematica軟件的強(qiáng)大動(dòng)畫(huà)和繪圖功能，對(duì)普通物理教學(xué)中振動(dòng)和波的幾個(gè)典型問(wèn)題進(jìn)行分析。結(jié)果：通過(guò)將教學(xué)軟件Mathematica與基礎(chǔ)物理知識(shí)的講授教學(xué)有機(jī)結(jié)合，可以將課堂中原始化手工推算的內(nèi)容直觀圖像化、動(dòng)畫(huà)化，令學(xué)生更直觀地理解課堂內(nèi)容。結(jié)論：通過(guò)對(duì)實(shí)例的闡述可以看出，將Mathematica引入教學(xué)能夠幫助學(xué)生更快、更好地理解物理知識(shí)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的濃厚興趣，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，使課堂教學(xué)更高效。

Mathematica；普通物理；教學(xué)模式

在普通物理知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中, 包含力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)等課程. 其中不乏些復(fù)雜抽象的物理問(wèn)題, 原始課堂教學(xué)雖有多媒體課件等教學(xué)手段, 依然無(wú)法避免應(yīng)用手工推算的方法讓學(xué)生理解物理規(guī)律, 在這種枯燥的教學(xué)模式下, 學(xué)生即使可以得到解析結(jié)果, 卻不易得到直觀的物理圖像, 很大程度抑制了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 與此同時(shí), 由于課堂教學(xué)的時(shí)間局限性, 需要學(xué)生在很短的時(shí)間內(nèi)快速對(duì)較多的抽象理論進(jìn)行推算和深入理解, 并完成許多基于高等數(shù)學(xué)的高等運(yùn)算,已經(jīng)成為高校普通物理的教學(xué)瓶頸。為了解決上述問(wèn)題, 國(guó)內(nèi)許多高校開(kāi)始引入教學(xué)軟件來(lái)豐富學(xué)生對(duì)普通物理知識(shí)的直觀理解, 目前Matlab、Maple、 Mathematica、MathCAD等幾大數(shù)學(xué)軟件工具可以有效地與理論知識(shí)教學(xué)相結(jié)合, 達(dá)到較好的課堂教學(xué)效果。其中Mathematica作為一個(gè)著名的數(shù)學(xué)軟件, 相對(duì)其他教學(xué)軟件更加小巧方便。Mathematica主要是由美國(guó)Wolfram公司研究開(kāi)發(fā), 可用來(lái)從事數(shù)值、符號(hào)的相關(guān)運(yùn)算,擁有從多項(xiàng)式運(yùn)算到微積分、特殊函數(shù)分析運(yùn)算等豐富的功能。與Matlab等軟件相比, Mathematica在無(wú)需掌握C語(yǔ)言或Fortran等復(fù)雜計(jì)算機(jī)語(yǔ)言條件下即可滿足物理教學(xué)中對(duì)完成數(shù)學(xué)圖形繪制，甚至動(dòng)畫(huà)制作等多種需求，避免了漫長(zhǎng)的熟練計(jì)算機(jī)語(yǔ)言過(guò)程。此外，Mathematica在一個(gè)notebook里面即可把公式文檔和計(jì)算過(guò)程一一表達(dá), 擁有簡(jiǎn)單語(yǔ)法卻可實(shí)現(xiàn)強(qiáng)大功能, 這在此類軟件中非常難得。因此, 如將Mathematica適當(dāng)?shù)匾肫胀ㄎ锢淼慕虒W(xué), 在進(jìn)行簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)教程后就可編程出需要的教學(xué)內(nèi)容, 即可將原本復(fù)雜的原始化手工推算用Mathematica作圖來(lái)給學(xué)生以直觀展示, 也可快速編譯出抽象物理理論的動(dòng)畫(huà)來(lái)推進(jìn)課程進(jìn)行, 激發(fā)學(xué)生對(duì)原本枯燥復(fù)雜的物理規(guī)律的學(xué)習(xí)興趣, 這樣既可以節(jié)省課堂時(shí)間來(lái)進(jìn)行原本的手工推算, 又會(huì)使學(xué)生快速吸收普通物理的理論知識(shí), 提高課堂授課效率。通過(guò)借助此類計(jì)算軟件實(shí)現(xiàn)物理理論的可視化教學(xué)，對(duì)于探索新型的高效課堂教學(xué)具有重要的意義。

1 應(yīng)用舉例

普通物理中涉及許多知識(shí), 此處針對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)和機(jī)械波部分進(jìn)行舉例。與一些物理理論相似, 振動(dòng)和波經(jīng)常涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算, 因此可在教學(xué)中引入Mathematica繪制出生動(dòng)精美的波形與動(dòng)畫(huà), 豐富課堂教學(xué), 可以起到事半功倍的效果。

1.1 振動(dòng)的合成圖形

由于振動(dòng)的合成多種多樣, 書(shū)本和手工演算很難為學(xué)生建立形象、直觀的物理模型，影響了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解。由于Mathematica軟件有強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)圖形演示功能, 所以在教學(xué)過(guò)程中, 適當(dāng)穿插動(dòng)態(tài)圖形演示很必要。

1.1.1 兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成圖像

兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成之后仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng), 頻率不變。令兩個(gè)分振動(dòng)分別為y1=A1cosωt和y2=A2cos(ωt+2πφ), 合振動(dòng)則是二者之和, 其中ω=1rad·s-1,筆者在軟件中將φ取值范圍定義在0到1之間, 可在軟件運(yùn)行過(guò)程中改變數(shù)值觀察圖像, 分振動(dòng)的振幅A1可取值為1、2, 振幅A2可取值為0、1、2, 然后將3條簡(jiǎn)諧振動(dòng)的曲線在同一坐標(biāo)中體現(xiàn)。

運(yùn)行命令如下

Manipulate[Plot[{A1 Cos[t], A2 Cos[t+2 Pi phi], A1 Cos[t]+A2 Cos[t+2 Pi phi]}, {t, 0, 4 Pi}, Frame -> True, PlotRange -> 4, PlotStyle -> {Dashed, Green, Blue}, PlotLegends -> {"SBM1", "SBM2", "SBM1+SBM2"}],{phi, 0, 1}, {A1, {1, 2}}, {A2, {0, 1, 2}}]

運(yùn)行后可以在統(tǒng)一坐標(biāo)中得到3條簡(jiǎn)諧振動(dòng)的曲線, 并可以通過(guò)改變各分振動(dòng)的振幅, 得到對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像, 圖1展示了程序通過(guò)改變振幅值而得到的瞬時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像。圖2展示了程序通過(guò)改變某分振動(dòng)φ的取值范圍定義所得到的瞬時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像.

1.1.2 兩個(gè)方向垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成圖像——李薩茹圖形

圖1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像(1) 振幅A1=1的分振動(dòng)瞬時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像; (2) 振幅A1=1、A2=1的分振動(dòng)合成后的瞬時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像； (3) 振幅A1=1、A2=2的分振動(dòng)合成后的瞬時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像； (4) 振幅A1=2的分振動(dòng)瞬時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像； (5) 振幅A1=2、A2=1的分振動(dòng)合成后的瞬時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像； (6) 振幅A1=2、A2=2的分振動(dòng)合成后的瞬時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖像

圖2 某分振動(dòng)改變相位時(shí)的合簡(jiǎn)諧振動(dòng)瞬時(shí)圖像對(duì)比

兩個(gè)方向垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以合成各種奇特的曲線圖型, 由在互相垂直的方向上的兩個(gè)頻率成簡(jiǎn)單整數(shù)比的簡(jiǎn)諧振動(dòng)所合成的規(guī)則的、穩(wěn)定的閉合曲線被稱為李薩茹圖形。在此理論基礎(chǔ)上, 使用李薩茹圖形可以測(cè)量出兩個(gè)信號(hào)的頻率比與相位差, 常利用的工具是示波器, 并用以測(cè)定頻率或相位差。

如兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程分別為x=cosωt和y=cos(ωt+φ),通過(guò)對(duì)ω和φ的賦值,分別針對(duì)兩個(gè)分振動(dòng)振幅相同時(shí)和振幅成比例時(shí)的合成情況, 使用Mathematica的命令進(jìn)行質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)演示, 并配以合成運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定軌跡圖, 命令語(yǔ)句如下：

w=2/3; phi=Pi/4;

{Button["1.0", w=1; phi=0 Pi;],

Button["1.1/6", w=1; phi=Pi/6;],

Button["1.1/4", w=1; phi=Pi/4;], Button["1.1/3", w=1; phi=Pi/3;],Button["1.2/3", w = 1; phi = 2 Pi/3;], Button["2.0", w=2; phi = 0 Pi;], Button["2.1/4", w=2; phi=Pi/4;], Button["2.1/2", w=2; phi=Pi/2;], Button["3.1/2", w=3; phi=Pi/2;], Button["1.5.1/4", w=1.5; phi=Pi/4;], Button["1.5.1/2", w=1.5; phi=Pi/2;], Button["2.5.1/4", w=2.5; phi=Pi/4;], Button["2.5.1/2", w=2.5; phi=Pi/2;]}

圖3 Mathematica動(dòng)畫(huà)運(yùn)行的部分圖形

Animate[{ParametricPlot[{Cos[t], Cos[w t+phi]}, {t, u, u+0.01}, Mesh -> {Range[u, u+0.01]}, MeshStyle -> {Red, PointSize[Large]}, Frame -> True, PlotRange -> 1], ParametricPlot[{Cos[t], Cos[w t+phi]}, {t, 0, 10 Pi}]}, {u, 0, 10 Pi}, AnimationRunning -> False]

1.2 惠更斯定理的圖形演示

圖4 縫半寬時(shí)單縫衍射下的惠更斯定理動(dòng)畫(huà)瞬時(shí)圖像

惠更斯原理是一種用來(lái)分析、解釋波動(dòng)如何行進(jìn)的理論. 惠更斯認(rèn)為, 波在傳遞過(guò)程中, 波前上任何一點(diǎn)都可視為一個(gè)新的點(diǎn)波源, 這些點(diǎn)波源將會(huì)往前進(jìn)的方向產(chǎn)生新的波, 而波的下一時(shí)刻的波形便是由這些點(diǎn)波源波形疊加合成的結(jié)果。我們使用惠更斯原理解釋波的衍射現(xiàn)象, 發(fā)現(xiàn)平面波在到達(dá)一寬度與波長(zhǎng)相近的縫時(shí), 縫上各點(diǎn)都可以看做新的波源, 做出它們的包絡(luò)就可以得到新的波前, 此時(shí)波可以繞過(guò)障礙物向前傳播, 不過(guò)此時(shí)平面波的形狀發(fā)生改變, 邊緣處會(huì)發(fā)生波前彎曲. 并且縫的寬度相對(duì)波長(zhǎng)越小, 衍射現(xiàn)象越明顯. 運(yùn)用Mathematica命令制作動(dòng)畫(huà), 改變縫的寬度來(lái)演示惠更斯定理, 其中圖4展示了動(dòng)畫(huà)運(yùn)行過(guò)程的部分圖形, 可讓學(xué)生快速理解知識(shí)。運(yùn)行如下命令：

{Button["0.5", {l=0.5, p=0.125}], Button["1", {l=1, p=0.25}], Button["2", {l=2, p=0.5}], Button["4", {l=4, p=1}]}

Animate[

Graphics[

Table[Circle[{n, 0}, t, {0, Pi}], {n, -l, l, p}], Axes -> True, PlotRange -> {{-7, 7}, {-0.2, 2 Pi}}, Frame -> True,

FrameTicks -> {{{-2 Pi, -Pi, 0, Pi, 2 Pi}, None}, {{-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6}, None}}, Epilog -> {Rectangle[{-7, 0}, {-l, -0.2}], Rectangle[{7, 0}, {l, -0.2}]} ], {t, 0, 2 Pi}]

2 結(jié)語(yǔ)

利用先進(jìn)的軟件Mathematica, 可以通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言, 直觀生動(dòng)地展示出物理圖像, 讓學(xué)生可以在簡(jiǎn)短的課堂教學(xué)中, 更快速地明確普通物理的相關(guān)知識(shí), 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情?，F(xiàn)代化教學(xué)需要教師解放教學(xué)思想, 開(kāi)拓思路, 適當(dāng)?shù)乩枚嗝襟w軟件及計(jì)算軟件輔助教學(xué), 通過(guò)教學(xué)模式的創(chuàng)新提高教學(xué)效率。本文中筆者只是應(yīng)用Mathematica的強(qiáng)大的動(dòng)畫(huà)繪圖功能, 還有許多豐富的功能等待利用。在當(dāng)下的信息時(shí)代, 希望有更多的高校教師能更加有效地利用不同軟件, 恰當(dāng)?shù)貙⑵胀ㄎ锢淼闹R(shí)學(xué)習(xí)與其結(jié)合, 共同 促進(jìn)新型普通物理教學(xué)模式的發(fā)展。本文中的所有程序運(yùn)算全部在Mathematica軟件官方云網(wǎng)站平臺(tái)(http://develop.open.wolframcloud.com/app/)進(jìn)行。

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[2] 柴連明,高偉.Mathematica與基礎(chǔ)物理教學(xué)[J].無(wú)線互聯(lián)科技,2014(7):257-258. Chai Lianming, Gao Wei. Mathematica and basic physics teaching[J]. Wireless Internet Technology, 2014(7): 257-258. (in Chinese)

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APPLICATIONS OF MATHEMATICA IN GENERAL PHYSICS TEACHING

Liu Xin Zhao Li’ang Yu Wenjing Yang Huazhe

(Department of Physics and Biophysics, School of Fundamental Sciences, China Medical University, Shenyang Liaoning 110122)

Traditional teaching method of general physics in colleges and universities is abstract and complicated, which is limited and unfavorable for the comprehension of knowledge and interests in learning for most students. As a potential solution, the application of some computer software in teaching is considered to overcome the above-mentioned problems by enriching the classes. We analyzed some typical physical cases on vibration and waves via Mathematica by using the powerful animation and drawing function of the software. The calculated content would be more intuitive visualization, animation and intuition in the teaching through the combination of Mathematica and the traditional teaching method of basic physics knowledge. It would be helpful for students to get better and faster understanding of physical theories by introducing Mathematica into physics teaching. In addition, it can stimulate a lot of interests of studentsin physics knowledgeand cultivate theirability of independent thinking, which also promotes the efficiency of classroom teaching.

Mathematica; general physics; teaching method

2016-10-19

國(guó)家自然科學(xué)基金(編號(hào)：81500897)；國(guó)家留學(xué)基金(編號(hào)：201408210385)；遼寧省教育廳一般項(xiàng)目(編號(hào)：L2013285)。

劉鑫，女，助教，主要從事物理學(xué)的科研與教學(xué)研究,xliu13@cmu.edu.cn。

楊華哲，男，副教授，主要從事物理學(xué)的科研與教學(xué)研究,hzyang@mail.cmu.edu.cn。

劉鑫，趙里昂，于文晶，等. Mathematica在普通物理教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 物理與工程，2017，27(2)：51-55.