孫志禮， 李 瑞， 閆玉濤， 王 健

(東北大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院， 沈陽 110819)

一種用于結(jié)構(gòu)可靠性分析的Kriging學(xué)習(xí)函數(shù)

孫志禮， 李 瑞， 閆玉濤， 王 健

(東北大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院， 沈陽 110819)

為提高基于Kriging模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法的效率，分析現(xiàn)有學(xué)習(xí)函數(shù)的不足，提出一種新的自適應(yīng)學(xué)習(xí)函數(shù)VF. 該學(xué)習(xí)函數(shù)同時考慮學(xué)習(xí)點的Kriging方差和聯(lián)合概率密度函數(shù)值對失效概率估計精度的影響，避免對概率密度函數(shù)值過小的區(qū)域抽樣造成的樣本點浪費，提高了學(xué)習(xí)效率. 根據(jù)Monte Carlo方法生成大量候選樣本點，定義學(xué)習(xí)函數(shù)最大值點為最佳樣本點；提出一種適合該學(xué)習(xí)函數(shù)的學(xué)習(xí)停止條件，既保證失效概率的精度又保證學(xué)習(xí)選點次數(shù)較少；分析兩個數(shù)值算例. 結(jié)果表明：與其他方法相比，所提出方法能夠在較少樣本數(shù)量的情況估計出較準(zhǔn)確的失效概率值，其在迭代收斂速度、準(zhǔn)確性及穩(wěn)定性方面都具有較好的效果，且該方法能夠應(yīng)用于工程中隱式且非線性程度較高情況.

結(jié)構(gòu)可靠性；Kriging模型；失效概率；主動學(xué)習(xí)；蒙特卡羅方法

一次二階矩法、二次可靠性方法、Monte Carlo方法[1]等廣泛應(yīng)用于可靠性分析中. 但是,一次二階矩方法、二次可靠性方法等只適用于顯式功能函數(shù)，而對于工程問題，大多數(shù)情況下功能函數(shù)是隱式函數(shù)，這時可以應(yīng)用數(shù)值模擬的方法進行分析. 基于數(shù)值模擬的可靠性分析方法如Monte Carlo方法是求解失效概率直觀、精確的一種方法，但是它需要大量的隨機樣本，無法在短時間內(nèi)進行可靠性評估. 代理模型的方法在一定程度上解決了這類隱式可靠性分析問題，如響應(yīng)面法[2-6]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[6-7]、支持向量機、Kriging方法等[8-12]. Kriging模型作為一種新的代理模型，最初應(yīng)用于地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)中，現(xiàn)在，它被應(yīng)用在可靠性評估中. Kriging方法最大的特點是不需要建立一個特定的數(shù)學(xué)模型，即是一種包含了多項式和變差函數(shù)的模型，避免了只有多項式模型對結(jié)構(gòu)可靠度計算精度的影響. 近十幾年，Kriging方法在工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[13].

基于Kriging模型的學(xué)習(xí)函數(shù)中，應(yīng)用最廣泛的是Bichon等[14]提出的EFF(Expected Feasibility Function)函數(shù)及Echard等[15-16]提出的U函數(shù).EFF函數(shù)能夠用來度量點x落在真實極限狀態(tài)函數(shù)G(x)=0附近的期望，而U函數(shù)是點x系統(tǒng)響應(yīng)被錯誤分類可能性的度量.EFF和U在輸入變量X維數(shù)不高情況下效率很高，隨著維數(shù)的增加效率會逐漸降低，因此，不適合用于多維情況的可靠性分析中.

本文基于Kriging模型，根據(jù)現(xiàn)有模型的不足，考慮聯(lián)合概率密度函數(shù)對失效概率預(yù)測準(zhǔn)確性的影響，提出了一種新的學(xué)習(xí)函數(shù)及相應(yīng)的學(xué)習(xí)停止條件，將學(xué)習(xí)函數(shù)和學(xué)習(xí)停止方法與Monte Carlo方法相結(jié)合,提出一種新學(xué)習(xí)方法，并通過兩個例子對幾種學(xué)習(xí)方法進行比較.

1 Kriging 模型

Kriging模型是一種高效的插值方法，包含確定性和隨機兩個部分，確定性部分一般采用最小二乘多項式擬合，隨機部分為高斯過程. 以最小方差無偏估計保證差值精度，通過最大似然法或交叉驗證法確定高斯過程相關(guān)性參數(shù).

Kriging模型假設(shè)功能函數(shù)G(x)可表示為

(1)

式中:g(x)=[g1(x),…,gp(x)]T是定義在輸入變量X空間內(nèi)的基函數(shù)，β=[β1,…,βp]T為與g(x)對應(yīng)的回歸系數(shù). 本文中暫定g(x)為一次多項式. 式(1)中z(x)為零均值同方差高斯過程，z(xi)、z(xj)的協(xié)方差為

(2)

].

(3)

若已知樣本集

Ω={(xi,yi),i=1,2,…,N},

式(1)～(3)中未知參數(shù)β、σ2、θ可通過極大似然法估計得到，

式中：

β=(GTR-1G)-1GTR-1Y,

G=[g(x1),g(x2),…，g(xN)]T,

R=(R(xi,xj;θ))N×N.

(4)

結(jié)合式(1)、(4)的估計誤差為

(5)

式中:

u(x)=GTR-1r(x)-g(x).

2 Monte Carlo方法

X的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x)，不失一般性，本文中假設(shè)X服從M維正態(tài)分布. 功能函數(shù)G(x)將X空間分為兩部分，即安全域Ss={x|G(x)>0,x∈RM}和失效域Sf={x|G(x)≤0,x∈RM}. 則失效概率為

).

式中:If(·) 是失效域指示函數(shù)，通常表示為

(6)

3 學(xué)習(xí)方法

3.1 學(xué)習(xí)函數(shù)

目前，確定樣本集Ω的方法可分為兩類：

1)隨機抽樣法. 該方法主要是首先給定Ω中樣本量N0，采用Monte Carlo、拉丁超立方等隨機抽樣方法確定Ω. 此類方法簡單易懂，操作方便，但效率低，容易造成樣本點浪費. 特別是輸入變量數(shù)維數(shù)較大時無法保證Ω中各點均勻分布在變量空間內(nèi).

Echard B提出如下U函數(shù)：

U(x)=|μG(x)|/σG(x).

VF=σG·fG(x).

其中fG(x)是概率密度函數(shù).

3.2 學(xué)習(xí)停止條件

根據(jù)文獻[12,15]，用PR=Φ(U)表示點x符號預(yù)測正確的概率，則PW=Φ(-U)表示該點符號預(yù)測錯誤的概率. AK-MCS/AK-IS的學(xué)習(xí)停止條件是Umin>UT，其中，Φ(UT)=0.997，UT=2.

如果符號的錯誤點與失效點相比非常少，就可以確定失效概率的計算是準(zhǔn)確的.

Nu/Nf≤α.

(7)

本文中，P=1，Q=2，α=0.03.

3.3 本文提出的學(xué)習(xí)方法

提出的選取樣本點方法的主要步驟為：

步驟1 應(yīng)用拉丁超立方抽樣方法隨機產(chǎn)生初始樣本點XDoE=[x1,x2,…,xN].

步驟2 用真實的G(x)計算YDoE.

步驟3 用XDoE和YDoE建立Kriging預(yù)測模型，這里用到的工具是MATLAB中的DACE工具箱.

步驟5 在變異系數(shù)滿足條件時計算Nu/Nf.

步驟6 如果Nu/Nf的值滿足學(xué)習(xí)停止條件見式(7)，結(jié)束學(xué)習(xí)過程，否則轉(zhuǎn)到下一步.

4 算例分析

4.1 二維模型

這是一個2維隨機變量小失效概率的例子,選自文獻[17]，功能函數(shù)如下：

G(x1,x2)=x1x2-1 500.

其中:x1、x2服從正態(tài)分布，且相互獨立.μx1=38，σx1=3.8，μx2=54，σx2=2.7. 算例結(jié)果見表1.

表1 二維模型算例結(jié)果

根據(jù)本文算法流程編制MATLAB程序，首先用拉丁超立方的方法選擇4個初始樣本點，建立Kriging模型，通過主動學(xué)習(xí)，更新初始的樣本空間，重新建立了新的Kriging模型. 本算例在調(diào)用學(xué)習(xí)函數(shù)4次時，到達學(xué)習(xí)停止條件. 由于本算法使用較少的樣本空間，因此有較好的效率，在進行4次運算時，樣本空間數(shù)量少且穩(wěn)定，得到的失效概率也非常一致，從而證明了本文提出的算法有較高的穩(wěn)定性. 圖1描述了不同的調(diào)用次數(shù)時Kriging擬合的功能函數(shù)與真實的功能函數(shù)的匹配情況，如圖1(c)所示在調(diào)用學(xué)習(xí)函數(shù)4次時，兩條曲線基本重合. 圖2(a)描述了在調(diào)用學(xué)習(xí)函數(shù)過程中失效概率的變化. 圖2(b)描述了在調(diào)用學(xué)習(xí)函數(shù)過程中學(xué)習(xí)停止條件值的變化. 從圖2中可以看出,學(xué)習(xí)停止條件到達時，失效概率剛好收斂，可見本文提出的學(xué)習(xí)停止條件是實用的.

圖1 預(yù)測極限狀態(tài)的收斂情況

(a)失效概率的變化

(b)學(xué)習(xí)停止條件值的變化

4.2 六維模型

6維隨機變量非線性系統(tǒng)例子見文獻[2-3,7-8,15]，系統(tǒng)如圖3所示，功能函數(shù)如下：

圖3 非線性系統(tǒng)

變量分布均值標(biāo)準(zhǔn)差C1正常1．00．1C2正常0．100．01M正常1．000．05R正常0．500．05T1正常1．00．2F1正常0．4500．075

首先,用拉丁超立方的方法選擇15個初始樣本點，建立Kriging模型，通過主動學(xué)習(xí)，更新初始的樣本空間，重新建立了新的Kriging模型. 本算例進行4次計算，結(jié)果列于表3和圖4. 與其他方法相比，本文提出的方法需要更少的迭代步驟，且具有較高的穩(wěn)定性.

然后,分別用用拉丁超立方的方法選擇10和20個初始樣本點，計算結(jié)果列于表3和圖5. 圖5描述了在不同數(shù)量的初始樣本空間時，函數(shù)的收斂情況. 由圖5可見,初始樣本空間的數(shù)量對收斂數(shù)度有一定的影響，但是影響不大，且都在樣本數(shù)為50左右收斂.

表3 六維模型算例結(jié)果

(a)失效概率的變化

(b)學(xué)習(xí)停止條件值的變化

(a)初始DoE為10時失效概率的變化

(b)初始DoE為10時學(xué)習(xí)停止條件值的變化

(c)初始DoE為15時失效概率的變化

(d)初始DoE為15時學(xué)習(xí)停止條件值的變化

(e)初始DoE為20時失效概率的變化

(f)初始DoE為20時學(xué)習(xí)停止條件值的變化

5 結(jié) 論

1)本文利用Kriging隨機特性，結(jié)合現(xiàn)有學(xué)習(xí)函數(shù)的不足，提出了一種新的學(xué)習(xí)函數(shù)VF，該方法將方差與聯(lián)合概率密度函數(shù)相結(jié)合，提高選點的效率和穩(wěn)定性.

2)提出一種學(xué)習(xí)停止條件，既能保證失效概率計算的準(zhǔn)確性，又不至于過于嚴(yán)格而造成不必要的迭代. 并結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)VF提出一種學(xué)習(xí)選點方法.

3)數(shù)值算例計算結(jié)果表明，本文提出的學(xué)習(xí)方法具有較高的效率，穩(wěn)定性和精度.

4)本文方法在建模迭代過程中沒有對結(jié)構(gòu)功能函數(shù)線性、非線性形式，及隱式、顯式情況做特定假設(shè)，因此，理論上該方法能夠應(yīng)用于工程中隱式且非線性程度較高情況.

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(編輯 楊 波)

A Kriging based learning function for structural reliability analysis

SUN Zhili, LI Rui, YAN Yutao, WANG Jian

(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

To improve the efficiency of Kriging based structural reliability analysis, a new adaptive learning functionVFis proposed after analyzing the weakness of existing learning functions. The learning function VF combines variance and joint probability density function both of which can affect the accuracy of estimated failure probability. This method can avoid wasting samples caused by sampling in the area where the value of joint probability density function is low, and increase learning efficiency. Firstly, a large number of candidate sample points are generated by Monte Carlo method, and the point that maximizes the proposed learning function value is defined as the best one. Secondly, a suitable stopping condition is proposed, which can not only ensure the accuracy of failure probability but also reduce iterations dramatically. Finally, two numerical examples are analyzed to show that the proposed method requires fewer calls to the performance function than other methods and it has high convergence speed, good accuracy and stability. And the method can be used in engineering problems with implicit and high nonlinear performance function.

structural reliability; Kriging model; failure probability; active learning; Monte Carlo method

10.11918/j.issn.0367-6234.201604121

2016-04-25

國家科技重大項目(2013ZX04011-011)

孫志禮(1957—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

孫志禮，zhlsun@mail.neu.edu.cn

TB114.3

A

0367-6234(2017)07-0146-06