畢顯婷 史小平

摘 要：針對(duì)剛性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題設(shè)計(jì)了能夠有效減小能量損耗的非線性狀態(tài)反饋控制器。由于修正羅德里格斯參數(shù)（modified rodriguesparameter， MRP）原始集在特征軸旋轉(zhuǎn)角為±360°時(shí)存在奇異點(diǎn)，而相應(yīng)的MRP映射集（shadow set）的奇異點(diǎn)處于特征軸旋轉(zhuǎn)角為0°。將MRP原始集與映射集結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)全局非奇異姿態(tài)描述，解決了航天器姿態(tài)控制中的退繞（unwinding）問題。利用平方和（SOS）方法設(shè)計(jì)非線性狀態(tài)反饋控制律，實(shí)現(xiàn)航天器全局姿態(tài)漸近穩(wěn)定控制，同時(shí)實(shí)現(xiàn)更短控制路徑，保證了控制過程中特征軸旋轉(zhuǎn)角 。仿真結(jié)果表明了在干擾條件下該控制方法可有效控制航天器姿態(tài)穩(wěn)定，且對(duì)能量損耗給出了定量分析結(jié)果。

關(guān)鍵詞：平方和法；MRP映射集；全局漸近穩(wěn)定；退繞問題

DOI：

中圖分類號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：

Global attitude stabilization of rigid spacecraft considering unwinding problem

BI Xian-ting， SHIXiao-ping

（Control and Simulation Center， Harbin Institute of Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：A nonlinear state feedback controller which can effectively decrease energy consumption is designed for attitude maneuver of rigid spacecraft. Modified Rodrigues Parameter set possesses a singularity as the principal angle of rotation reaches ±360°， while the singularity of the corresponding shadow set occurs as the principal angle of rotation is 0°. This paper combines the MRP original set and the shadow set for a global non-singularity description， which avoids the unwinding problem in spacecraft attitude control. The nonlinear state feedback control law， which is designed based on sum of squares （SOS） method， can achieves both the global asymptotic stability and also the shorter control path， since the principle angle of rotation is bounded in 180°. Simulation results illustrated that the spacecraft attitude can be stabilizedwith the designed controllerunder perturbation and the energy consumption is also analyzed.

Keywords： sum of squares （SOS）； MRP shadow set；global asymptotic stable； unwinding problem

0 引言

剛性航天器在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中存在非線性耦合問題，如果利用線性狀態(tài)反饋控制律[1]，雖然控制器容易實(shí)現(xiàn)，但是系統(tǒng)為局部收斂，反饋增益的計(jì)算與航天器初始狀態(tài)有關(guān)，不利于實(shí)際應(yīng)用[2]。而非線性控制律的設(shè)計(jì)涉及到Lyapunov函數(shù)的選取，由于Lyapunov函數(shù)通常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取，并沒有系統(tǒng)的方法，這給非線性控制律的設(shè)計(jì)帶來了難度。

平方和法是近年來提出的利用平方和多項(xiàng)式研究非線性問題的方法。該方法可以用于解決一些正定問題，得到滿足要求的Lyapunov函數(shù)并求解滿足漸近穩(wěn)定性的高階多項(xiàng)式形式的狀態(tài)反饋控制律。尤其是最近開發(fā)出來的SOSTOOLS軟件包將問題轉(zhuǎn)化成半定規(guī)劃問題（semidefinite program， SDP），利用凸優(yōu)化求解工具包，如SeDuMi，可以很方便的求解出來[3]。目前已有文獻(xiàn)將SOS方法應(yīng)用于航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題[4-6]，其中文獻(xiàn)[5]利用修正羅德里格斯參數(shù)（modified rodrigues parameter， MRP）對(duì)航天器進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，直接給出系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)和控制律。

雖然MRP可以很好的描述航天器姿態(tài)，但是當(dāng)特征軸轉(zhuǎn)動(dòng)到±360°時(shí)，出現(xiàn)奇異點(diǎn)。對(duì)此，文獻(xiàn)[7]將MRP一般化，提出投影映射參數(shù)，得到奇異點(diǎn)在0°的映射集 。文獻(xiàn)[8][9]應(yīng)用MRP映射集避免了奇異問題，受此啟發(fā)，本文將MRP的原始集 與映射集 相結(jié)合，當(dāng) 時(shí)切換成 ，以保證姿態(tài)參數(shù)始終保持在單位球內(nèi)?？刂七^程相當(dāng)于當(dāng)特征軸轉(zhuǎn)動(dòng)角 時(shí)，控制器控制航天器姿態(tài)收斂到360°，解決了航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)過程中的退繞問題[10-14]，因此與文獻(xiàn)[5]相比，該方法有效減小了控制所消耗的能量。

1 修正羅德里格斯參數(shù)

修正羅德里格斯參數(shù)（MRP）原始集定義為

， （1）

式中： 為旋轉(zhuǎn)主軸， 為繞主軸旋轉(zhuǎn)角。 在 處出現(xiàn)奇異。

修正羅德里格斯參數(shù)的映射集定義為：

。 （2）

用 代表通用的MRP，即 包括 和 。 只有在 處為奇異點(diǎn)。

兩者的幾何關(guān)系見下圖所示，因此，當(dāng) 在單位球內(nèi)時(shí)， 被映射在單位球外，反之亦然。

圖1 MRP原始集與映射關(guān)系示意圖[7]

Fig.1 MRP original set and shadow set[7]

因此兩者結(jié)合時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)的全局非奇異描述。此外，當(dāng)航天器姿態(tài)角大于180°時(shí)，若以映射集為被控量，姿態(tài)角將收斂到360°，繞主軸旋轉(zhuǎn)角始終保持在180°范圍內(nèi)，為最短收斂路徑，解決了退繞問題，有利于降低能量消耗。

2 剛性航天器數(shù)學(xué)模型建立

對(duì)于剛體航天器，基于MRP的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

， （3）

式中： 為航天器本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的修正羅德里格斯參數(shù)集， 為航天器角速度在慣性坐標(biāo)系下的矢量形式。方程（3）中的矩陣 ，具體形式為：

， （4）

式中 為斜對(duì)稱矩陣。

。 （5）

航天器動(dòng)力學(xué)模型為：

， （6）

式中： 是剛體的慣量矩陣， 為控制輸入， 為 的斜對(duì)稱矩陣， 為干擾力矩，本文采用重力梯度力矩。

對(duì)剛性航天器的動(dòng)力學(xué)模型（6）和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型（3）進(jìn)行整理，得到名義狀態(tài)空間模型為：

， （7）

式中 ；

其中 ～ 與 ～ 對(duì)應(yīng)；

。

3 控制器設(shè)計(jì)

定理1.對(duì)于系統(tǒng)（7），如果存在矩陣 ，滿足如下約束：

（8）

則存在保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的控制律 ，且不存在退繞問題。其中， ； ， 為多項(xiàng)式函數(shù)。

證明：

選取Lyapunov函數(shù)：

， （9）

其沿狀態(tài)軌跡（7）的導(dǎo)數(shù)為：

， （10）

設(shè)計(jì)非線性狀態(tài)反饋控制律的形式為：

， （11）

代入方程（10）得到：

。 （12）

因此，若要保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性，需要 ，即要求如下不等式：

。 （13）

對(duì)該式兩端同乘 ，整理得到第2個(gè)約束條件。

根據(jù)MRP定義可知，當(dāng)特征軸轉(zhuǎn)角 時(shí)， ； 時(shí)， ； 時(shí)， 。根據(jù)（8）中第3個(gè)約束條件，模型在 處發(fā)生切換?？紤]到

。（14）

為保證 始終在單位圓內(nèi)，當(dāng) 或 時(shí)，即滿足（8）中第三個(gè)約束條件時(shí)時(shí)發(fā)生切換。

證畢。

注釋1：與文獻(xiàn)[1][2]相比，該控制器設(shè)計(jì)過程與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。

4 仿真驗(yàn)證

本文考慮由重力梯度力矩 產(chǎn)生的干擾。 ，其表達(dá)式[11]為：

， （15）

。 （16）

式中： ， 為地心引力常數(shù)， 為航天器質(zhì)心與地球質(zhì)心距離， ， ， 為由MRPs表示的方向余弦矩陣：

。 （17）

假設(shè)航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為 ，運(yùn)行在400km圓軌道上，軌道傾角40°，此時(shí)軌道角速度為 ，根據(jù)公式（15）-（17），得到重力梯度力矩如圖2所示。

利用SOSTOOLs工具包，求解得（8）中的三個(gè)約束條件，得到控制律：

（18）

本文采用文獻(xiàn)[5]設(shè)置的參數(shù)進(jìn)行仿真，以便于比較。為說明問題，本文對(duì)繞特征軸 旋轉(zhuǎn) 所對(duì)應(yīng)的姿態(tài)參數(shù) ，初始角速度為零，根據(jù)控制律（18），對(duì)干擾力矩作用下的剛性航天器進(jìn)行大角度姿態(tài)控制，得到仿真結(jié)果如圖3-6所示，由于MRP不具有明顯的物理意義，為便于工程理解，本文將其轉(zhuǎn)化成歐拉角顯示。

由于初始MRP的原始集 ，因此切換成映射集 ，如圖3所示，對(duì)應(yīng)歐拉角從-180°方向向0°收斂，如圖4所示。整個(gè)控制過程中，控制力矩限制在±4N·m內(nèi)，且在20s內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。針對(duì)本文中加入的重力梯度力矩干擾，具有魯棒性。

為了對(duì)能量損耗進(jìn)行定量分析，定義能量函數(shù)：

。 （19）

分別對(duì)文獻(xiàn)[5]中所設(shè)計(jì)的控制律和本文所設(shè)計(jì)的控制律計(jì)算能量函數(shù)，結(jié)果如圖7所示。該仿真結(jié)果顯示，文獻(xiàn)[5]中所設(shè)計(jì)控制律控制系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需能量為304.5，利用本文所設(shè)計(jì)控制律所需能量為2.19，明顯低于文獻(xiàn)[5]中的結(jié)果。

5 結(jié)論

本文利用SOS方法對(duì)剛性航天器進(jìn)行大角度姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)。通過MRP原始集與映射集的切換，解決了退繞問題。由于MRP原始集與映射集本質(zhì)相同，滿足相同的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，因此所設(shè)計(jì)的控制律不變，只需要在程序中進(jìn)行參數(shù)判斷與切換，容易實(shí)現(xiàn)；與此同時(shí)，原始集與映射集的結(jié)合保證了系統(tǒng)全局無(wú)奇異點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。這在工程實(shí)際中也具有應(yīng)用價(jià)值。在以后的研究中，將考慮傳感器測(cè)量時(shí)延導(dǎo)致的參數(shù)切換抖顫現(xiàn)象。

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