鄭 青，鞠 蘇，范書群，吳會強，黃春芳，江大志?

（1.國防科技大學(xué)材料科學(xué)與工程系，長沙410073；2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076）

基于失效模式的格柵承力筒結(jié)構(gòu)縮比模型研究

鄭 青1，鞠 蘇1，范書群2，吳會強2，黃春芳1，江大志1?

（1.國防科技大學(xué)材料科學(xué)與工程系，長沙410073；2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076）

針對工程實際中大尺寸格柵承力筒的縮比模型驗證需求，以相似理論為基礎(chǔ)，采用方程分析法對格柵承力筒結(jié)構(gòu)軸壓下的力學(xué)性能進行分析，建立了整體失穩(wěn)、局部失穩(wěn)和材料破壞三種失效模式對應(yīng)的臨界承載力方程；利用格柵的等效剛度和臨界承載力方程構(gòu)建縮比模型；最后通過有限元模擬對結(jié)構(gòu)原件和縮比件的力學(xué)性能進行對比分析與驗證。結(jié)果表明建立的縮比方法可以有效反映結(jié)構(gòu)原件的力學(xué)性能，可代替大尺寸結(jié)構(gòu)原件用于后續(xù)研究。

復(fù)合材料；格柵承力筒；相似理論；縮比模型；失效模式

1 引言

格柵承力筒是一種力學(xué)性能優(yōu)異的輕質(zhì)高強結(jié)構(gòu)，比強度和比剛度高、抗屈曲能力強、便于檢測和修補、易于進行多功能設(shè)計及各向異性設(shè)計，已成功應(yīng)用于火箭級間段、飛行器機身等多種關(guān)鍵結(jié)構(gòu)［1］。制備格柵承力筒結(jié)構(gòu)的材料可以是金屬材料或復(fù)合材料，利用復(fù)合材料制備的格柵承力筒結(jié)構(gòu)集先進結(jié)構(gòu)構(gòu)型優(yōu)勢和材料性能優(yōu)勢于一體，可充分發(fā)揮復(fù)合材料各向異性的優(yōu)勢，有望實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的超輕質(zhì)設(shè)計。美國、俄羅斯、日本及歐洲一些國家已將復(fù)合材料格柵承力筒結(jié)構(gòu)成功應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域［2］。圖1為俄國Proton?M火箭的有效載荷支架和級間段結(jié)構(gòu)，這兩種結(jié)構(gòu)的主承力部件均采用碳纖維復(fù)合材料格柵結(jié)構(gòu)［3］。

我國未來運載火箭的芯級、助推器直徑尺寸以及全箭長度都趨于大型化［4?5］，現(xiàn)今國內(nèi)外研究大型筒體結(jié)構(gòu)承載性能采取的技術(shù)途徑各有特色，但共同的特征是理論研究與試驗研究相結(jié)合，并且理論研究的程度越來越高，對全尺寸結(jié)構(gòu)試驗的依賴程度越來越小，而代之以充分的部段試驗和縮比模型試驗，這樣既可以大大降低試驗難度和成本，又可以縮短研制周期［6］。

雖然國內(nèi)外都十分重視火箭縮比模型的設(shè)計工作，并對火箭整體結(jié)構(gòu)的動力學(xué)縮比模型開展了大量的研究工作，但對格柵承力筒結(jié)構(gòu)的縮比模型卻研究較少?？s比模型試驗具備試驗方式靈活方便、對試驗硬件要求低等優(yōu)點，且由于縮比模型尺寸可以較小，對分析和計算機模擬的硬件要求低，因此可以進行詳細的理論建模和計算分析，并根據(jù)理論計算的結(jié)果對試驗方案進行重復(fù)、補充和完善，從而在火箭結(jié)構(gòu)研發(fā)的早期便可以獲得最佳的試驗／分析一體化研究組合［7］。

本文重點圍繞如何建立格柵承力筒的縮比模型展開研究，以相似理論為基礎(chǔ)，建立有效的縮比方法，構(gòu)建可反映全尺寸結(jié)構(gòu)原件力學(xué)行為的縮比模型，并通過有限元模擬對全尺寸結(jié)構(gòu)原件與縮比結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為進行對比分析，以驗證縮比方法的有效性。

2 縮比模型

2.1 縮比方法

依據(jù)相似理論［8］，在對結(jié)構(gòu)進行縮比設(shè)計時，不可能使其性能的每一方面都遵守相似準則，通常只需根據(jù)實際情況對所關(guān)心的方面進行討論，使其遵守縮比準則。此處以靜態(tài)軸壓下的Kagome格柵承力筒結(jié)構(gòu)為例，對格柵承力筒的幾何參數(shù)及軸壓剛度和極限承載力進行縮比分析。

縮比模型建立的方法主要有三種：方程分析法、量綱分析法和綜合分析法。此處采用方程分析法建立格柵承力筒的縮比模型。方程分析法的基本流程為：首先，獲得描述系統(tǒng)某一物理特性的數(shù)學(xué)方程；然后，根據(jù)物理條件相似、邊界條件相似和初始條件相似等建立縮比模型和實際模型的各參數(shù)關(guān)系；最后，代入數(shù)學(xué)方程進行相似變換，得到具有方程一致性的縮比模型方程，根據(jù)等價關(guān)系求得相似準則［6］。

2.2 結(jié)構(gòu)尺寸與力學(xué)行為關(guān)系模型

為了得到描述軸壓下格柵承力筒結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)的數(shù)學(xué)方程，首先需分析該結(jié)構(gòu)在軸壓下的力學(xué)性能。Kagome格柵承力筒結(jié)構(gòu)的主要幾何參數(shù)如圖2所示，包括筒體直徑D、筒體高度H、水平向肋條間距b1、斜向肋條間距b2、格柵肋條厚度t、格柵肋條寬度w。

由等效連續(xù)介質(zhì)方法可以得出格柵承力筒結(jié)構(gòu)的等效軸壓剛度為式（1）［9］：

其中，E為格柵肋條的縱向彈性模量，其值可通過纖維體積分數(shù)來調(diào)節(jié)。

格柵筒結(jié)構(gòu)的失效模式與其幾何尺寸密切相關(guān)，表現(xiàn)出多樣化。在軸壓載荷下，格柵筒通常有三種失效模式，即整體屈曲失效、肋條屈曲失效（包括肋條面內(nèi)屈曲和肋條面外屈曲）和材料強度失效［9］。

1）整體屈曲

整體屈曲是一種幾何非線性的失效行為，結(jié)構(gòu)因整體屈曲發(fā)生破壞時，材料的應(yīng)力往往未達到材料的失效強度，因此材料的承載能力不能得到充分發(fā)揮。肋條尺寸相對較小的大尺寸格柵筒在受軸壓時，整體屈曲是其最為常見的失效模式。根據(jù)Bunakov的推導(dǎo)［10］，格柵筒結(jié)構(gòu)整體屈曲的臨界軸壓力Fgb為式（2）：

2）肋條屈曲

細長的肋條在其應(yīng)力達到材料強度之前會由于歐拉屈曲而失效，根據(jù)歐拉屈曲理論和等效連續(xù)介質(zhì)理論，這種失效模式下格柵承力筒的臨界軸壓力Fsb為式（3）［9］：

3）材料強度失效

材料強度失效是因為結(jié)構(gòu)中應(yīng)力達到材料的失效強度而發(fā)生的破壞，這種情況下材料的承載能力得到充分發(fā)揮。根據(jù)等效連續(xù)介質(zhì)方法，格柵筒結(jié)構(gòu)在這種失效模式下的臨界軸壓力Fsf為式（4）［9］：

對于尺寸確定的格柵筒體結(jié)構(gòu)，將其幾何參數(shù)分別帶入方程（2）～（4），得到三個臨界軸壓力，其中最小的臨界軸壓力對應(yīng)的失效模式即為格柵筒的最終失效模式。因此，方程（2）～（4）即為描述軸壓下筒體結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)的數(shù)學(xué)方程，是后續(xù)各參數(shù)縮比變換的理論依據(jù)。

2.3 縮比關(guān)系

從上面的分析可以看出，Kagome型格柵筒共有6個獨立的幾何參數(shù)（D、H、b1、b2、t、w）和2個材料參數(shù)（E、）。在建立縮比模型時，通常選擇與結(jié)構(gòu)原件相同的材料參數(shù)，因此材料參數(shù)的縮比系數(shù)為1。理論上，6個幾何參數(shù)都可以按任意比例縮小或者放大，但是，實際的參數(shù)縮比受到兩個條件的限制：

1）縮比參數(shù)的選定須考慮制備工藝的限制。縮比模型的意義在于通過制備縮比件并對其進行測試來預(yù)測全尺寸結(jié)構(gòu)的性能，因此，選取縮比參數(shù)時應(yīng)充分考慮制備工藝的可行性。例如，高6000 mm、直徑5000 mm、肋條厚度和寬度分別為18 mm和9 mm的格柵筒結(jié)構(gòu)，其直徑和高度可按8∶1的縮比比例，但如果也對其肋條厚度和寬度尺寸及間隔距離同樣按8∶1進行縮比，就會導(dǎo)致肋條過小、過密而給制備工藝造成困難。因此應(yīng)采用廣義幾何縮比模型，對不同類別的幾何參數(shù)采用不同的縮比比例。

2）縮比結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的原則是使其具有與全尺寸結(jié)構(gòu)原件相同的失效模式，這樣才保證縮比前后數(shù)學(xué)方程的一致性，使縮比件能夠?qū)θ叽缃Y(jié)構(gòu)原件的力學(xué)行為進行完整預(yù)測或驗證。

基于以上分析，首先確定結(jié)構(gòu)整體幾何尺寸（承力筒直徑D和高度H）的縮比系數(shù)λD和λH如式（5）。

其中，上標(biāo)0表示全尺寸結(jié)構(gòu)原件，上標(biāo)1表示縮比件。

然后確定格柵結(jié)構(gòu)胞元的縮比尺寸。為了建模方便，將格柵筒環(huán)向肋條的間隔距離b2轉(zhuǎn)換成環(huán)向肋條數(shù)目N1，即圓筒高度被N1等分，所以b1＝H／N1；其同一方向斜向肋條的間隔距離b2被轉(zhuǎn)換成肋條數(shù)目N2，即圓筒周長被N2等分，可得式（6）：

λN1和λN2分別為環(huán)向肋條和斜向肋條數(shù)目的縮比系數(shù)，則存在式（7）：

λN1和λN2的值須保證縮比模型的N1和N2都為整數(shù)。由此得出結(jié)構(gòu)原件參數(shù)b10與結(jié)構(gòu)縮比件參數(shù)b11的關(guān)系如式（8）：

因此，可得b1和b2的縮比系數(shù)如式（9）～（10）：

為了保證格柵筒體胞元構(gòu)型不變，λD和λH應(yīng)取值相同，λN1和λN2也應(yīng)取值相同，由此得出λb1＝λb2。

肋條厚度t和寬度w的縮比比例λt和λw也應(yīng)盡量取值相同，以保持肋條厚寬比例不變。縮比模型的6個幾何參數(shù)（D1、H1、b11、b12、t1、w1）根據(jù)縮比關(guān)系確定后須將其代入方程（2）～（4），得到縮比模型的失效模式及其對應(yīng)的臨界承載力，若縮比模型的最小臨界承載力對應(yīng)的失效模式與全尺寸結(jié)構(gòu)原件的不一致，則須對各縮比系數(shù)進行重新選擇，直至縮比模型的最小臨界承載力對應(yīng)的失效模式與全尺寸結(jié)構(gòu)原件的一致。

將已確定好的縮比系數(shù)λD、λb1、λb2、λt、λw代入方程（1）可得式（11）：

由此得格柵筒軸壓剛度縮比系數(shù)如式（12）：

將λD、λH、λb1、λb2、λt、λw分別代入方程（2）、（3）、（4）得出與各失效模式相對應(yīng)的縮比系數(shù)如式（13）～（15）：

整體屈曲：

肋條屈曲：

材料強度失效：

3 縮比模型實例及驗證

以高6000 mm、直徑4000 mm、肋條厚度和寬度分別為16 mm和8 mm、環(huán)向肋條數(shù)目和斜向肋條數(shù)目分別為30和90的全尺寸格柵承力筒結(jié)構(gòu)為例，建立幾種不同的縮比比例，進行縮比模型分析。表1列出了幾種不同縮比結(jié)構(gòu)的縮比系數(shù)、幾何尺寸、理論剛度和臨界承載力，其中0號為全尺寸結(jié)構(gòu)原件，1～5號為0號的縮比結(jié)構(gòu)，所有樣件的肋條縱向彈性模量E取值為80 GPa，肋條材料的失效強度取值為150 MPa。將全尺寸結(jié)構(gòu)原件的尺寸分別代入方程（2）～（4），通過對比臨界承載力結(jié)果（見圖3）可知，全尺寸結(jié)構(gòu)原件的失效模式是整體屈曲。因此，在建立縮比模型時，選取的縮比比例必須保證縮比結(jié)構(gòu)的失效模式同樣為整體屈曲。將1～5號縮比結(jié)構(gòu)的尺寸分別代入方程（2）～（4），結(jié)果表明，1～5號縮比結(jié)構(gòu)的最終失效模式也都是整體屈曲，滿足本文失效模式保持一致的縮比準則，而其結(jié)構(gòu)尺寸大小也滿足制備工藝的限制條件。

表1 不同縮比結(jié)構(gòu)的縮比系數(shù)、幾何尺寸、理論剛度和最小臨界承載力Table 1 Scaled factor，geometrical size，theoretical stiffness and bearing capacity of different scaled sam ples

為了驗證全尺寸結(jié)構(gòu)原件和縮比件的力學(xué)性能及縮比結(jié)果的正確性，本文采用ANSYS有限元分析軟件對結(jié)構(gòu)軸壓行為進行數(shù)值模擬。為了簡化有限元模型，提高求解效率，采用梁單元（BEAM189）建模，幾何模型采取先建立一個基本單元然后進行復(fù)制的方式完成。劃分有限元網(wǎng)格后，通過格柵筒下端面的節(jié)點在筒的下端面建立一個剛性面，并對這個剛性面施加位移全約束。同樣，在上端面上也建立一個剛性面，對格柵筒端面上的各節(jié)點軸向位移進行一致性約束，在剛性面的中間施加分步位移荷載，以進行軸壓荷載下的結(jié)構(gòu)非線性分析。通過有限元模擬得出的0～5號結(jié)構(gòu)的軸力－位移曲線和結(jié)構(gòu)變形形態(tài)如圖3所示，結(jié)果表明，這6種結(jié)構(gòu)的最終失效模式均為整體屈曲。

表2列出了0～5號構(gòu)件的剛度S和最小臨界承載力F理論值、數(shù)值模擬值以及二者的誤差。從表中可以看出，結(jié)構(gòu)剛度的數(shù)值模擬值與理論值吻合較好，誤差都在1%以內(nèi)；而最小臨界承載力誤差相對較大，但都在6%以內(nèi)，表明本文建立的縮比方法是有效的。

表2 結(jié)構(gòu)剛度和承載力的理論值與數(shù)值模擬值Table 2 Structure stiffness and critical bearing capacity obtained by theory and simulation

4 結(jié)論

本文以失效模式相同為縮比準則，采用方程分析法對軸壓下大型復(fù)合材料格柵承力筒縮比模型展開了研究。首先，采用等效介質(zhì)方法，得出了格柵筒結(jié)構(gòu)的軸壓剛度和三種不同失效模式，即整體屈曲失效、肋條屈曲失效（包括肋條面內(nèi)屈曲和肋條面外屈曲）和材料強度失效對應(yīng)的臨界承載力方程；在此基礎(chǔ)上，利用方程分析法、以失效模式相同為縮比準則，得到了全尺寸格柵筒結(jié)構(gòu)與其縮比結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的縮比關(guān)系；建立了復(fù)合材料格柵承力筒的有限元模型，得出了縮比結(jié)構(gòu)剛度、臨界承載力和失效模式，并與等效介質(zhì)模型結(jié)果進行了對比分析；結(jié)果表明，本文建立的縮比方法可以有效反映結(jié)構(gòu)原件的力學(xué)性能，因此可代替大尺寸結(jié)構(gòu)原件用于后續(xù)的實驗研究之中。

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Study on Scaled M odel of Grid Lattice Cylinder Based on Its Failure M odes

ZHENG Qing1，JU Su1，F(xiàn)AN Shuqun2，WU Huiqiang2，HUANG Chunfang1，JIANG Dazhi1?
（1.Department of Materials Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China；2.Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering，Beijing 100076，China）

Grid lattice cylinders have great potentials in aeronautic application due to their excellent mechanical properties such as high strength and light weight.In engineering practice，the scaled model can be used to study the properties of the large－size grid lattice cylinder so as to reduce the difficulties and research cost and shorten the research cycle.On the basis of similarity theory，a scaled model of grid lattice cylinder was studied through equation analysis.Firstly，the mechanical properties of the grid lattice cylinders under axial compression were analyzed，three failure modes were discussed，and the relationship between themechanical response and the geometrical parame?ters of the grid lattice cylinder was obtained.Then a scaled model was built by equivalent equation of the stiffness and ultimate failure load.Finally，themechanical properties of both the original struc?ture and the scaled structure were compared and validated through finite element simulation.The re?sults showed that the scaled model built in this paper was efficient to validate the properties of the o?riginal structure，so itmay be used in experiment research as a substitute of the original structure.

composite materials；grid lattice cylinder；similarity theory；scaled model；failure modes

V414

A

1674?5825（2017）01?0045?06

2015?10?26；

2017?01?10

國家自然科學(xué)基金項目（11202231）；載人航天預(yù)先研究項目（2013）；國防科大優(yōu)秀研究生創(chuàng)新資助基金（B140107）

鄭青，女，博士研究生，研究方向為復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計。E?mail：zhengqing＿111＠163.com

?通訊作者：江大志，男，博士，教授，研究方向為復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計。E?mail：jiangdz＠nudt.edu.cn