王玲娜，王領(lǐng)弟，傅新楚

(1.上海大學(xué)理學(xué)院, 上海 200444;2.河北省肅寧縣疾病控制中心, 河北 肅寧 062350)

三部圖網(wǎng)絡(luò)上的媒介傳染病動力學(xué)

王玲娜1，王領(lǐng)弟2，傅新楚1

(1.上海大學(xué)理學(xué)院, 上海 200444;2.河北省肅寧縣疾病控制中心, 河北 肅寧 062350)

很多媒介傳染病在人類、媒介和動物3個種群中傳播, 針對這類傳染病提出三部圖網(wǎng)絡(luò)。 通過數(shù)學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)三部圖網(wǎng)絡(luò)上模型的基本再生數(shù)不僅與二階矩和平均度的比值有關(guān)還與平均度有關(guān), 這與二部圖網(wǎng)絡(luò)上的結(jié)論有本質(zhì)區(qū)別。 通過數(shù)值模擬,還發(fā)現(xiàn)：三部圖網(wǎng)絡(luò)比二部圖網(wǎng)絡(luò)更有利于疾病的傳播; 在同樣的接觸模式下, 4個交叉?zhèn)魅韭蕦驹偕鷶?shù)有同樣的影響; 傳染病在三個子網(wǎng)絡(luò)上同時存在或同時消亡。

三部圖網(wǎng)絡(luò)；媒介傳染??；基本再生數(shù)

0 引言

媒介傳染病是指以某種生物載體為媒介并通過媒介來傳播的傳染性疾病。 媒介分為蟲媒和動物媒介，常見的蟲媒有蚊子、蒼蠅、扁虱等，常見的動物媒介有水生軟體動物和一些野生動物或飼養(yǎng)動物。 瘧疾就是一種典型的媒介傳染病，它的傳播媒介是瘧蚊。 當(dāng)蚊子叮咬染病者后，蚊子體內(nèi)就有可能攜帶傳染病毒，攜帶病毒的蚊子再去叮咬易感者時，易感者可能被感染。 隨著人類醫(yī)學(xué)水平的不斷進(jìn)步，感染瘧疾的人數(shù)已經(jīng)越來越少，然而在拉丁美洲、非洲、和東南亞的一些地區(qū)，仍有很多人感染瘧疾。 萊姆病是一種以蜱為媒介的自然疫源性人畜共患傳染病。 萊姆病主要分布于美國、歐洲和亞洲，具有分布廣、傳播快、致殘率高等特點，嚴(yán)重威脅著人類的健康，已經(jīng)引起了全球的廣泛關(guān)注。

目前對媒介傳染病的研究已有一定進(jìn)展[1-9]。 1979年，Cooke首次建立了媒介傳染病的動力學(xué)模型[1]，并對模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，此模型是不考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)模型。 2008年，Shi等[8]建立了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的媒介傳染病SIS模型：

很多媒介傳染病在人類和動物中傳播，比如瘧疾、萊姆病等等。 2015年，祝光湖考慮了在3個種群(人類、媒介和動物)中傳播的媒介傳染病傳播動力學(xué)，建立了傳染病模型，并討論了無病平衡點和地方病平衡點的穩(wěn)定性[9]。 數(shù)學(xué)模型為

祝光湖的上述模型假設(shè)人類和動物中的個體除了可以被染病媒介傳染，還可以被染病個體傳染[9]。 但事實上，對于很多媒介傳染病，人和人以及動物和動物之間不會直接傳染，它們只能通過媒介傳染，例如瘧疾、萊姆病等等。 也就是說人類與媒介以及動物與媒介之間沒有內(nèi)部傳染只有交叉?zhèn)魅尽?針對在人和動物中傳播的媒介傳染病的這一特征，我們提出三部圖網(wǎng)絡(luò)，三部圖網(wǎng)絡(luò)能夠很好地表示這類傳染病的傳播。

在文章[10]中， 作者用二部圖網(wǎng)絡(luò)研究了媒介傳疾病的傳播， 二部圖網(wǎng)絡(luò)只能涉及到兩個種群。對于很多在人和動物中傳播的媒介傳染病，涉及到人、媒介和動物3個種群，對于這類傳染病，顯然我們采用的三部圖網(wǎng)絡(luò)更能準(zhǔn)確地描述疾病的傳播。

1 模型建立

首先建立一個三部圖網(wǎng)絡(luò), 整個網(wǎng)絡(luò)由3個子網(wǎng)A, B, C組成。 每個子網(wǎng)中的節(jié)點代表這個子網(wǎng)中的個體。 子網(wǎng)的個體之間沒有內(nèi)部連接, 只有交叉連接。 也就是說, 子網(wǎng)A和C中的節(jié)點只能與子網(wǎng)B相連，因此只有一種類型的度, 而子網(wǎng)B中的節(jié)點不僅可以與子網(wǎng)A相連還可以與子網(wǎng)C相連，因此有兩種類型的度。 三部圖網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)見圖1。

三部圖網(wǎng)絡(luò)可以表示很多媒介傳染病, 例如登革熱、瘧疾、乙腦、萊姆病等等。 子網(wǎng)A, B, C分別表示人、媒介和動物。 登革熱、瘧疾和乙腦的傳播媒介是蚊子, 而萊姆病的傳播媒介是蜱蟲。

本文在三部圖網(wǎng)絡(luò)上考慮SIS模型。 三部圖網(wǎng)絡(luò)上，用度j表示子網(wǎng)A和C中的節(jié)點有j條邊和子網(wǎng)B相連。 度(i,k)表示子網(wǎng)B中的節(jié)點有i條邊和子網(wǎng)A相連,k條邊和子網(wǎng)C相連。 (i,·)表示子網(wǎng)B中的節(jié)點有i條邊和子網(wǎng)A相連, 任意條邊和子網(wǎng)C相連。 同樣, (·,k)表示子網(wǎng)B中的節(jié)點有k條邊和子網(wǎng)C相連, 任意條邊和子網(wǎng)A相連。 其他參數(shù)見表1。

根據(jù)表1, 易得子網(wǎng)A, B, C上的易感節(jié)點數(shù)、染病節(jié)點數(shù)和所有節(jié)點數(shù)分別是

子網(wǎng)A,B,C的度分布分別是

邊界度分布為

平均度(φ=1)和度的二階矩(φ=2) 是

圖1 三部圖網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Tripartite networks 表1 三部圖網(wǎng)絡(luò)參數(shù)定義Tab.1 Definition of tripartite networks parameters

參數(shù)定義(X=A或C)NXj子網(wǎng)X上度為j的節(jié)點數(shù)SXj(IXj)子網(wǎng)X上度為j的易感(染病)節(jié)點數(shù)NBi,k子網(wǎng)B上度為(i,k)的節(jié)點數(shù)SBi,k(IBi,k)子網(wǎng)B上度為(i,k)的易感(染病)節(jié)點數(shù)n12(n21)子網(wǎng)A(B)中節(jié)點連接子網(wǎng)B(A)的最大度n32(n23)子網(wǎng)C(B)中節(jié)點連接子網(wǎng)B(C)的最大度PX(j)子網(wǎng)X上任取一個度為j的節(jié)點的概率PB(i,k)子網(wǎng)B上任取一個度為(i,k)的節(jié)點的概率12(21)子網(wǎng)A(B)中節(jié)點與子網(wǎng)B(A)相連的平均度32(23)子網(wǎng)C(B)中節(jié)點與子網(wǎng)B(C)相連的平均度

NA〈k〉12=NB〈k〉21,NB〈k〉23=NC〈k〉32

(1)

做如下假設(shè)： 如果子網(wǎng)A(B)中的一個易感節(jié)點通過一條邊與子網(wǎng)B(A)中染病節(jié)點相連, 那么這個易感節(jié)點被感染變成染病節(jié)點的概率為λ21(λ12); 如果子網(wǎng)B(C)中的一個易感節(jié)點通過一條邊與子網(wǎng)C(B)中染病節(jié)點相連, 那么這個易感節(jié)點被感染變成染病節(jié)點的概率為λ32(λ23)。 而且, 子網(wǎng)A, B, C中的染病節(jié)點分別以恢復(fù)率μ1,μ2,μ3變成易感節(jié)點。

按照上面的假設(shè), 我們建立一個網(wǎng)絡(luò)平均場傳播模型, 它由((n12+1)+(n21+1)(n23+1)+(n32+1))個常微分方程組成。

(2)

其中，f=0,1,…,n12,g=0,1,…,n21,l=0,1,…,n23,m=0,1,…,n32。

同樣有

因此模型(2)簡化為

(3)

其中，f=0,1,…,n12,g=0,1,…,n21,l=0,1,…,n23,m=0,1,…,n32。

當(dāng)n23=n32=0時, 三部圖網(wǎng)絡(luò)簡化為二部圖網(wǎng)絡(luò), 并且模型(3)簡化為 [11]中的模型。

2 數(shù)學(xué)分析

(4)

顯然模型(3) 有一個無病平衡點E0, 使得yi=0,i=1,…,n。

可以通過再生矩陣Γ=FV-1的方法計算模型的基本再生數(shù)R0[12]。 其中 矩陣F為新的感染率, 矩陣V為個體的轉(zhuǎn)移率。 顯然V是一個對角矩陣, 其中當(dāng)i=1,…,(n12+1)時vii=μ1,當(dāng)i=(n12+1)+1,…,(n12+1)+(n21+1)(n23+1)時vii=μ2, 當(dāng)i=(n12+1)+(n21+1)(n23+1)+1,…,n時vii=μ3。F=D(f(0))+V。 通過相似變換矩陣?？梢院喕癁?/p>

假設(shè)聯(lián)合度分布是獨立的, 即

PB(i,k)=PB(i,·)PB(·,k)

那么矩陣Γ可以進(jìn)一步簡化為

(5)

模型(3) 的基本再生數(shù)是R0=ρ(Γ), 其中ρ(Γ)是Γ的譜半徑。 易得

(6)

其中,

通過R0的表達(dá)式(6),可以得出以下結(jié)論:

3) 三部圖網(wǎng)絡(luò)相比二部圖網(wǎng)絡(luò)更容易引起疾病的傳播。

由 [12] 中的定理2, 容易得到下面的結(jié)論。

定理1 如果R0<1, 那么模型(3)的無病平衡點E0=(0,0,…,0)是局部漸近穩(wěn)定的; 如果R0>1,E0是不穩(wěn)定的。

接下來考慮模型(3)的全局穩(wěn)定性。

定理2 對模型 (3),Ω{y={y1,y2,…,yn}:0≤yi≤1,i=1,2,…,n}是正向不變集。

由 [13]中的推論3.2, 我們討論無病平衡點和地方病平衡點的全局穩(wěn)定性。[13]中的推論3.2如下。

(2) 如果s(Df(0))>0, 那么或者

定理 3 對于模型(3), 如果R0≤1, 那么無病平衡點E0在Ω上是全局漸近穩(wěn)定的; 如果R0>1, 模型(3)有唯一的地方病平衡點E1, 并且在Ω-{0}上是全局漸近穩(wěn)定的。

定理3的生物學(xué)意義為: 當(dāng)R0≤1時, 不管疾病爆發(fā)的多么嚴(yán)重, 它都將最終消亡, 當(dāng)R0>1時, 疾病將在網(wǎng)絡(luò)中一直存在形成地方病。 這說明R0是準(zhǔn)確的傳播閾值, 通常R0越大, 疾病越難控制。

3 數(shù)值模擬

為了驗證上面的理論分析結(jié)果以及進(jìn)一步討論模型的傳播動力學(xué), 我們在不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上進(jìn)行數(shù)值模擬。

首先,驗證由(6)得到的基本再生數(shù)R0和數(shù)值模擬結(jié)果一致。

從圖2a可以看出疾病最終消亡, 這表明R0<1; 從圖2b可以看出疾病一直存在最終形成地方病, 這表明R0>1。 對應(yīng)于圖2a和2b, 由(6)得到的基本再生數(shù)R0分別是0.44和1.32。 這表明通過數(shù)學(xué)分析由(6)得到的R0和由模型(3)得出的數(shù)值模擬結(jié)果一致。

圖2 平均感染密度隨時間的變化圖Fig.2 The time evolution of the infected densities

然后,研究在不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上傳染率和網(wǎng)絡(luò)尺寸對基本再生數(shù)的影響。 其中,NA=NB=NC=1 000,k0=1,γ=2.7,μ1=μ2=μ3=1。 對應(yīng)于綠色▽, 藍(lán)色+ 和紅色*,x軸分別是λ21,λ12和λ23。 當(dāng)一個傳染率變化時,其他傳染率固定為 0.1, 并且所有的接觸模式都有相同的平均度。

圖3 不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下, 基本再生數(shù)隨傳染率的變化Fig.3 Dependence of the basic reproduction number on the infection rotes for different network structures

注：所有傳染率都是0.2, 其他參數(shù)取值與圖3相同。圖4 不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下, 基本再生數(shù)隨網(wǎng)絡(luò)尺寸的變化Fig.4 Dependence of the basic reproduction number on the network size for different network structures

由圖3和圖4可以看出： 1) 在同樣的接觸模式下, 感染率λ12和λ21對R0有同樣的影響。 由于模型的對稱性,可以得出4個傳染率λ12,λ21,λ23和λ32對R0影響相同; 2) 基本再生數(shù)R0在無標(biāo)度的接觸模式下隨著傳染率的增大而迅速增加, 這說明無標(biāo)度的接觸模式更容易引起疾病的爆發(fā); 3) AB,BA和BC,CB中只要有一組接觸模式是無標(biāo)度, 那么隨著網(wǎng)絡(luò)尺寸的增大, 基本再生數(shù)迅速增加。

最后我們考慮傳染率和接觸模式對最終平均感染密度ρA,ρB和ρC的影響。 其中,NA=NB=NC=1 000,k0=1,γ=2.7,μ1=μ2=μ3=1。 當(dāng)一個傳染率變化時, 其他傳染率固定在0.2。 所有的接觸模式都有相同的平均度。

由圖5可以發(fā)現(xiàn): 1) 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的接觸模式比隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的接觸模式導(dǎo)致更大的平均感染密度和更小的傳播閾值。 2) 每個傳染率在3個子網(wǎng)上的傳播閾值相同, 這說明疾病要么在3個子網(wǎng)絡(luò)上同時存在, 要么同時消亡。 3) 傳染率λ12(λ21) 能導(dǎo)致最大的ρB(ρA), 較小的ρA(ρB)和最小的ρC。 4) 在同樣的接觸模式下, 傳染率λ12和λ21有同樣的傳播閾值, 這驗證了從圖3和圖4中得出的第一條結(jié)論。

圖5 傳染率和接觸模式對最終平均感染密度的影響Fig.5 Dependence of the infected densities on the infection rates and the contact pattems

4 結(jié)論

我們研究了三部圖網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播, 通過平均場方法, 建立了疾病傳播模型, 計算了模型的基本再生數(shù), 并證明了無病平衡點和地方病平衡點的全局穩(wěn)定性。 通過數(shù)學(xué)分析和數(shù)值模擬方法, 我們得出了如下結(jié)果: 1) 三部圖網(wǎng)絡(luò)比二部圖網(wǎng)絡(luò)更有利于疾病的傳播; 2) 無標(biāo)度的接觸模式更容易引起疾病的爆發(fā); 3) 在同樣的接觸模式下, 4個傳染率對R0有同樣的影響; 4) 傳染病在3個子網(wǎng)絡(luò)上同時存在或同時消亡; 5) 傳染率λ12能導(dǎo)致最大的ρB, 較小的ρA和最小的ρC。

[1]Cooke K L. Stability analysis for a vector disease model [J]. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1979, 9: 31-42.

[2]Baca?r N. Approximation of the basic reproduction number R0 for vector-borne diseases with a periodic vector population [J]. Bull Math Biol, 2007, 69: 1067-1091.

[3]Hosack G R, Rossignol P A, Van dD P. The control of vector-borne disease epidemics [J]. J Theor Biol, 2008, 255: 16-25.

[4]Ruan S, Xiao D, Beier J. On the delayed Ross-Macdonald model for malaria transmission [J]. Bull Math Biol, 2008, 70: 1098-1114.

[5]Smith D L, Dushoff J, McKenzie F E. The risk of a mosquito-borne infection in a heterogeneous environment [J]. PLoS Biol, 2004, 2: 1957-1964.

[6]Marcati P, Pozio A M. Global asymptotic stability for a vector disease model with spatial spread [J].J Math Biol, 1980, 9: 179-187.

[7]Liddo A D. A S-I-R vector disease model with delay [J]. Mathematical Modelling, 1986, 7:793-802.

[8]Shi H, Duan Z, Chen G. An SIS model with infective medium on complex networks [J]. Physica A Statistical Mechanics & Its Applications, 2008, 387(8/9): 2133-2144.

[9]Zhu G, Chen G, Zhang H, et al. Propagation dynamics of an epidemic model with infective media connecting two separated networks of populations [J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation, 2015, 20(1): 240-249.

[10] Zhang R, Li D, Jin Z. Dynamic analysis of a delayed model for vector-borne diseases on bipartite networks [J]. Applied Mathematics & Computation, 2015, 263(C): 342-352.

[11] Gomez-Gardenes J, Latora V, Moreno Y, et al. Spreading of sexually transmitted diseases in heterosexual populations [J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2008, 105(5): 1399-1404.

[12] Van dD P, Watmough J. Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission [J]. Math Biosci, 2002, 180: 29-48.

[13] Zhao X Q, Jing Z J. Global asymptotic behavior in some cooperative systems of functional differential equations [J]. Canadian Appl Math Quarterly, 1996, 4: 421-444.

[14] Newman M E J. The structure and function of complex networks [J]. SIAM Review, 2003, 45: 167-256.

(責(zé)任編輯 耿金花)

Epidemic Dynamics of Vector-Borne Diseases on Tripartite Networks

WANG Lingna1, WANG Lingdi2, FU Xinchu1

(1.College of Sciences, Shanghai University, Shanghai 200444, China;2.Disease Control Center of Suning County, Hebei Province, Suning 062350, China)

In this paper, we study the epidemic dynamics on tripartite networks. Many vector-borne diseases spread among three populations (human beings, vectors and animals).In response to such diseases, we propose tripartite networks. Through theoretical analysis, we find the basic reproduction number of tripartite networks is not only relevant to the ratio between the second moment and the average degree, but also to the average degree, which is different with the result on bipartite networks in essence. Through numerical analysis, we also find that the diseases on the tripartite networks are easier to propagate than that on the bipartite networks; under the same contact patterns, four infection rates have the same effect on the basic reproduction number; the diseases exist or disappear on three subnetworks at the same time.

tripartite network; vector-borne disease; basic reproduction number

1672-3813(2017)02-0011-08；

10.13306/j.1672-3813.2017.02.002

2016-04-22；

2016-06-18

國家自然科學(xué)基金(11331009， 11572181)

王玲娜(1978-)，女，河北滄州人，博士研究生，主要研究方向為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動力學(xué)。

O29; N94

A