鄭新虎，李浙昆，楊 濤，白云飛

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,云南 昆明 650500)

基于Workbench不同截面橫梁的模態(tài)分析

鄭新虎，李浙昆，楊 濤，白云飛

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,云南 昆明 650500)

利用模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)，對不同截面的橫梁在Workbench環(huán)境下進(jìn)行模態(tài)分析，通過對比分析各橫梁不同階次的自振頻率以及振型得出了不同截面橫梁的性能，并且對比相同截面下不同類型的橫梁的自振頻率以及振型得出不同類型的橫梁在同等條件下的力學(xué)性能，讓設(shè)計者了解到了不同橫梁的自振頻率以及變形趨勢，更加有利于設(shè)計者在設(shè)計結(jié)構(gòu)時減少共振，提高了構(gòu)件的可靠性和使用壽命。

Workbench；不同截面；橫梁；自振頻率；振型

0 前言

隨著我國社會和經(jīng)濟(jì)建設(shè)發(fā)展的需要，橋梁的建設(shè)則是交通事業(yè)發(fā)展的重點。在橋梁的結(jié)構(gòu)設(shè)計中，橋型的選擇會影響到結(jié)構(gòu)的截面尺寸和構(gòu)造形式，進(jìn)而影響材料用量、結(jié)構(gòu)自重和施工的難易程度，直接關(guān)系到結(jié)構(gòu)形式的合理性、安全性、可行性及經(jīng)濟(jì)性。[1]簡支梁和懸臂梁是橋梁最常見的截面形式，二者各有特點。因此對其進(jìn)行模態(tài)分析得出不同橫梁的不同性能，對于提高橋梁使用壽命有著重要的意義。

簡支梁橋是梁式橋中應(yīng)用最早、使用最廣泛的一種橋形。其構(gòu)造簡單，架設(shè)方便，結(jié)構(gòu)內(nèi)力不受地基變形，溫度改變的影響，但是簡支梁橋也具有明顯的缺陷，那就是抗震力較弱，若搭在超高臺上，在超外力作用下，安全儲備則較低。簡支梁常常被應(yīng)用到小跨度的橋梁建設(shè)中。與簡支梁橋相比，懸臂梁橋的內(nèi)力不受基礎(chǔ)變形的影響，由于布置伸臂梁，它一方面減少了附屬部分梁的跨度，另一方面使得伸臂上的荷載對簡支部分產(chǎn)生負(fù)彎矩，從而抵消橋梁產(chǎn)生的正彎矩?？缰姓龔澗氐娘@著減少，可以減小主梁的高度，進(jìn)而減少材料的用量和結(jié)構(gòu)自重，從而獲得最佳的經(jīng)濟(jì)效益。懸臂梁橋雖然在力學(xué)性能上優(yōu)于簡支梁橋，可適用于更大跨徑的橋梁方案，但由于懸臂梁橋的某些區(qū)段同時存在正、負(fù)彎矩，無論采用何種主梁截面形式，其構(gòu)造較為復(fù)雜；而且跨徑增大以后，梁體重量快速增加，不易采用裝配式施工，往往要在費用昂貴、速度緩慢的支架上現(xiàn)澆。

因此對不同的簡支梁以及懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析，得出不同截面的橫梁的自振頻率以及振型，可以方便設(shè)計者根據(jù)需要選擇最合適的橫梁模型，有效地避開其自振頻率，從而更好地提高橋梁的抗震能力以及使用壽命。

1 模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

模態(tài)是機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每一個模態(tài)具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。模態(tài)分析是最基本、最簡單的線性動力學(xué)分析，也是其他所有動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，其他動力學(xué)分析如響應(yīng)譜分析、隨機(jī)振動分析、諧響應(yīng)分析等都需要在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

模態(tài)分析有著非常廣泛的實用價值，是系統(tǒng)辨別方法在工程振動領(lǐng)域中的應(yīng)用[2-4]。在確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型基礎(chǔ)上，可以使結(jié)構(gòu)設(shè)計避開共振或使結(jié)構(gòu)以某一特定的頻率進(jìn)行振動；可以得到結(jié)構(gòu)對不同類型的動力載荷的響應(yīng)情況；有助于估算求解其他動力學(xué)分析中的控制參數(shù)，進(jìn)而預(yù)測在不同載荷的作用下結(jié)構(gòu)的振動形式。對于多自由度的結(jié)構(gòu)而言，任何運動都可以由其自由振動的模態(tài)來合成，有限元的模態(tài)分析就是建立模態(tài)模型和數(shù)值分析的過程。

有限元分析的實質(zhì)就是求解具有有限自由度的無阻尼及無外載荷狀態(tài)下的運動方程的模態(tài)矢量，系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程的矩陣表達(dá)式為

(1)

對于線性結(jié)構(gòu)而言式(1)中[M]、[K]均為實數(shù)對稱矩陣，方程具有簡諧運動形式的解，其形式為

{u(x,y,z,t) }={φ(x,y,z) } еiωn t

(2)

式中,{φ(x,y,z) }為位移矢量的幅值，它定義了位移矢量{U}的空間分布；ωn為簡諧運動的角頻率。

將式(2)帶入式(1)后得到與{φ}和ωn有關(guān)的方程為

(3)

式(3)在任何t時刻均成立，故除去含t的項得到

(4)

式(4)稱為典型的實特征問題，{φ}有非零解的條件是其系數(shù)行列式的值為零，即

(5)

或|K-λM|=0

(6)

{K-λiM}{φi}=0

(7)

式中，λi為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第i個特征值；{φi}為對應(yīng)的特征矢量。

2 模型的建立

簡支梁就是兩端支座僅提供豎向約束，而不提供轉(zhuǎn)角約束的支撐結(jié)構(gòu)。簡支梁僅在兩端受鉸支座約束，主要承受正彎矩，一般為靜定結(jié)構(gòu)[5]。體系溫變、混凝土收縮徐變、張拉預(yù)應(yīng)力、支座移動等都不會在梁中產(chǎn)生附加內(nèi)力，受力簡單。

懸臂梁的一端為不產(chǎn)生軸向、垂直位移和轉(zhuǎn)動的固定支座，另一端為自由端。大部分實際工程受力部件都可以簡化為懸臂梁。

常見的橫梁的截面大體可分為矩形、T字型、圓形、工字型、空心矩形、凹型等截面，本實驗采用的是矩形、T字型、工字型、凹型截面進(jìn)行不同截面下橫梁的模態(tài)分析。其中T型、工字型、凹型截面橫梁均是在矩形截面的基礎(chǔ)上去除材料形成的，從而保證了尺寸的相似，增加了結(jié)果的可比性。其實體模型如圖1所示。

圖1 不同截面的橫梁模型

將建立好的橫梁模型導(dǎo)入Workbench中并對其進(jìn)行材料設(shè)置、網(wǎng)格劃分以及約束的施加，本例中橫梁選用的材料為結(jié)構(gòu)鋼，網(wǎng)格類型設(shè)置為六面體網(wǎng)格并在簡支梁兩端施加固定約束[6]，相比簡支梁，懸臂梁只需在梁的一端施加固定約束。由于模態(tài)分析的是結(jié)構(gòu)的振動特性，利用模態(tài)分析理論可以計算出結(jié)構(gòu)的自然頻率、振型以及振型參與系數(shù)，因此不需考慮模型本身的受力以及承載情況，只需施加適當(dāng)約束[7]。

3 模態(tài)分析

劃分好網(wǎng)格以及施加約束后的模型進(jìn)行模態(tài)分析，在Aalysis setting中的Max Mode to Find中的系數(shù)設(shè)置為8，即求解模型的前八階次模態(tài)獲得其自振頻率以及振型進(jìn)行對比分析[8]。通過Workbench軟件得到的不同截面簡支梁和懸臂梁在不同階次的自振頻率如表1、表2所示。

表1 不同截面簡支梁各階次自振頻率 Hz

表2 不同截面懸臂梁各階次自振頻率 Hz

為了使得表現(xiàn)更加直觀將表1、2轉(zhuǎn)換為折線圖進(jìn)行表示，如圖2、圖3所示。

圖2 不同截面簡支梁各階次自振頻率折線圖

圖3 不同截面懸臂梁各階次自振頻率折線圖

不同截面的簡支梁和懸臂梁的前4階振型如圖4和圖5所示。由表1、2以及圖4、5可以清晰地看到，在簡支梁前八階次自振頻率中T型截面的簡支梁的自振頻率都要低于其他截面的簡支梁，由式(7)可知當(dāng)剛度矩陣[K]增大時會導(dǎo)致自振頻率增加，質(zhì)量矩陣[M]增大時會導(dǎo)致自振頻率減小，由于T型簡支梁抗彎剛度及抗扭剛度較小，因此使得其自振頻率低于其他簡支梁，而矩形截面的簡支梁其抗彎及抗扭剛度要高于其他簡支梁，因此其個各階次自振頻率相對高于其他截面的簡支梁。凹型截面的簡支梁前3階次自振頻率與矩形截面簡支梁相差不多但高于工字梁以及T型梁，可以看出凹型梁的各項剛度要優(yōu)于T型簡支梁以及工字梁，工字梁的各階次自振頻率高于T型梁，可以看出質(zhì)量相同的情況下工字梁較T型簡支梁更加穩(wěn)固。

相對于簡支梁，不同截面的懸臂梁自振頻率折線圖與簡支梁有類似之處但同時也存在不同之處，類似之處在于前3階次自振頻率各截面懸臂梁之間比較接近，從第4階次自振頻率開始出現(xiàn)明顯的分化，矩形截面懸臂梁自振頻率開始明顯高于其他截面懸臂梁，其他截面自振頻率的比較對于簡支梁有類似結(jié)論，但是不同之處在于第八階次的自振頻率，除了T型截面之外，其他三個截面的懸臂梁自振頻率又幾近趨于相同，這一點相對于簡支梁來說是有所不同的。

相同截面的簡支梁與懸臂梁的各階次自振頻率也有很大差距，各階次懸臂梁的自振頻率都會遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于相同階次簡支梁的自振頻率。

由振型圖也可以得出類似的結(jié)論雖然各階次振型類似，但從其形變量可以看出矩形截面的橫梁變形量要小于其他截面的橫梁，凹型截面橫梁次之，工字梁的變形量要大于凹型橫梁但低于T型梁，因此矩形梁更為穩(wěn)固，T型橫梁的變形最大對材料的剛度要求較高。

對比相同截面的簡支梁與懸臂梁的振型圖，可以看出懸臂梁的變形幅度要小于簡支梁，簡支梁最大變形量主要集中在簡支中部，這會大大增加簡支梁的變形幅度，而懸臂梁最大變形量主要集中在懸臂一端，大大減小了其變形幅度，特別是對比第3階次與第4階次振型圖，懸臂梁穩(wěn)定性要明顯高于簡支梁。

圖5 不同截面的懸臂梁的前4階振型

4 結(jié)束語

(1)本文通過對不同截面的橫梁進(jìn)行建模并利用Workbench軟件對模型進(jìn)行有限元的模態(tài)分析得出不同截面橫梁模型的各階次自振頻率以及振型，并通過對比的方法對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

(2)通過對比不同截面橫梁的自振頻率以及振型及其變形量得出T型截面橫梁較其他簡支梁自振頻率最低，其各方面的剛度要低于其他截面的橫梁，但是同等條件下T型橫梁所用材料相比其他幾個簡支梁最小，具有更好的經(jīng)濟(jì)性；矩形橫梁的自振頻率較其他簡支梁最高，且其各方面剛度要優(yōu)于其他截面的橫梁，同等條件下其造價要高于其他簡支梁。

(3)通過對比相同條件下懸臂梁與簡支梁，得出懸臂梁各階次自振頻率要低于簡支梁，并從其振型圖可以看出，相同條件下懸臂梁的變形幅度要明顯低于懸臂梁，因此同等條件下懸臂梁的穩(wěn)定性要高于簡支梁。

[1] 劉春雷,戴素娟,劉春暉.關(guān)于懸臂梁橋與簡支梁橋中梁的內(nèi)力分析的對比[J].安徽建筑，2015,22(06):111-112

[2] 李世蕓,肖正明.彈性力學(xué)及有限元[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2015

[3] 傅志方,華宏星.模態(tài)分析理論與應(yīng)用[M].上海:上海交通大學(xué)出版社，2000

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[5] 李小珍,張志俊,劉全民.任意移動荷載列作用下簡支梁橋豎向振動響應(yīng)解析分析[J].振動與沖擊,2012,(20):137-142

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[7] 韓子偉,李浙昆,王治軍,等.刮板式煙?；爻睓C(jī)刮板軸的建模與仿真[J].機(jī)械制造，2016,54(02):24-25

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Modal analysis of beams with different cross sections based on Workbench

ZHENG Xin-hu, LI Zhe-kun, YANG Tao, BAI Yun-fei

(Faculty of Mechanical and Electrical Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500,China)

Based on the theory of modal analysis, the modal analysis of beams with different cross sections in Workbench environment is carried out. The performance of beams with different cross sections is obtained by comparing and analyzing the natural frequencies and modes of different orders. And compared with the different types of beams under the same cross section, the natural frequencies and vibration modes of different types of beams can be obtained under the same conditions. The designer knows more of the different beams of the natural frequency and the deformation of the trend through the analysis. It can be more conducive to reduce the resonance of the structure in designing. It can also improve the reliability and service life of the components.

Workbench；different section；beams；natural vibration frequency；vibration type

2016-12-22；

2017-01-23

國家自然科學(xué)基金資助項目(51168020)；紅云紅河集團(tuán)技術(shù)開發(fā)資助項目(2012GY08)

鄭新虎(1991-)，男，山東省人，碩士生，主要研究方向為數(shù)字化設(shè)計與制造。

李浙昆(1957-)，男，云南省人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計及控制技術(shù)、設(shè)備性能分析與評價等。

TP393

A

1001-196X(2017)03-0053-05