楊鵬，張海蓉

(1. 西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安 710123；2. 第四軍醫(yī)大學(xué)唐都醫(yī)院心血管內(nèi)科，陜西 西安 710038)

理賠相依風(fēng)險(xiǎn)模型下時(shí)間一致的均值-方差策略選擇

在通貨膨脹影響下，研究了一類理賠相依風(fēng)險(xiǎn)模型的，時(shí)間一致的最優(yōu)策略選擇問題。兩種理賠的相依性通過一個(gè)共同的泊松過程來體現(xiàn)。為了減小風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)人可以進(jìn)行再保險(xiǎn)；為了增加財(cái)富，保險(xiǎn)人可以在金融市場(chǎng)上進(jìn)行投資。進(jìn)行投資時(shí)，考慮了通貨膨脹的影響，通貨膨脹的影響是通過通貨膨脹率對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)折算實(shí)現(xiàn)的。研究的目標(biāo)是：保險(xiǎn)人選擇時(shí)間一致的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略，最大化終止時(shí)刻財(cái)富的均值，同時(shí)最小化終止時(shí)刻財(cái)富的方差。因?yàn)樵搯栴}是時(shí)間不一致的，從博弈論的視角對(duì)問題進(jìn)行了求解。應(yīng)用Hamilton-Jacobi-Bellman動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法，得到了時(shí)間一致的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略和相應(yīng)值函數(shù)的顯式解。最后通過數(shù)值計(jì)算，解釋了一些保險(xiǎn)市場(chǎng)模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略影響，以及金融市場(chǎng)模型參數(shù)和通貨膨脹模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響。通過研究，可以指導(dǎo)投資者在通貨膨脹的影響下進(jìn)行合理投資，使自身財(cái)富最大而風(fēng)險(xiǎn)最小。

通貨膨脹；均值-方差準(zhǔn)則；再保險(xiǎn)-投資；理賠相依；時(shí)間一致

諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獲得者M(jìn)arkowitz在20世紀(jì)50年代，給出了著名的均值-方差投資策略選擇問題。Markowitz均值-方差投資策略選擇是用均值代表收益，方差代表風(fēng)險(xiǎn)，該問題的研究目標(biāo)是：求得最優(yōu)的策略使終止時(shí)刻財(cái)富的均值最大且方差最小。如今，很多學(xué)者在方法和金融模型上推廣了均值-方差策略選擇問題。文獻(xiàn)[1]給出了利用線性二次控制理論，研究均值-方差策略選擇問題的方法。文獻(xiàn)[2]研究了帶轉(zhuǎn)移機(jī)制的均值-方差策略選擇問題。文獻(xiàn)[3]在保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型中，研究了均值-方差策略選擇問題。文獻(xiàn)[4]研究了風(fēng)險(xiǎn)相依模型的均值-方差策略選擇問題。文獻(xiàn)[5]在資產(chǎn)負(fù)債管理，中研究了均值-方差策略選擇問題。

在現(xiàn)實(shí)中很多情況下要求，一個(gè)策略在最初時(shí)刻最優(yōu)，那么在之后的時(shí)刻也是最優(yōu)的。在這樣一種意義下，上面提到的策略是時(shí)間不一致策略。今天的偏好和明天的偏好可能不同，但是在很多情況下策略一致是一個(gè)基本的要求。Strotz在20世紀(jì)50年代首次提出時(shí)間一致性策略選擇問題，他指出時(shí)間的不一致性可以通過事先占優(yōu)(pre-commitment)的策略解決。Bj?rk等在文獻(xiàn)[6]中研究了馬氏調(diào)制以及一般目標(biāo)函數(shù)下，時(shí)間一致的策略選擇問題。他們的求解方法是，通過尋找Nash平衡策略得到時(shí)間一致的策略。沿著文獻(xiàn)[6]的方法，最近有很多學(xué)者研究時(shí)間一致的策略選擇問題。文獻(xiàn)[7]研究了經(jīng)典保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型在均值-方差準(zhǔn)則下，時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略選擇。文獻(xiàn)[8]在金融市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格滿足Heston模型下，研究了時(shí)間一致的均值-方差策略選擇問題。文獻(xiàn)[9]把金融市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)滿足的價(jià)格方程推廣到CEV模型，也研究了時(shí)間一致的均值-方差策略選擇問題。還有很多文獻(xiàn)研究時(shí)間一致的策略選擇問題，這里不再一一列舉。

改革開放以來，中國經(jīng)濟(jì)得到了快速的發(fā)展。從2009年開始，中國的GDP總量已經(jīng)躍居世界第2位。經(jīng)濟(jì)發(fā)展了，一方面國民的收入有了很大的提升，另一方面，通貨膨脹也越來越突出。最近有一些學(xué)者開始關(guān)注，通貨膨脹影響下的投資策略選擇。文獻(xiàn)[10]在通貨膨脹影響下，研究了時(shí)間一致的均值-方差再保險(xiǎn)-投資策略選擇。文獻(xiàn)[11]在通貨膨脹影響下，研究了DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題。文獻(xiàn)[12]在通貨膨脹影響下，研究了最優(yōu)消費(fèi)-投資問題。目前，在通貨膨脹影響下研究策略選擇問題的文獻(xiàn)還不多。

本文在通貨膨脹影響下，研究了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略選擇。本文在保險(xiǎn)市場(chǎng)中涉及到兩種理賠業(yè)務(wù)，這兩種理賠業(yè)務(wù)具有相依性。這種理賠業(yè)務(wù)的相依性，與文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]類似。文獻(xiàn)[13]在理賠相依風(fēng)險(xiǎn)模型中，研究了最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)超額損失再保險(xiǎn)。文獻(xiàn)[14]在理賠相依風(fēng)險(xiǎn)模型中，研究了最大化期望指數(shù)效用的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)。本文在通貨膨脹影響下，研究了理賠相依風(fēng)險(xiǎn)模型的，時(shí)間一致的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略選擇問題。使用文獻(xiàn)[6]中介紹的動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法，從博弈論的角度，得到了最優(yōu)時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略。分析了通貨膨脹因素以及其它一些模型參數(shù)對(duì)再保險(xiǎn)、投資的影響。本文的主要貢獻(xiàn)有以下3點(diǎn)：① 在理賠相依風(fēng)險(xiǎn)模型中，考慮了通貨膨脹的影響。文獻(xiàn)[13-14]沒有考慮通貨膨脹影響。② 通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法，研究了時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略。文獻(xiàn)[13-14]的再保險(xiǎn)-投資策略是時(shí)間不一致的。③ 分析了一些模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略的影響。特別是，分析了通貨膨脹因素對(duì)投資策略的影響。

1 數(shù)理模型

本節(jié)介紹文中用到的連續(xù)時(shí)間保險(xiǎn)-金融數(shù)理模型。文中的N1(t)，N2(t)和N(t)是3個(gè)相互獨(dú)立的齊次泊松過程，它們的強(qiáng)度分別是是一個(gè)完備的、帶流的概率空間，這里P是一個(gè)實(shí)值概率，流概率空間是滿足通常條件的(也就是關(guān)于F是右連續(xù)的，關(guān)于P是完備的)，T是投資的終止時(shí)刻，滿足T<∞。假設(shè)，概率空間包含下文中提到的所有隨機(jī)變量和隨機(jī)過程。在金融市場(chǎng)上進(jìn)行投資時(shí)，不考慮交易費(fèi)用和稅收，所有資產(chǎn)都是無窮可分的，允許連續(xù)交易。下面首先給出再保險(xiǎn)模型，然后給出金融市場(chǎng)模型，最后給出財(cái)富過程模型。

1.1 再保險(xiǎn)模型

(1)

保險(xiǎn)公司為了減少風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)常進(jìn)行再保險(xiǎn)，常見的再保險(xiǎn)有比例再保險(xiǎn)和超額損失再保險(xiǎn)。本文研究的再保險(xiǎn)方式是比例再保險(xiǎn)，再保險(xiǎn)水平為1-q1(t)和1-q2(t)，這里q1(t),q2(t)稱為保險(xiǎn)公司的自留額。當(dāng)0≤q1(t)≤1，0≤q2(t)≤1時(shí)表示保險(xiǎn)公司采取了再保險(xiǎn)；當(dāng)q1(t)>1，q2(t)>1表示保險(xiǎn)公司購買了新業(yè)務(wù)。設(shè)θ為再保險(xiǎn)公司的安全負(fù)載，再保險(xiǎn)的保費(fèi)按照期望值原理計(jì)算，因此再保險(xiǎn)得保費(fèi)為

(2)

這里

采取比例再保險(xiǎn)后，保險(xiǎn)公司的盈余Xq1,q2t變?yōu)?/p>

(3)

1.2 金融市場(chǎng)模型

最近，有一些學(xué)者研究通貨膨脹對(duì)投資的影響。因此，本文也考慮了通貨膨脹對(duì)投資的影響。與文獻(xiàn)[15]類似，假設(shè)通貨膨脹率是隨機(jī)的，時(shí)刻t的價(jià)格為L(t)滿足如下的隨機(jī)微分方程:

(4)

其中υ,η為常數(shù)分別表示通貨膨脹率的預(yù)期增長率和預(yù)期波動(dòng)率，W2(t)是一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。因?yàn)楸疚目紤]通貨膨脹對(duì)投資的影響，因此W1(t)和W2(t)應(yīng)該具有相關(guān)關(guān)系，設(shè)它們的相關(guān)系數(shù)為ρ。 投資中考慮通貨膨脹的影響方式有很多，具體可以參考文獻(xiàn)[10-12]等。這里，我們采用下面的方式考慮通貨膨脹對(duì)投資的影響：先考慮通貨膨脹對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行折算，折算后的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)作為新的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；然后，讓投資者在折算后的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上進(jìn)行投資。文獻(xiàn)[15]也采取了類似的方法。設(shè)折算后風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格為P1(t)=P(t)/L(t)，對(duì)P1(t)=P(t)/L(t)應(yīng)用It得到P1(t)滿足如下的隨機(jī)微分方程

(5)

1.3 財(cái)富過程模型

以上面的再保險(xiǎn)模型和金融市場(chǎng)模型為基礎(chǔ)，本小節(jié)給出財(cái)富過程模型。設(shè)u(t)為時(shí)刻t在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的金額，則在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的金額為Xπt-u(t)。這里Xπt為進(jìn)行投資和再保險(xiǎn)后保險(xiǎn)公司的財(cái)富，π(t)=(q1(t),q2(t),u(t))。在任意時(shí)刻t，選擇π(t)為控制變量，則考慮再保險(xiǎn)和投資后，財(cái)富過程滿足下面的隨機(jī)微分方程

即

(6)

定義1 再保險(xiǎn)-投資策略π(t)=(q1(t),q2(t),u(t))稱為可行的，如果滿足下列條件：

(i)q1(t),q2(t)和u(t)是關(guān)于F循序可測(cè)的，且它們是右連續(xù)左極限存在；

(iv) 隨機(jī)微分方程(6)對(duì)于策略π(t)有唯一的強(qiáng)解。

所有可行的保險(xiǎn)-投資策略記為Π。

2 時(shí)間一致的策略選擇問題

在最優(yōu)投資以及最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資問題中，很多學(xué)者研究如下的最優(yōu)化問題

(7)

本文研究時(shí)間一致策略選擇問題。時(shí)間一致的策略滿足下面3個(gè)條件：

(i) 對(duì)于時(shí)間點(diǎn)t，選擇了最優(yōu)策略π；

(ii) 假設(shè)對(duì)于時(shí)間點(diǎn)t之后的任意時(shí)間點(diǎn)s，選擇了策略π；

(iii) 則對(duì)于投資者來說，在時(shí)間點(diǎn)s策略π是他的最優(yōu)選擇。

可見，投資者在時(shí)刻s選擇策略π，則在之后的時(shí)間仍然選擇策略π，且策略π是投資者的最優(yōu)選擇。在現(xiàn)實(shí)投資活動(dòng)中，今天的偏好和明天的偏好可能不同，但是在很多情況下策略一致是一個(gè)基本的要求。因此需要研究當(dāng)目標(biāo)函數(shù)隨著時(shí)間改變時(shí)的最優(yōu)問題，得到時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略，對(duì)投資有很大的指導(dǎo)意義。和文獻(xiàn)[9]等文獻(xiàn)相似的，我們定義如下的目標(biāo)函數(shù)

(8)

這里

為常數(shù)，表示保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。文獻(xiàn)[9]指出時(shí)間一致的策略恰好等于平衡策略；通常的最優(yōu)值函數(shù)等于平衡值函數(shù)。接下來，平衡策略π*和平衡值函數(shù)，我們就稱之為最優(yōu)時(shí)間一致的策略和最優(yōu)值函數(shù)。最后給出時(shí)間一致策略(平衡策略)的嚴(yán)格定義。

則π*(t,x)稱為時(shí)間一致策略(平衡策略)，相應(yīng)的平衡值函數(shù)為V(t,x)=V(t,x,π*)。

3 驗(yàn)證定理和時(shí)間一致策略的求解

本節(jié)求解時(shí)間一致的再保險(xiǎn)-投資策略和最優(yōu)的值函數(shù)。先定義一個(gè)微分算子。對(duì)于任意的策略π∈Π，任意的函數(shù)φ(t,x)∈C1,2([0,T]×R)，微分算子定義如下

(9)

這里

分別表示φ(t,x)關(guān)于t的一階偏導(dǎo)數(shù)，和關(guān)于x的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)。

下面給出驗(yàn)證定理。

定理1(驗(yàn)證定理) 設(shè)F(t,x)，G(t,x)和H(t,x)定義在[0,T]×R上，它們關(guān)于t連續(xù)且可微，關(guān)于x二階連續(xù)且可微。如果F，G和H滿足下面的方程

和

則

(13)

π*(t)為時(shí)間一致的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略。

證明 本定理的證明是標(biāo)準(zhǔn)的，可參考文獻(xiàn)[6]。

下面通過定理1，得到最優(yōu)的時(shí)間一致再保險(xiǎn)-投資策略，以及最優(yōu)值函數(shù)的顯式解。為了后面書寫方面，首先定義一些記號(hào)。

為了證明下面的定理2，給出如下的引理1。

引理1 設(shè)A(q1,q2)滿足下式

(18)

定理2對(duì)于財(cái)富過程(6)，最優(yōu)的時(shí)間一致的投資策略為

最優(yōu)的時(shí)間一致的再保險(xiǎn)策略為

最優(yōu)值函數(shù)為

在最優(yōu)策略和終止時(shí)刻T下，財(cái)富過程的方差為

這里B(t)和n(t)分別滿足(37)式和(38)式。

證明 本定理的證明分成2步。第1步，證明最優(yōu)值函數(shù)滿足(21)式。這里使用的方法如下：和文獻(xiàn)[9]類似的，構(gòu)造F(t,x)和G(t,x)分別滿足下面的(25)式和(26)式，然后把F(t,x)和G(t,x)的表達(dá)式代入(9)式和(10)式，并結(jié)合引理1則可完成第1步證明；第2步，證明最優(yōu)的時(shí)間一致的投資策略滿足(19)式，最優(yōu)的時(shí)間一致的再保險(xiǎn)策略滿足(20)式。

第1步和文獻(xiàn)[9]類似的，根據(jù)(8)式和定理1，可以容易得到下式

上式變形，得

結(jié)合微分算子(9)式和(23)式，下面給出(10)式更明確的形式，如下

綜合考慮盈余過程的結(jié)構(gòu)和邊界條件F(T,x)=x和G(T,x)=x，和文獻(xiàn)[9]類似的，構(gòu)造F(t,x)和G(t,x)的形式如下

對(duì)F(t,x),G(t,x)分別求偏導(dǎo)數(shù)，得到

把F(t,x),G(t,x)的表達(dá)式和(23)式，以及上面的各偏導(dǎo)數(shù)，代入(24)式化簡后得

其中A(q1,q2)滿足(18)式，B(u)定義如下

令兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為0，得到

B(u)求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0得到：

根據(jù)(30)式，可以得到

根據(jù)(33)式，可以得到

先求解(31)式和(34)式，得到

(36)式分別代入(32)式和(35)式，得到

所以最優(yōu)值函數(shù)F(t,x)為

財(cái)富過程的方差為

第2步(36)式代入(29)式，可得(20)式；由于(1)式的限制，所以q*1(t)>0,q*2(t)>0。因此q*1(t),q*2(t)為最優(yōu)策略。由(36)式有

4 數(shù)值計(jì)算

這一節(jié)通過一些數(shù)值計(jì)算，分析一些模型參數(shù)改變時(shí)對(duì)最優(yōu)投資策略、最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響。同時(shí)，分析通貨膨脹因素對(duì)投資的影響。

4.1 最優(yōu)投資策略

4.1.1 通貨膨脹因素對(duì)最優(yōu)投資策略的影響 先分析通貨膨脹因素對(duì)最優(yōu)投資策略的影響。根據(jù)(4)式，通貨膨脹率價(jià)格L(t)滿足的隨機(jī)微分方程中，含有2個(gè)參數(shù)υ和η。金融市場(chǎng)和通貨膨脹，通過相關(guān)系數(shù)ρ聯(lián)系在一起。下面我們就通過3個(gè)例子分析通貨膨脹參數(shù)υ，η和ρ對(duì)最優(yōu)投資策略的影響。

圖1 υ對(duì)最優(yōu)投資策略的影響Fig.1 Effect ofυon the optimal investment strategy

從圖1可以看到，最優(yōu)投資策略是關(guān)于υ單調(diào)遞減的函數(shù)。υ表示通貨膨脹率的預(yù)期增長率，隨著通貨膨脹率的預(yù)期增長率的增大，投資者會(huì)把更多的資金投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，以此增加財(cái)富。

例2 設(shè)μ=0.05,υ=0.02,ρ=0.1,σ=0.2,r=0.02,T=10,t=5,γ=0.1,η∈[0.1, 0.5]。根據(jù)(19)式計(jì)算最優(yōu)投資策略u(píng)*(t)，圖2給出了η對(duì)投資策略u(píng)*(t)的影響。

圖2 η對(duì)最優(yōu)投資策略的影響Fig.2 Effect ofηon the optimal investment strategy

從圖2可以看到，最優(yōu)投資策略是關(guān)于η單調(diào)遞增的函數(shù)。η表示通貨膨脹率的波動(dòng)率，隨著通貨膨脹率的波動(dòng)率的增加，投資者會(huì)把更多的資金投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上。

例3 設(shè)μ=0.05,υ=0.02,r=0.02,σ=0.2,T=10,t=5,γ=0.1,η=0.2,ρ∈[-0.5, 0.5]。根據(jù)(19)式計(jì)算最優(yōu)投資策略u(píng)*(t)，圖3給出了ρ對(duì)投資策略u(píng)*(t)的影響。

圖3 ρ對(duì)最優(yōu)投資策略的影響Fig.3 Effect ofρon the optimal investment strategy

從圖3可以看到，最優(yōu)投資策略是關(guān)于ρ單調(diào)遞增的函數(shù)。ρ表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和通貨膨脹之間的相關(guān)系數(shù)，隨著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和通貨膨脹之間的相關(guān)系增大，投資者會(huì)把更多的資金投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，以此來對(duì)沖通貨膨脹帶來的資金貶值。

4.1.2 其它參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響 下面分析金融市場(chǎng)其它參數(shù)對(duì)最優(yōu)投資策略的影響。

圖4 r對(duì)最優(yōu)投資策略的影響Fig.4 Effect of ron the optimal investment strategy

從圖4可以看到，最優(yōu)投資策略是關(guān)于r單調(diào)遞減的函數(shù)。r表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率，隨著r的增大，投資者會(huì)把更多的資金投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而不會(huì)冒風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行投資。

從圖5可以看到，最優(yōu)投資策略是關(guān)于σ單調(diào)遞減的函數(shù)。σ表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率，隨著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率增大，在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的不確定因素增大。因此保險(xiǎn)人會(huì)減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的金額。

圖5 σ對(duì)最優(yōu)投資策略的影響Fig.5 Effect ofσon the optimal investment strategy

圖6 γ對(duì)最優(yōu)投資策略的影響Fig.6 Effect ofγon the optimal investment strategy

從圖6可以看到，最優(yōu)投資策略是關(guān)于γ單調(diào)遞減的函數(shù)。γ表示保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)，隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)的增大，保險(xiǎn)人會(huì)減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的金額。

圖7 t對(duì)最優(yōu)投資策略的影響Fig.7 Effect of ton the optimal investment strategy

從圖7可以看到，最優(yōu)投資策略是關(guān)于t單調(diào)遞增的函數(shù)。這表明，在投資的終止時(shí)刻快來臨時(shí)，保險(xiǎn)人為了增加收入會(huì)把更多的資金投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上。

圖8 μ對(duì)最優(yōu)投資策略的影響Fig.8 Effect ofμon the optimal investment strategy

從圖8可以看到，最優(yōu)投資策略是關(guān)于μ單調(diào)遞增的函數(shù)。μ表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率，隨著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益增大，保險(xiǎn)人在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資將獲得更大的收益。因此保險(xiǎn)人會(huì)增加在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的金額。

4.2 最優(yōu)再保險(xiǎn)策略

本小節(jié)分析一些模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響。

(20)式關(guān)于r求偏導(dǎo)數(shù)，得到

可見最優(yōu)再保險(xiǎn)策略是關(guān)于r單調(diào)遞減的函數(shù)。這是因?yàn)?，r是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率，隨著r的增大，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收入將增大，因此保險(xiǎn)人從投資中獲得更大的收入。因此，為了減少自身所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)人會(huì)減少自身的保留額，把更多風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移到再保險(xiǎn)者。

(20)式關(guān)于t求偏導(dǎo)數(shù)，得到

可見最優(yōu)再保險(xiǎn)策略是關(guān)于t單調(diào)遞增的函數(shù)。這說明，隨著投資終止時(shí)刻的來臨，保險(xiǎn)人會(huì)保留更多的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)。

最優(yōu)再保險(xiǎn)策略q*1(t),q*2(t)中都含有λ1,λ2,λ以及兩種理賠額的一階、二階矩，這說明了兩種保險(xiǎn)業(yè)務(wù)之間的相依性。下面討論相依性對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響。假設(shè)兩種保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的理賠額的分布為別為

從圖9可以看出，最優(yōu)再保險(xiǎn)策略是關(guān)于參數(shù)λ和λ2單調(diào)遞減的函數(shù)，最優(yōu)再保險(xiǎn)策略是關(guān)于λ1單調(diào)遞增的函數(shù)。這里λ,λ1和λ2代表期望理賠次數(shù)。隨著期望理賠次數(shù)的增加，在兩種相關(guān)的理賠業(yè)務(wù)中，保險(xiǎn)人采取的再保險(xiǎn)策略相反。圖9中最優(yōu)再保險(xiǎn)策略q*2>1，表示保險(xiǎn)公司采取了新的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)。

圖9 λi對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響
Fig.9 Effect ofλion the optimal reinsurance strategy

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Time-consistentmean-variancestrategyselectionforclaimsdependentriskmodel

YANGPeng1，ZHANGHairong2

(1.SchoolofScience,XijingUniversity,Xi’an710123,China;2.DepartmentofCardiology,TangduHospitalofFourthMilitaryMedicalUniversity,Xi’an710038,China)

Under inflation influence, an optimal time-consistent strategy selection problem for claims dependent risk model is studied. The two claim number processes are correlated by a common Poisson process. The insurer can purchase reinsurance for reducing claims and invest its surplus in finance market for increasing wealth. In the process of investment, the effect of inflation is taken into account, and the effect of inflation is achieved through the conversion of the risk asset to the inflation rate. The objective of the insurer is to choose an optimal time-consistent reinsurance-investment strategy so as to maximize the expected terminal surplus while minimizing the variance of the terminal surplus. Since this problem is time-inconsistent, it is studied by placing the problem within a game theoretic framework. Applying Hamilton-Jacobi-Bellman dynamic programming approach, closed form solutions for the optimal reinsurance-investment strategy and the corresponding value functions are obtained. Finally, the influence of some insurance market model parameters on optimal reinsurance strategy is explained by numerical calculation, and the influence of financial market model parameters and inflation model parameters on optimal investment strategy are also given. Through this study, it can guide investors to make reasonable investment under the influence of inflation, so that their wealth is the largest and the smallest risk.

inflation; mean-variance criterion; reinsurance-investment; claims dependent; time-consistent

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.04.006

2016-05-06 基金項(xiàng)目：西京學(xué)院院科研基金(XJ160144)；陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目(15JK2183)

楊鵬(1983年生), 男；研究方向：數(shù)理金融、保險(xiǎn)精算；E-mail:yangpeng511@163.com

楊鵬1，張海蓉2

(1. 西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安 710123；2. 第四軍醫(yī)大學(xué)唐都醫(yī)院心血管內(nèi)科，陜西 西安 710038)

O

A

0529-6579(2017)04-0028-10