毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

基于一種新型趨近律的分?jǐn)?shù)階Duffling不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步

毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州 450015)

基于一種新型趨近律研究了分?jǐn)?shù)階不確定Duffling系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步控制問(wèn)題，利用自適應(yīng)滑模方法設(shè)計(jì)了滑模函數(shù)和控制器，得到了主從系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑?；煦缤降某浞謼l件。結(jié)果表明：選取適當(dāng)?shù)目刂破饕约盎：瘮?shù)下，主從系統(tǒng)取得滑?；煦缤?，給出了嚴(yán)格的推理過(guò)程和數(shù)學(xué)證明，最后仿真算例表明該方法有效。

分?jǐn)?shù)階Duffling系統(tǒng)； 自適應(yīng)滑模；混沌同步

Mandelbrot曾指出在自然界中存在著大量的分?jǐn)?shù)維[1-2]，采用分?jǐn)?shù)階對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模能更好的揭示對(duì)象的行為和本質(zhì)。1995年，Oustaloup并設(shè)計(jì)了第一代分?jǐn)?shù)階控制器，研究和對(duì)比分析表明分?jǐn)?shù)階控制器有更好的魯棒性等優(yōu)點(diǎn)。分?jǐn)?shù)階滑模結(jié)合了分?jǐn)?shù)階微積分和滑?？刂频碾p重優(yōu)點(diǎn)，成為非線性控制的重要方法，并在各個(gè)領(lǐng)域也得到了廣泛應(yīng)用[3-9]。文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階不確定動(dòng)力系統(tǒng)的終端滑模控制問(wèn)題，文獻(xiàn)[11]研究了一類(lèi)不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模終端混沌同步控制問(wèn)題。本文基于一種新型趨近律研究了分?jǐn)?shù)階不確定Duffling系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步控制問(wèn)題， 得到了主從系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模混沌同步的充分條件。結(jié)果表明：選取適當(dāng)?shù)目刂破饕约盎：瘮?shù)下，主從系同能取得滑?；煦缤?。仿真算例表明該方法有效。

1 滑模趨近律的設(shè)計(jì)

利用新型冪次函數(shù)fal(x,β,δ)[12]設(shè)計(jì)趨近律，函數(shù)定義如下：

(1)

其中β>0，表示冪次函數(shù)的指數(shù)，0<δ<1,δ為fal(x,β,δ)在原點(diǎn)附近正負(fù)對(duì)稱線段的區(qū)間長(zhǎng)度，由定義1可知，當(dāng)x的絕對(duì)值小于設(shè)定的δ時(shí)，x的增益δβ-1較大，反之，增益較小。本文設(shè)計(jì)如下新型滑模趨近律：

(2)

2 系統(tǒng)描述與預(yù)備知識(shí)

定義1Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為[13]

n-1<α

考慮分?jǐn)?shù)階Duffling混沌系統(tǒng)：

(3)

式中，a,b,c均為系統(tǒng)參數(shù)，ω表示余弦函數(shù)的頻率幅值。當(dāng)a=-1，b=0.25,c=0.5,α=0.873時(shí)出現(xiàn)混沌吸引子。以上述系統(tǒng)作為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為如下系統(tǒng)：

(4)

(5)

假設(shè)

為正常數(shù)。

說(shuō)明 雙曲正弦函數(shù)的反函數(shù)為

引理1 對(duì)任意的x均有，函數(shù)

以下分情況討論：x≥0時(shí)，h(x)≥0顯然成立。

當(dāng)x<0時(shí)，

h′(x)<0

由函數(shù)的單調(diào)性不難得到在(-∞,0]上h(x)遞減，從而

h(x)>h(0)=0

3 主要結(jié)果

定理1 在假設(shè)1下，設(shè)計(jì)控制器

由于

從而根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論，不難得到

Δf(y)+d(t)+u(t)]+

-εs·fal(s,β,δ)-ks·arsh(s)+g(t)s≤

因ε>0,k>0,s≠0時(shí)，由函數(shù)fal(s,β,δ)和引理1不難得到，εsfal(s,β,δ)>0,并且ksarsh(s)>0，函數(shù)fal(s,β,δ)對(duì)自變量s有顯著放大作用，

作為分?jǐn)?shù)階Duffling系統(tǒng)的特例，以下考慮整數(shù)階Duffling混沌系統(tǒng)：

(6)

以上述系統(tǒng)作為主系統(tǒng)，設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為如下系統(tǒng)：

(7)

(8)

因此不難將定理1在特殊情形下的結(jié)論平推，得到如下推論：

推論1 在假設(shè)1下，設(shè)計(jì)控制器

上式求導(dǎo)得到：

Δf(y) +d(t) +u(t)] +

-εs·fal(s,β,δ)-ks·arsh(s)+g(t)s≤

以下證明部分同定理1，略。

4 數(shù)值仿真

利用龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真，系統(tǒng)參數(shù)

a=-1,b=0.25,c=0.5,ω=1,α=0.873

定理1中選取

Δf=-0.05siny1,d(t)=0.2cost,

β=0.5,δ=0.02,γ=15,ε=15

系統(tǒng)初始值設(shè)置為：

(x1(0),x2(0))=(0.1,0.2),

(y1(0),y2(0))=(0.5,-0.6)，

圖1 定理1中系統(tǒng)的誤差曲線Fig.1 The systems errors of theorem1

5 結(jié) 論

文中基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階微積分利用自適應(yīng)滑模方法研究了分?jǐn)?shù)階Duffling系統(tǒng)的一種新型趨近律的自適應(yīng)滑模同步問(wèn)題，研究表明：設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)幕：瘮?shù)和控制器可以實(shí)現(xiàn)主從系統(tǒng)滑?；煦缤健Ｍ瑫r(shí)，仿真算例也表明了方法的有效性.

[1]MANDELBROTBB,vanNESSJW.FractionalBrownianmotions,fractionalnoisesandapplications[J].SiamReview,1968,10(4):422-437.

[2]MANDELBROTBB,Thefractalgeometryofnature[M].NewYork:W.H.Freeman&CoLtd,1974.

[3]SHAHIRIM,GHADRIR,RANJBARN,etal.Chaoticfractional-ordercoulletsystem:synchronizationandcontrolapproach[J].CommunNonlinearSciNumericalSimulation, 2010,15(3):665-674.

[4]HAMAMCISE,KOLKSALM.Calculationofallstabilizingfractional-orderPDcontrollersforintegratingtimedelaysystems[J].ComputationMathematicsApplication,2010,15(4):1267-1278.

[5]MATOUKA.Chaosfeedbackandsynchronizationoffractional-ordermodifiedautonomousVanderpol-Dufflingcircuit[J].CommunNonlinearSciNumericalSimulation,2011,16(2):975-986.

[6] 丁金鳳，張毅． 基于按指數(shù)律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的El-Nabulsi-Pfaff變分問(wèn)題的Noether對(duì)稱性[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,54(6):150-154.

DINGJinfeng,ZHANGYi.NeothersymmetriesforEl-Nabulsi-Pfaffvariationalproblemforextendedexponentialfractionalintegral[J].ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisSunyatseni,2014,53(6):150-154.

[7]MOHADESZADEHM,DELAVARIH.Synchro-nizationoffractionalorderhyper-chaoticsystemsbasedonanewadaptiveslidingmodecontrol[J].IntJDynamControl,2015,10(7):435-446.

[8]DELAVARIH,GHADERIR，RANJBARA,etal.Fuzzyfractionalorderslidingmodecontrollerfornonlinearsystems[J].CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation, 2010, 15 (4):963-978.

[9] 毛北行, 李巧利. 一類(lèi)分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的滑?；煦缤絒J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,56(2):76-79.MAOBeixing,LIQiaoli.SlingmodechaossynchronizationofaclassoffractionalorderGenesio-Tesisystems[J].ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisSunyatseni,2017,56(2)：76-79.

[10]DADRASS,MOMENIHR.Fractionalterminalslidingmodecontroldesignforaclassofdynamicalsystemswithuncertainty[J].CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation, 2012,17(1):367-377.

[11] 徐瑞萍，高明美. 自適應(yīng)終端滑?？刂撇淮_定混沌系統(tǒng)的同步[J].控制工程，2016,23(5)：715-719.XURuiping，GAOMingmei.Synchronizationofchaoticsusyemswithuncertaintyusingadaptiveterminalslidingmodecontroller[J].ControlEngineeringofChina, 2016, 23(5)：715-719.

[12] 周濤. 基于一種新型趨近律的自適應(yīng)滑?？刂芠J]. 控制與決策，2016，31(7)：1335-1338.ZHOUTao.Adaptiveslidingcontrolbasedonanewreachinglaw[J].ControlandDecision,2016, 31(7): 1335-1338.

[13]PODLUBNY.Fractionaldifferentialequation[M].SanDiego,CA,USA:AcademicPress, 1999:715-719.

[14] 梅生偉，申鐵龍，劉志康.現(xiàn)代魯棒控制理論與應(yīng)用[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2003.

Self-adaptive sliding mode synchronization of fractional-order uncertainty Duffling systems based on a new reaching law

MAO Beixing

(College of Science, Zhengzhou University of Aeronautics, Zhengzhou 450015, China)

The problem of self-adaptive sliding mode chaos synchronization of fractional-order uncertainty duffling systems based on a new reaching law is studied in the paper. The sliding mode functions and controllers are given out using self-adaptive sliding mode approach and got the sufficient conditions for the master-slave systems getting sliding mode synchronization . It is proved that master-slave systems are sliding model chaos synchronization under proper controllers and sliding mode surface. The strict deduce and proof in mathematics are given out in the paper. Numerical simulations examples of chaotic system verify the effectiveness of the proposed method.

fractional-order Duffling systems; self-adaptive sliding mode ;chaos synchronization

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.04.011

2017-03-11 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)青年基金(NSFC11501525)；河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目(2013GGJS-142)

毛北行 (1976年生)，男；研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與混沌同步；E-mail：bxmao329@163.com

O482.4

A

0529-6579(2017)04-0064-04