劉相

（遼東學院城市建設學院，遼寧丹東118003）

【建筑與規(guī)劃】

混凝土矩形截面梁經濟配筋率與造價探討分析

劉相

（遼東學院城市建設學院，遼寧丹東118003）

文章以鋼筋混凝土單筋矩形截面梁為研究對象，在考慮材料價格的基礎上以其單位長度的最低造價為目標函數。采用基于應變協調條件和鋼筋混凝土梁正截面承載力的計算方法，利用拉格朗日函數推導出了經濟配筋率的合理表達式。并在推導出的經濟配筋率表達式的基礎上，通過其在滿足相應鋼筋級別和混凝土強度等級所對應的最大與最小配筋率范圍的約束條件下，給出了存在經濟配筋率的前提下相應的鋼筋價格與混凝土價格比值的范圍，并且通過算例的計算分析來驗證了文章提出的方法，可供工程人員參考。

鋼筋混凝土梁；經濟配筋率；拉格朗日函數；鋼筋價格；混凝土價格

混凝土梁等受彎構件在結構工程中的應用相當普遍，并且占工程結構的比重也很大，其截面尺寸與配筋設計的合理與否對其結構造價的影響起到至關重要的作用。在選擇截面時，除應當滿足剛度要求外，適筋條件又顯得非常重要。往往在實際工程中截面尺寸的選用只要滿足ρmin≤ρ≤ρmax即可，這樣配筋即使?jié)M足承載力等要求也有可能造成不必要的浪費，所以如何確定合理的截面尺寸即確定一個合適的配筋率使其總造價最經濟就顯得尤為重要。但經濟配筋率是一個比較復雜問題，涉及很多因素比如結構形式、材料單價、施工條件等[2]。一般梁的經濟配筋率約為0.6%~1.5%，當ρ在經濟配筋率附近變動時對總造價影響不是很敏感，國內外相關的研究成果也不多[6]。本文采用以應變協調條件和混凝土梁正截面承載力計算方法為基礎，運用高等數學中條件極值的知識在考慮材料價格等因素的條件下從Ps/Pc比值范圍的角度去確定是否存在經濟配筋率，即把材料價格引入配筋率中，更加符合工程實際。實際工程中即使浪費很小，積少成多可能對國家所造成的經濟損失也是很大的，在勤儉節(jié)約的背景下，對研究鋼筋混凝土梁的經濟配筋率與造價分析的問題也是必要的。

1 經濟配筋率ρE的確定

1.1 基本假定

⑴鋼筋混凝土梁符合平截面假定；

⑵不考慮混凝土的抗拉強度，全部拉力由縱向受拉鋼筋承擔；

⑶混凝土受壓時應力和應變成正比，鋼筋受拉時應力和應變成正比；

⑷不考慮國民經濟發(fā)展、施工條件等客觀因素；

1.2 基本公式

由單筋矩形截面梁的應力應變簡圖可得相關計算公式：

式中[1]：M——彎矩設計值，kN·m；

fc——混凝土軸心抗壓強度設計值，N/mm2；

fy——普通鋼筋抗拉強度設計值，N/mm2；

As——受拉區(qū)縱向鋼筋面積，mm2；

b——矩形截面的寬度；

h0——截面有效高度，h0=h-α；

α1——矩形應力圖的應力與軸心受壓強度設計值fc比值，當混凝土強度等級不超過C50時，α1取為1.0；

β——計算受壓高度與實際受壓高度的比值，當混凝土強度等級不超過C50時，β取為0.8；

Es——鋼筋的彈性模量，×105N/mm2；

Ec——混凝土的彈性模量，×104N/mm2；

1.3 設計變量

在實際工程中，鋼筋混凝土梁的配筋率沒有考慮材料價格這一重要因素，其設計結果并不能保證設計費用最低，即不是相對最優(yōu)方案。從工程實際應用出發(fā)，把材料價格引入了鋼筋混凝土梁的配筋率中，即經濟配筋率。經濟配筋率作為衡量結構設計經濟性的標準。其受諸多因素影響，比如結構形式、材料價格和施工條件等因素制約，其經濟性在一定程度上只是相對的。本文為簡化經濟配筋率的計算，作了一些簡化處理[3]：

⑴鋼筋混凝土梁截面寬度b，一般實際工程中通常由構造要求確定，不作為設計變量。

⑵不考慮設置受壓鋼筋、彎起鋼筋和箍筋的作用，即不將受壓鋼筋、彎起鋼筋和箍筋作為設計變量。

⑶不考慮正常使用極限狀態(tài)的影響，即不將其作為約束條件考慮。因為對于一般鋼筋混凝土梁均能滿足上述要求，且這樣處理對結果影響不大，能使計算過程相對簡化。

⑷為了進一步簡化計算過程，減少設計變量，本文對梁的斜截面受彎承載力不作為約束條件來考慮，因為這一條件通常由構造措施來保證。

本文只考慮鋼筋和混凝土價格以及鋼筋和混凝土強度等級來構造目標函數，不考慮相應的措施費及模板等費用，如果考慮可分別合并為相應的綜合費用：

式中，Ps——每t鋼筋單價，×7.85元/m3；

Pc——混凝土單價，元/m3；

1.4 約束條件

⑴正截面受彎承載力的約束條件：

⑵最小配筋率的約束條件：

⑶最大配筋率的約束條件：

1.5 求解方法

將約束條件（1）和目標函數寫成拉格朗日函數表達式為：

對上述拉格朗日函數求極小值得

由（3）得，

當ρ=ρe時，PE（ρ）最小。對于目標函數PE（ρ）而言，由于其表達式比較繁瑣，通過分析可知在適筋率范圍內遞減和遞增規(guī)律。則目標函數PE（ρ）可以看成由與pcba三項組成。bM值已知的情況下，即當Ps/Pc比值滿足存在經濟配筋率范圍時，若鋼筋級別越高，混凝土強度等級越低，fc/（2fy）越小，此時Ps/Pc比值越小第二項隨ρ增大不明顯，此時目標函數PE（ρ）隨ρ增大變化不是很敏感；而1/fc越大，第一項隨ρ減小明顯，所以PE（ρ）隨ρ減小變化相對敏感。若鋼筋級別越低，混凝土強度等級越高，fc/（2fy）越大，此時Ps/Pc比值越大第二項隨ρ增大明顯；而1/fc越小，第一項隨ρ減小不明顯，所以PE（ρ）隨ρ增大變化相對敏感。

將約束條件（2）和（3）聯合得，

一般情況下Ps＞Pc，經計算分析可得，

一般當混凝土強度等級不超過C50時，則取α1=1.0，

β=0.8，則

表1 Ps/Pc計算表

續(xù)表1Ps/Pc計算表

根據上述公式（5）所計算出的不同級別鋼筋與不同混凝土強度等級（≤C50）相組配的鋼筋混凝土梁所對應的Ps/Pc取值范圍見表1所示。其中若實際中Ps/Pc取值范圍超出表1所示的取值范圍時，這時就不存在經濟配筋率。

2 算例

設鋼筋混凝土矩形截面簡支梁，M=220 kN·m， b=250mm，根據某地市場價格調查，鋼筋單價的市場價格在（3000~4000）元/t之間波動、其中鋼筋牌號分別有HPB300、HRB335、HRB400、HRB500四種。不同強度等級混凝土單價的市場價格波動范圍見表2所示，α1=1.0，β=0.8，αs=35 mm，確定其經濟配筋率。

表2 鋼筋混凝土梁經濟配筋率計算表

表2 鋼筋混凝土梁經濟配筋率計算表

先通過公式(5)計算或表1查出Ps/Pc存在經濟配筋率的范圍，若Ps/Pc值在存在經濟配筋率的范圍內，則根據本文推導出的公式(4)計算出的經濟配筋率的結果見表2，本算例每種組配中分別給出了Ps（max）/Pc(max)、Ps(max)/Pc(min)、Ps(mid)/Pc(mid)、Ps(min)/Pc(max)、 Ps(min)/Pc(min)幾種情況下，目標函數PE（ρ）隨ρ變化規(guī)律見圖2~圖25。

圖2 HPB300和C20組配

圖3 HPB300和C25組配

圖4 HPB300和C30組配

圖5 HPB300和C35組配

圖6 HPB300和C40組配

圖7 HPB300和C45組配

圖8 HPB300和C50組配

圖9 HRB335和C20組配

圖10 HRB335和C25組配

圖11 HRB335和C30組配

圖12 HRB335和C35組配

圖13 HRB335和C40組配

圖14 HRB335和C45組配

圖15 HRB335和C50組配

圖16 HRB400和C25組配

圖18 HRB400和C35組配

圖19 HRB400和C40組配

圖20 HRB400和C45組配

圖21 HRB400和C50組配

圖24 HRB500和C45組配

圖25 HRB500和C50組配

從本算例可以看出，鋼筋級別越高，混凝土強度等級越低，Ps/Pc比值越小時，當ρ從ρe向ρmax波動時，造價變化相對不敏感，當ρ從ρe向ρmin波動時，造價變化越敏感；鋼筋級別越低，混凝土強度等級越高，Ps/Pc比值越大時，當ρ從ρe向ρmax波動時，造價變化越敏感，當ρ從ρe向ρmin波動時，造價相對不敏感。這一規(guī)律與本文推導出的目標造價函數的分析規(guī)律相符合，說明推導公式的敏感性分析是合理的。

3 結語

（1）通過推導出經濟配筋率ρe的公式可以看出，經濟配筋率與鋼筋彈性模量、混凝土彈性模量、鋼筋價格、混凝土價格、鋼筋抗拉強度設計值、混凝土軸心抗壓強度設計值因素有關。在相同級別鋼筋和混凝土強度等級的條件下，ρe值隨著鋼筋價格與混凝土價格比值的增大而逐漸減??；在Ps/Pc比值一定時，ρe值與fc/fy比值成反比關系。并通過算例驗證了ρ=ρe時，目標函數造價PE最小。

（2）在最大配筋率和最小配筋率的約束條件下推導出的Ps/Pc范圍可以看出，當鋼筋級別相同時，隨著混凝土強度等級的增加Ps/Pc最大與最小值都逐漸減小，即范圍在縮??；鋼筋級別越高，混凝土強度等級越低，Ps/Pc值越大。

（3）從目標函數表達式和算例圖中可以看出，配筋率在經濟配筋率ρe附近時，造價隨配筋率的變動相對不是很敏感。鋼筋級別越高，混凝土強度等級越低，ρs/ρc比值越小時，當ρ從ρe向ρmax波動時，造價變化相對不敏感；當ρ從ρe向ρmin波動時，造價變化越敏感；鋼筋級別越低，混凝土強度等級越高，ρs/ρc比值越大時，當ρ從ρe向ρmax波動時，造價變化越敏感；當ρ從ρe向ρmin波動時，造價相對不敏感。所以從造價角度分析建議在存在ρe的情況下，鋼筋級別越高，混凝土強度等級越低，ρs/ρc比值越小時，ρe≤ρ≤ρmax；鋼筋級別越低，混凝土強度等級越高，Ps/Pc比值越大時，ρmin≤ρ≤ρe。

（4）通過本文算例可以看出有HRB400和C20組配，HRB500分別和C20、C25、C30組配時不存在經濟配筋率，因為其Ps/Pc范圍超出了表1所示存在經濟配筋率的范圍。這也說明了在實際工程中，基本上不會采用特別高級別鋼筋和特別低強度等級混凝土相組配，以免造成不必要的浪費。

［1］中國工程建設標準化協會.GB50010-2010混凝土結構設計規(guī)范[S].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2010.

［2］周堅.鋼筋混凝土與砌體結構[M].北京：清華大學出版社，2008.

［3］張靖靜.鋼筋混凝土受彎構件正截面設計優(yōu)化分析[J].工業(yè)建筑，2005，35（2）：100-102.

［4］俞銘華，李慶貞.鋼筋混凝土單筋梁優(yōu)化設計[J].工業(yè)建筑，2000，30（8）：48-51.

［5］趙國藩.高等鋼筋混凝土結構學[M].北京：機械工業(yè)出版社，2005.

［6］曹煒，成戎.鋼筋混凝土梁的經濟配筋率研究[J].建筑結構，2010，40（增刊）：424-425.

［7］同濟大學應用數學系.高等數學（下冊）[M].北京：高等教育出版社出版社，2005.

［8］劉相.碳纖維布加固受損鋼筋混凝土梁錨固方式的試驗研究[J].遼東學院學報（自然科學版），2015，22（3）：204-211.

（責任編輯：龍海波）

Economical reinforcement ratio and cost of rectangular section reinforced concrete beams

LIUXiang

（School of Urban Construction，Eastern Liaoning University,Dandong 118003，China）

The reinforcement ratio and cost of single reinforcement rectangular section reinforced concrete beams were studied．The least unit length cost Was selected as the o~ective function by considering the material cost．According to the strain coordination conditions and the calculation methOd Of cross-sectional flexural bearing capacity of reinforced concrete beams，the expression of the economical reinforcement ratio Was derived with Lagrange function．Furthermore.under the constraint condition of the maximum and minimum reinforcement rmio that can meet the corresponding reinforcement grade and reinforced concrete strength，the range of the prices of reinforcement and reinforced concrete that meets the economical reinforcement ratio Was obtained．Finally，the method was verified bv an example．

reinforced concrete beams；economical reinforcement ratio；Lagrange function；steel price；concrete price

TU22.571

A

1673-4939（2017）02-0129-12

10.14168/j.issn.1673-4939.2017.02.11

2016-04-13

遼寧省教育廳科技研究項目資助（L2015187）；遼東學院青年基金項目（2016QN003）

劉相（1981-），男，遼寧丹東人，碩士，講師，研究方向：結構加固與工程造價。