文宇哲 湖南省師范大學附屬中學

高中數(shù)學中不等式恒成立問題

文宇哲 湖南省師范大學附屬中學

在高中數(shù)學的學習過程中，不等式恒成立問題包含了倒數(shù)、方程、函數(shù)等主要性知識，很容易受到考查。而這些知識問題，若是沒有掌握好問題的關鍵，是很難解決的。本文對數(shù)學的恒成立問題進行總結，并以實例進行說明。

高中數(shù)學 不等式 恒成立

1 不等式恒成立問題概述

所謂恒成立問題，就是在已知條件下，無論變量如何改變，命題都成立。其典型思路也是由已知條件向各式子類型轉換為不等式恒成立解題，這是高中數(shù)學的一個重點考察內容。與一般學科不同，數(shù)學學科對學生們邏輯性和思考能力要求高，要想學好數(shù)學，必須得提高自己這方面的能力，靈活運用解題能力來解釋恒成立問題，才可以提升自己的數(shù)學學習能力，讓數(shù)學學習不再困難。

2 關于不等式恒成立的解題思路

2.1 數(shù)形結合，直觀求解

所謂數(shù)形結合，就是依照函數(shù)和形之間相對應的關系，通過相互轉換來進行解答的數(shù)學問題。高考數(shù)學里，一員函數(shù)型、二次函數(shù)恒成立一般會出現(xiàn)在選擇填空中，實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內容相關：①實數(shù)與數(shù)軸上的對應關系。②函數(shù)與圖像的對應關系。③曲線和方程的對應關系。④以幾何為背景形成的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等。

2.2 運用歸化解題思路，分離變量法

分數(shù)參離在學習高中數(shù)學知識的過程中，遇到含有不同參數(shù)的不等式恒成立問題時，把有參數(shù)的不等式進行變形，分離題型的參數(shù)，將復雜的不等式恒成立問題簡化，讓不等式的解析式只有一方是含有參數(shù)的解題方式。

2.3 解析一元函數(shù)、二次函數(shù)恒成立的難題

函數(shù)最值法是數(shù)學恒成立問題常見的解題方法，即與自身熟悉的知識點相結合，依照題型指示，通過函數(shù)最值法解答數(shù)學問題。其中最值法又主要分為兩點：

首先，一次函數(shù)恒成立。一次函數(shù)的恒成立主要是在求各個變量的范圍，例如普通一次函數(shù)f(x)=kx+b(b0)，若函數(shù)f(x)在 [m，n]范圍內恒有f(x)＜0或者f(x)＞0，求k值的范圍。在該類型恒成立問題的解題過程中，可根據函數(shù)取值大小范圍、基本性質、和單調性進行解題。

其次，二元函數(shù)恒成立。二次函數(shù)法f（x)不同的x值范圍，函數(shù)的增減性不一樣，二次函數(shù)的圖像有最值，并且是函數(shù)增減性的分界點。因此，在解決二次函數(shù)恒成立問題時，要結合到圖像特點進行討論。

例如，設f(x)=(m-1)x2+(m-1)x+2＞2的解集為R，求m值范圍。解題思路如下：依照函數(shù)討論（m-1）及=Δ（m-1）2-8(m-1)的范圍，進而求m范圍。當m-1=0時，m=1，f(x)=2＞0成立。當m-10時，m1，要遵循該函數(shù)的特性，

綜上所述，在高中數(shù)學的學習當中，解決恒成立問題的方法很多除了常見的分離變量法、函數(shù)最值法和數(shù)形結合法外，還有其他很多解題方法。只要我們充分考慮到問題的性質和特點，就可選擇合理合適的方法。對數(shù)學恒成立問題進行等價轉換。平時勤于練習，熟悉思路方式，積極總結經驗，才可以真正提升自己的邏輯思維能力和解決問題的能力，最后在高考數(shù)學中得到令人滿意的考試成績。

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