高速脂潤滑角接觸球軸承多目標優(yōu)化設計

劉勝超，王東峰，商琪，閆純樸，高新宇

(1.洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039；2.河南省高性能軸承技術重點實驗室，河南 洛陽 471039；3.滾動軸承產業(yè)技術創(chuàng)新戰(zhàn)略聯(lián)盟，河南 洛陽 471039；4.南京陸騰傳動科技有限公司，南京 210000)

隨著人們對綠色制造和環(huán)保意識的不斷增強，近年來，高檔數控機床也在向環(huán)保方向發(fā)展。傳統(tǒng)的電主軸采用油霧、油氣潤滑以實現(xiàn)電主軸的高速旋轉，但必須配備壓縮空氣、氣管、控制系統(tǒng)等輔助設施，系統(tǒng)結構復雜。此外，油霧化所產生的油霧彌漫于空氣中，不僅污染環(huán)境，也將對長期在此環(huán)境下的工作者的身心健康造成極大傷害。機械加工行業(yè)呈現(xiàn)出脂潤滑主軸代替油潤滑主軸的趨勢，且脂潤滑主軸的各項性能指標要求較高。

國外高速脂潤滑軸承dm·n值達到2×106mm·r/min左右，而我國生產的該類軸承dm·n值在1.6×106mm·r/min左右，與國外有一定差距。高速角接觸球軸承運行時同時承受軸向載荷和徑向載荷，以往優(yōu)化設計[1]為簡化方程組，且只考慮純軸向載荷作用。該方法假設軸承中的每個球位置處的接觸角、接觸應力、接觸載荷、旋滾比和離心力等內部結構和性能參數均相等，與實際情況相差較大。鑒于此，針對高速脂潤滑軸承H7000-2RZ系列，考慮軸向載荷和徑向載荷聯(lián)合作用，對主參數進行優(yōu)化設計，目標dm·n值為2.1×106mm·r/min。

1 優(yōu)化設計方法

鑒于高速脂潤滑角接觸球軸承主要用于高速輕載工況，且工作時需要保證較低發(fā)熱和較高的剛度，將目標函數確定為：旋滾比、基本額定動載荷、摩擦力矩和軸向剛度，優(yōu)化變量為球組節(jié)圓直徑Dpw、球徑Dw、球數Z、內圈溝曲率系數fi和外圈溝曲率系數fe，優(yōu)化變量需滿足一定的約束條件。針對多目標優(yōu)化問題，用功效系數法進行優(yōu)化：

1)以旋滾比為第1目標函數，給定條件下計算的旋滾比最小值為最優(yōu)，功效系數為1；旋滾比最大值為最差，功效系數為0；其他按插值法在[0,1]區(qū)間取值。

2)以基本額定動載荷為第2目標函數，給定條件下計算的基本額定動載荷最大值為最優(yōu)，功效系數為1；基本額定動載荷最小值為最差，功效系數為0；其他按插值法在[0,1]區(qū)間取值。

3)以摩擦力矩為第3目標函數，其功效系數取值與旋滾比功效系數取法相同。

4)以軸向剛度為第4目標函數，其功效系數取值與基本額定動載荷功效系數取法相同。

2 計算模型

計算目標函數之前，需先分析計算模型，計算出與目標函數相關的變量。

2.1 球位置

由于離心力和陀螺力矩的作用，每個球與內外圈溝道的接觸參數不同[2]，承載最大的球的位置角φ1=0，其他球的位置角如圖1所示。

圖1 球位置

2.2 變形協(xié)調關系

受載后，第j個球位置φj處，假設外圈溝道曲率中心固定，球心與內外溝道曲率中心的相對位置如圖2所示。

圖2 球心與內外溝道曲率中心相對位置

受載后，內外圈相對軸向位移和徑向位移分別為

Aaj=(fi+fe-1)Dwsinα0+δa，

(1)

Arj=(fi+fe-1)Dwcosα0+δrcosφj，

(2)

式中：α0為初始接觸角；δa和δr分別為受載后內外圈相對軸向位移和徑向位移。

受載后，第j個球位置處的接觸角為

(3)

式中：αij,αej分別為第j個球處內、外圈的接觸角；δij，δej分別為第j個球處內、外圈的法向位移。

圖2中幾何關系為[3]

(4)

(Aaj-Xaj)2+(Arj-Xrj)2-[(fi-0.5)Dw+δij]2=0。

(5)

2.3 受力和平衡方程

第j個球受力如圖3所示，球的離心力Fcj為

圖3 球受力圖

(6)

式中：m為球質量；Dpw為球組節(jié)圓直徑；ω為內圈角速度；ωmj為第j個球的公轉角速度。

第j個球的陀螺力矩為

(7)

式中：J為球對質心軸的轉動慣量；ωRj為第j個球的自轉角速度；ρ為球密度；“+”代表外溝道旋轉；“-”代表內溝道旋轉。

根據外圈溝道的控制理論[4]得

(8)

γ′=Dw/Dpw，

第j個球位置處，球的平衡方程為

Qejsinαej=0，

(9)

Qejcosαej+Fcj=0，

(10)

外溝道控制時，λij=0,λej=2;內溝道控制時，λij=λej=1。

根據Hertz接觸理論[5]，第j個球的法向載荷與法向位移的關系為

(11)

(12)

式中：Kij，Kej為內、外圈法向接觸剛度，根據文獻[2]中的方法計算。

由(3)～(5)，(9)～(12)式得

(13)

(14)

整個軸承的平衡方程為

(15)

(16)

由(3)～(5)，(11)，(12)，(15)，(16)式得

(17)

(18)

(4)，(5)，(13)，(14)，(17)，(18)式組成了4Z+2個非線性方程，包含Aaj,Arj,δij,δej,δa,δr共4Z+2個未知變量，其余方程作為輔助方程建立變量關系，用Newton-Raphson法求解以上方程組即可得到未知變量。求解時，為了加快收斂速度，先編寫靜力學程序求解以上未知變量，然后把靜力學計算結果作為初值賦予上述擬動力學程序對方程進行求解。

潤滑對軸承的性能影響較大，文中分析時考慮了潤滑脂油膜剛度。根據Hamrock B J和Dowson D的研究結果，接觸區(qū)最小油膜厚度[2]為

hmin=3.63U0.68G0.49(1-e-0.68k)RxW′-0.073，

(19)

潤滑脂油膜剛度為[6]

(20)

式中各參數詳見文獻[2]。

總接觸剛度相當于套圈與球接觸剛度與油膜剛度之間的串聯(lián)，內、外圈總接觸剛度分別為

Kij-total=Koil-ijKij/(Koil-ij+Kij)，

(21)

Kej-total=Koil-ejKej/(Koil-ej+Kej)，

(22)

式中：Koil-ij，Koil-ej分別為第j個球位置處內、外圈處的油膜剛度。將Kij-total和Kej-total替換(13)，(14)，(17)，(18)式Kij和Kej即為考慮油膜剛度情況下的方程求解。

3 目標函數求解

3.1 旋滾比

外溝道控制時，球在內圈的旋滾比(球在內溝道接觸處的自旋角速度與滾動角速度的比值)為[7]

ωsi/ωroll=(1-γ′cosαi)tan(αi-β)+γ′sinαi。

(23)

3.2 基本額定動載荷

軸承基本額定動載荷為

Cr=1.3fc(cosα)0.7Z2/3F(Dw)，

(24)

式中：fc為與fi,fe,γ有關的參數；F(Dw)為Dw的函數。

γ=Dwcosα/Dpw。

(25)

3.3 摩擦力矩

Palmgren給出軸承摩擦力矩的計算公式為[8]

M=M0+M1，

(26)

M1=f1FβDpw，

Fβ=max(0.9Facotα-0.1Fr)，

式中:fo為與軸承類型和潤滑方式有關的系數，文中為2；νo為潤滑劑黏度；f1為與軸承結構、當量靜載荷和額定靜載荷有關的系數；Fβ為與軸承類型和外載荷有關的載荷。

3.4 軸向剛度

軸承軸向剛度為每個球位置處，內、外圈接觸剛度的軸向分量之和，即

(27)

式中：Kaij,Kaej分別為第j個球位置處內、外圈接觸剛度在軸向的分量。

3.5 主參數對各目標函數的影響分析

為分析主參數Dw，Z，fi和fe對目標函數的影響，采用變化一個主參數，其他參數均不變的方法進行分析，分析結果如圖4—圖7所示。

由圖4—圖7可知：球徑增大，旋滾比、基本額定動載荷和摩擦力矩增大，軸向剛度減??；球數增加，旋滾比基本不變，基本額定動載荷、摩擦力矩和軸向剛度增大；內圈溝曲率系數增大，旋滾比、基本額定動載荷、摩擦力矩和軸向剛度均減??；外圈溝曲率系數增大，旋滾比增大，基本額定動載荷、摩擦力矩和軸向剛度均減小。

圖4 球徑對目標函數的影響

圖5 球數對目標函數的影響

圖6 內圈溝曲率系數對目標函數的影響

圖7 外圈溝曲率系數對目標函數的影響

4 評價函數和求解方法

評價函數為

Fmax=a1fm(ω)+a2fm(Cr)+a3fm(M)+a4fm(Ka),

(29)

式中:fm(ω),fm(Cr),fm(M),fm(Ka)分別為旋滾比、基本額定動載荷、摩擦力矩和軸向剛度的功效系數;a1,a2,a3,a4為上述變量的權重系數，由經驗選取。計算后Fmax最大的變量組合即為所需。

以上求解數據量大，且包含較為復雜的非線性方程組，需借助計算機編程進行求解，程序框圖如圖8所示。

圖8 多目標優(yōu)化設計程序框圖

5 實例計算及試驗驗證

以H7008C-2RZ/HQ1P4為例，其內徑為40 mm，外徑為68 mm，寬度為15 mm。為便于系列化開發(fā)，選取球組節(jié)圓直徑Dpw為內徑和外徑的平均值，即Dpw=54 mm。

通過分析國外軸承樣品參數，先選取內圈溝曲率系數fi和外圈溝曲率系數fe的不同組合，然后對球徑和球數進行約束。

約束后球徑Dw=[6.35，6.0，5.953，5.556，5.5，5.159，4.762]，球數Z=[22，23，23，24，25，26，28]。溝曲率系數組合[fi,fe]={[0.55，0.515]，[0.55，0.53]，[0.56，0.515]，[0.55,0.525]，[0.56,0.53]}。使用前述優(yōu)化設計程序進行計算，得到H7008C-2RZ/HQ1P4優(yōu)化后的主參數為：Dw=6.35 mm，Z=22，Dpw=54.0 mm，fi=0.55，fe=0.515。

為驗證優(yōu)化后所取軸承主參數是否合理，在T30-70Nf高速軸承綜合試驗機上進行了溫升和高速性能試驗，試驗結果見表1和表2。

由表1可知，軸承最高溫升為23.2 ℃，此時轉速為32 400 r/min，且冷卻水開關處于關閉狀態(tài)。冷卻水關閉狀態(tài)下進行的H7008C-2RZ/HQ1P4極限轉速試驗結果見表2。在極限轉速試驗中，當轉速為0～40 000 r/min時，溫升較平穩(wěn)，振動較小。繼續(xù)增大轉速，高于40 000 r/min后，軸承振動增大，溫升急劇變化，無法達到熱平衡狀態(tài)，故認為極限轉速為40 000 r/min，此時dm·n值為2.16×106mm·r/min。

表1 H7008C-2RZ/HQ1P4溫升性能試驗數據

表2 H7008C-2RZ/HQ1P4極限轉速試驗數據

6 結束語

通過建立軸向和徑向聯(lián)合載荷作用下高速脂潤滑角接觸球軸承的擬動力學模型，選取目標函數和評價函數，編制了專用優(yōu)化設計軟件，對軸承設計變量(軸承球組節(jié)圓直徑、球徑、球數、內圈溝曲率系數和外圈溝曲率系數)進行優(yōu)化設計，并分析了各參數對目標函數的影響。最后對優(yōu)化設計后的軸承H7008C-2RZ/HQ1P4進行了溫升性能試驗和高速性能試驗，結果顯示，軸承的溫升和高速性能滿足要求，為進行軸向、徑向和力矩聯(lián)合作用下的角接觸球軸承的優(yōu)化設計提供了參考。