楊宇師
[摘 要]長方形和正方形面積公式的推導(dǎo)是學(xué)生探索其他平面圖形的面積公式的基礎(chǔ),是學(xué)生學(xué)習(xí)面積計算的起始課。在學(xué)習(xí)本課之前,學(xué)生已經(jīng)掌握通過數(shù)小正方形去比較兩個圖形的面積大小的方法,學(xué)生對于圖形大小的概念建立在數(shù)小正方形的基礎(chǔ)之上,這是本課教學(xué)的起點。
[關(guān)鍵詞]長方形;正方形;面積公式;推導(dǎo)
[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068(2017)20-0065-02
對于長方形的面積計算公式“長×寬”,多數(shù)學(xué)生識記起來比較容易,至于為什么這么算,卻幾乎沒有學(xué)生能夠說清楚。長方形各邊的長度和它的面積之間存在什么關(guān)系呢?讓學(xué)生先用擺的方法計算長方形的面積,再通過猜測——驗證擺在長方形里面的1平方厘米小正方形的數(shù)量與邊長的關(guān)系,可讓學(xué)生經(jīng)歷長方形面積計算方法由擺到量的整個過程,引導(dǎo)學(xué)生從“方形度量”順利過渡到“先量后算”,進(jìn)而體會“用尺測量長度再計算面積”的緣由和優(yōu)越性。
思考一:長方形各邊的長度與其面積之間存在什么關(guān)系?
教師如何設(shè)計課堂教學(xué)內(nèi)容,才能使學(xué)生不是死記硬背公式,而是理解并內(nèi)化公式呢?根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗,我認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點在于“為什么分別測出長和寬的長度,就能求得面積”。長方形面積公式推導(dǎo)的一般教學(xué)流程是先用相同數(shù)量的小方形擺成不同的長方形,然后提煉面積公式。其依據(jù)是長方形的面積可以用單位面積去度量,不足之處在于難以讓學(xué)生的思維從“用面積度量面積”向“用度量長度計算面積”過渡。因此,在設(shè)計本節(jié)課時,我讓學(xué)生先用擺小方形的方法計算長方形的面積,再猜測并驗證擺在長方形里面的1平方厘米的小正方形的數(shù)量與長方形邊長的關(guān)系,使學(xué)生順利溝通“用面積度量面積”與“用度量長度計算面積”之間的聯(lián)系,認(rèn)識到利用邊長計算長方形面積的理論依據(jù)和可操作性。
思考二:如何從厘米過渡到平方厘米?
學(xué)生對于乘法的認(rèn)識是“幾個幾的和”。以長為6厘米,寬為3厘米的長方形為例,基于乘法學(xué)習(xí)的經(jīng)驗,學(xué)生計算它的面積時得到的結(jié)果往往是6×3=18(厘米)。對此,教師可讓學(xué)生在長方形中擺1平方厘米的小正方形,然后計算一共能擺多少個小正方形。每行有6個面積為1平方厘米的小正方形,共3行,長方形的面積等于小正方形面積的總和。由此,學(xué)生就能直觀地認(rèn)識到長方形面積的單位也應(yīng)該是平方厘米。這樣教學(xué),學(xué)生順利突破厘米與平方厘米之間的障礙,學(xué)習(xí)水平逐漸提高。
【教學(xué)目標(biāo)】
1. 知識目標(biāo):學(xué)生能通過“擺一擺、數(shù)一數(shù)、量一量、算一算”,自主探究和發(fā)現(xiàn)長方形以及正方形面積的計算方法,經(jīng)歷面積公式的推導(dǎo)過程,能正確計算長方形和正方形的面積。
2.能力目標(biāo):通過分析圖形之間的關(guān)系,促進(jìn)空間觀念進(jìn)一步發(fā)展。
3.情感目標(biāo):通過探索數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律,感受數(shù)學(xué)的魅力,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
【教學(xué)重難點】
1.引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、觀察和比較,推導(dǎo)長方形和正方形的面積公式。
2. 理解長方形和正方形面積公式的推導(dǎo)過程。
【教學(xué)過程】
一、喚醒舊知
1.復(fù)習(xí)面積概念:出示數(shù)學(xué)課本以及三角形圖形,讓學(xué)生分別指出它們的面積。
2.復(fù)習(xí)常用的面積單位:1平方厘米、1平方分米、1平方米。
3.揭示課題:這節(jié)課我們將深入學(xué)習(xí)面積的有關(guān)知識。
[設(shè)計意圖:面積的計算建立在數(shù)方格的基礎(chǔ)上,復(fù)習(xí)舊知,可為新知的學(xué)習(xí)做充分的鋪墊。]
二、探究新知
1.長方形面積計算公式的推導(dǎo)
(1)猜一猜
師:這個信封里裝著一個面積是4平方厘米的圖形,猜猜它是什么形狀的?
(2)拼一拼
讓學(xué)生利用6個1平方厘米的小正方形拼成不同的長方形,然后匯報所拼成的長方形每行擺了幾個小正方形,擺了多少行。
(3)估一估
①自由估一估任意一個長方形的面積。
②在所估的長方形里擺面積為1平方厘米的小正方形進(jìn)行驗證。
③讓估得比較準(zhǔn)確的學(xué)生說一說是怎樣估的,并讓他把想法展示出來。
[設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生嘗試對長方形的面積進(jìn)行估測,“導(dǎo)”中帶估,以“估”帶練,在練習(xí)中體驗估算的方法,培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力。]
(4)小結(jié)
師:用擺小正方形的方法計算,則長方形面積=每行的小正方形數(shù)量×行數(shù),面積單位與小正方形的一致。
(5)制造認(rèn)知沖突
師:如果要測量黑板的大小,我們也要用擺小正方形的方法來計算嗎?有沒有更簡便的方法呢?
(6)探究長方形各邊長度與其面積之間的關(guān)系
師:尺子只能測量長方形各邊的長度,不能直接量出它的面積。長方形各邊的長度和它的面積之間有什么關(guān)系呢?我們一起來研究研究。
師:面積是1平方厘米的小正方形的邊長是1厘米,沿著長方形的長邊擺6個小正方形,沿著寬邊擺恰好能擺3個小正方形。從中你能知道什么?用尺子進(jìn)行測量,驗證一下吧。
生:沿長邊能擺6個小正方形,說明長方形的長是6厘米;沿寬邊擺能3個小正方形,說明長方形的寬是3厘米。因此,擺這個長方形一共要6×3=18(個)小正方形。
師:那么長方形的面積還可以怎么算?
長方形的面積=每行的6個×3行=18個1平方厘米
長:6厘米 寬:3厘米
師:也就是說,長方形的面積=長×寬=6厘米×3厘米。這個式子的結(jié)果的單位是什么?
生:厘米。
師:你確定嗎?剛才我們用每行的6個乘以3行,等于18個1平方厘米,即6厘米×3厘米=18平方厘米。
① 練習(xí)
根據(jù)長方形的長和寬上所擺的小正方形個數(shù),練習(xí)推導(dǎo)長方形的長和寬的長度。
② 感知測量的簡潔
師:現(xiàn)在我們要測量這個長方形的面積,你想沿著它的長和寬擺小正方形,還是分別測量它的長和寬的長度呢?
生:測量長和寬的長度。
師:為什么量出長和寬的長度就可以計算它的面積呢?
生:能擺多少個小正方形邊長就是多少厘米,反過來,根據(jù)長邊的長度可以知道每行能擺多少個小正方形,根據(jù)寬邊的長度就可以知道要擺多少行。
(7)總結(jié)用測量的方法計算長方形面積的方法
先在長方形中擺小正方形,數(shù)出每行的小正方形個數(shù)和小正方形的行數(shù),然后用尺子測出長方形的長和寬。根據(jù)長和寬與每行的小正方形個數(shù)和小正方形行數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,得出:長方形面積=長×寬。
(8)對比優(yōu)化
師:計算長方形面積的方法現(xiàn)在有“擺”和“量”這兩種,你更喜歡哪一種?為什么?
[設(shè)計意圖:開展“擺一擺”的探索活動,讓學(xué)生經(jīng)歷通過實驗研究建立數(shù)學(xué)模型的思維抽象過程,并通過測量、操作、觀察、比較,總結(jié)規(guī)律,揭示長方形面積與其長和寬的關(guān)系,從而推導(dǎo)長方形面積的計算公式,并通過類比推理得出正方形的面積公式。這有利于學(xué)生建立長方形、正方形面積公式的表象。通過計算長方形的面積,進(jìn)一步體驗利用長和寬計算長方形面積的優(yōu)越性。]
2.正方形面積計算公式的推導(dǎo)
(1)嘗試計算正方形的面積。
(2)長方形與正方形之間存在什么關(guān)系?
[設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)長方形和正方形之間的關(guān)系,即正方形是長和寬相等的長方形,將長方形的面積計算公式遷移到正方形中,推導(dǎo)出正方形的面積計算公式=邊長×邊長,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力和空間觀念。]
三、課堂總結(jié),解決實際問題
1.這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些圖形面積的計算?
2.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?
3.運用今天學(xué)到的知識解決生活中的實際問題。
(1)獨立完成
(2)展示,評價
[設(shè)計意圖:帶領(lǐng)學(xué)生回顧整節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,梳理知識脈絡(luò),使之全面把握并鞏固面積公式的推導(dǎo)過程:擺小正方形——量長方形的長和寬的長度——發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成方法——解決實際問題。]
【反思】
學(xué)生通過擺一擺、數(shù)一數(shù)、量一量、算一算等自主探究活動,發(fā)現(xiàn)長方形面積與其長和寬的關(guān)系,從而推導(dǎo)并掌握長方形面積的計算公式,并通過類比推理得出正方形的面積公式。這樣教學(xué),有助于學(xué)生建立長方形、正方形的面積公式的表象。同時,結(jié)合學(xué)生熟悉的物體引導(dǎo)學(xué)生嘗試對長方形的面積進(jìn)行估測,“導(dǎo)”中帶估,以“估”帶練,在練習(xí)中體驗估算的方法,培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力。在自主探究獲得長方形、正方形面積的計算公式后設(shè)計應(yīng)用性練習(xí),如計算學(xué)校操場的面積和計算花壇的占地面積等,能有效引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的知識應(yīng)用于實際生活,感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值與意義所在。通過實際問題的解決,學(xué)生將獲得的理論知識轉(zhuǎn)化為實踐操作能力,既豐富了學(xué)生的生活經(jīng)驗,又提高了學(xué)生解決實際問題的能力,教學(xué)質(zhì)量顯著提高。
(責(zé)編 吳美玲)