頻率對(duì)半導(dǎo)體器件熱擊穿影響的理論模型

張存波 閆濤 楊志強(qiáng) 任偉濤 朱占平

(西北核技術(shù)研究所,高功率微波技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710024)(2016年8月19日收到;2016年9月3日收到修改稿)

頻率對(duì)半導(dǎo)體器件熱擊穿影響的理論模型

張存波?閆濤 楊志強(qiáng) 任偉濤 朱占平

(西北核技術(shù)研究所,高功率微波技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710024)(2016年8月19日收到;2016年9月3日收到修改稿)

針對(duì)半導(dǎo)體器件中的熱擊穿,通過分析已有的理論模型,把頻率對(duì)器件熱區(qū)熱產(chǎn)生和熱傳導(dǎo)的影響引入理論模型.利用格林函數(shù)求解熱傳輸方程,同時(shí)對(duì)余誤差函數(shù)進(jìn)行近似處理,求解得到熱區(qū)溫度以及器件燒毀功率與頻率和脈沖寬度的表達(dá)式.通過數(shù)值分析,求解得到不同頻率下器件燒毀功率隨脈沖寬度的變化規(guī)律以及不同脈沖寬度下器件燒毀功率隨頻率的變化規(guī)律,同時(shí)給出了頻率對(duì)器件燒毀功率影響的物理解釋.

熱擊穿,頻率,脈沖寬度,理論分析

1引 言

熱擊穿是半導(dǎo)體器件中一種基本的失效機(jī)理[1,2].最早分析半導(dǎo)體中熱擊穿的理論模型由Wunsch和Bell[3]于1968年提出,根據(jù)線性熱流理論,把恒定功率電脈沖注入下半導(dǎo)體器件內(nèi)的熱效應(yīng)等效為在無限大介質(zhì)中半導(dǎo)體結(jié)處的一個(gè)平面熱源產(chǎn)生的熱效應(yīng),結(jié)果表明器件燒毀功率與脈沖寬度的關(guān)系為P正比于t?1/2.1970年,Tasca[4]對(duì)Wunsch-Bell關(guān)系式進(jìn)行改進(jìn),把恒定功率電脈沖注入下半導(dǎo)體器件內(nèi)的熱效應(yīng)等效為無限大介質(zhì)中有限大球體為熱源的熱傳輸問題,結(jié)果表明可以把器件燒毀功率按脈沖寬度分為三個(gè)階段.1983年,Arkihpov等[5]假設(shè)熱產(chǎn)生區(qū)域?yàn)殚L條形圓柱體,推導(dǎo)得到在達(dá)到熱平衡前的長脈沖情況下器件燒毀功率與脈寬的關(guān)系為P正比于1/lnt.1990年,Dwyer等[6]對(duì)Wunsch-Bell關(guān)系式、Tasca模型以及Arkihpov模型進(jìn)行對(duì)比分析,發(fā)現(xiàn)注入功率與脈沖寬度之間的關(guān)系表達(dá)式強(qiáng)烈依賴于熱源的幾何結(jié)構(gòu),并假設(shè)熱源為矩形平行六面體,求解得到器件燒毀功率按脈沖寬度分為四個(gè)階段,該模型能很好地解釋之前的三種模型.

通過對(duì)熱源幾何模型的改進(jìn),已有的理論模型能較好地分析器件燒毀功率與脈沖寬度的關(guān)系,但理論模型中沒有考慮電磁脈沖頻率對(duì)器件內(nèi)部熱產(chǎn)生及熱傳導(dǎo)的影響,因而不能分析頻率等其他脈沖參數(shù)對(duì)器件燒毀功率的影響規(guī)律.本文通過考慮頻率對(duì)器件內(nèi)部熱產(chǎn)生及熱傳導(dǎo)的影響,對(duì)已有理論模型進(jìn)行改進(jìn),從而分析頻率對(duì)器件燒毀功率的影響.

2理論模型

半導(dǎo)體器件內(nèi)的熱效應(yīng)主要有兩個(gè)過程,熱產(chǎn)生和熱傳導(dǎo).已有的物理模型中均假設(shè)注入功率恒定,即熱產(chǎn)生不與時(shí)間、微波頻率等其他因素相關(guān),脈沖時(shí)間對(duì)熱傳導(dǎo)過程影響顯著,從而推導(dǎo)得到了燒毀功率隨脈沖寬度的變化分為四個(gè)階段.微波頻率與熱產(chǎn)生相關(guān)性較大,通過分析可知半導(dǎo)體器件內(nèi)部的電流密度與微波頻率相關(guān),熱產(chǎn)生與電流密度密切相關(guān).可以通過分析微波頻率對(duì)電流密度的影響來分析對(duì)熱產(chǎn)生的影響,并把微波頻率對(duì)熱產(chǎn)生的影響引入理論模型,從而得到器件燒毀功率與微波頻率的相關(guān)性.

該模型在求解過程中利用了如下簡化條件:

1)微波脈沖作用下,器件的熱區(qū)體積不隨微波脈沖的脈寬和頻率變化;

2)材料的熱導(dǎo)率和比熱容為常量,不隨溫度變化;

3)熱區(qū)中的熱產(chǎn)生是均勻的.

微波脈沖作用下半導(dǎo)體器件中熱區(qū)(體積Δ)的熱產(chǎn)生P(t)=V(t)I(t),熱區(qū)中的溫度分布可以通過求解熱傳輸方程得到,熱傳輸方程如(1)式所示:

D=K/ρCp為熱擴(kuò)散率,單位m2/s;K為熱導(dǎo)率,單位W·m?1·K?1;ρ為密度,單位kg/m3;Cp為比熱容,單位J·kg?1·K?1;T 為溫度,單位K;q(t)為單位體積的熱產(chǎn)生率,在熱區(qū)中q(t)=P(t)/Δ,不在熱區(qū)中q(t)為零.這里我們假設(shè)熱區(qū)中的熱產(chǎn)生是均勻的.

利用格林函數(shù)法,并對(duì)時(shí)間和空間積分可求得溫度分布[6]:

式中T0為環(huán)境溫度,取值為300 K.假設(shè)熱區(qū)形狀為平行六面體,尺寸為a≥b≥c.在笛卡爾坐標(biāo)系下,積分范圍為?a/2≤ x′≤ a/2,?b/2≤y′≤b/2,?c/2≤z′≤ c/2.對(duì)空間積分后可求得熱區(qū)中心處溫度與時(shí)間的關(guān)系式:

定義與a,b,c相關(guān)的熱擴(kuò)散時(shí)間ta=a2/4πD,tb=b2/4πD,tc=c2/4πD.ta,tb,tc分別表示為沿x,y,z方向達(dá)到熱平衡所需要的近似擴(kuò)散時(shí)間,三個(gè)擴(kuò)散時(shí)間把時(shí)間域分為4個(gè)區(qū)域.

根據(jù)余誤差函數(shù)的表達(dá)式,可以對(duì)其進(jìn)行如下近似

同時(shí)可以對(duì)表達(dá)式(3)中的余誤差項(xiàng)進(jìn)行如下近似

在已有的理論模型中,都是對(duì)恒定注入功率進(jìn)行求解,注入功率與時(shí)間及頻率無關(guān).為了獲得微波脈沖頻率對(duì)熱效應(yīng)的影響,這里注入功率是時(shí)間和頻率的函數(shù).注入功率P(t)∝I2(t),微波脈沖作用下半導(dǎo)體器件熱區(qū)的電流可以表示為I(t)=I0cos(2πft),f為微波脈沖的頻率,注入功率也就是熱產(chǎn)生可以表示為P(t)=P0cos2(2πft),平均功率P=P0/2.把注入功率的表達(dá)式以及表達(dá)式(5)代入表達(dá)式(3)中進(jìn)行求解,可以求得熱區(qū)中心溫度與脈沖持續(xù)時(shí)間以及頻率的關(guān)系式.熱區(qū)中心溫度的表達(dá)式被三個(gè)熱擴(kuò)散時(shí)間分為四個(gè)區(qū)域.

區(qū)域I:

當(dāng)≤t≤tc時(shí),求得

區(qū)域II:

當(dāng)tc＜t＜tb時(shí),求得

式中,Pf表示導(dǎo)致器件燒毀所需的平均功率.從熱區(qū)中心溫度以及燒毀功率與脈寬及頻率的表達(dá)式中無法直接看出兩者隨頻率增加的變化趨勢(shì),需要通過數(shù)值計(jì)算求解得到的變化曲線進(jìn)行分析.

3數(shù)值分析

借鑒文獻(xiàn)[6]中GaAs器件的熱區(qū)尺寸,0.16μm×1.0μm×10.0μm,以及文獻(xiàn)[7]中GaAs材料在熔點(diǎn)處的材料參數(shù),如表1所列.計(jì)算得到GaAs器件中的熱擴(kuò)散時(shí)間分別為tc=0.54ns,tb=21.17ns,ta=2.12μs.利用上面推導(dǎo)得到的公式,可以計(jì)算得到不同頻率下熱區(qū)中心溫度隨時(shí)間的變化,以及不同脈寬下燒毀功率隨頻率的變化,溫度達(dá)到材料熔點(diǎn)(GaAs熔點(diǎn)1511 K)時(shí)判定器件燒毀.

圖1給出了P0=0.2 W時(shí),不同頻率微波脈沖注入以及恒定功率電脈沖注入下GaAs器件熱區(qū)中心溫度隨時(shí)間的變化.圖中P=P0和P0=P/2曲線表示恒定功率分別為0.2 W和0.1 W的電脈沖注入注入下GaAs器件熱區(qū)中心溫度隨時(shí)間的變化.紅、黑、藍(lán)、紫曲線分別表示P0=0.2 W,微波脈沖頻率為f=0.1,1,10,100 MHz時(shí)GaAs器件熱區(qū)中心溫度隨時(shí)間的變化.從圖中可知,不同頻率微波脈沖注入下,GaAs器件熱區(qū)中心溫度隨時(shí)間變化與恒定功率電脈沖注入下的變化類似.溫度隨時(shí)間的變化被三個(gè)熱擴(kuò)散時(shí)間tc,tb,ta分為四個(gè)區(qū)域.區(qū)域I溫度增量ΔT=At,區(qū)域II溫度增量ΔT=Bt1/2,區(qū)域III溫度增量ΔT=C lnt,區(qū)域IV溫度增量ΔT→0.頻率為f的微波脈沖注入時(shí),溫度隨時(shí)間的變化曲線以2f的頻率進(jìn)行周期性振蕩變化,頻率越高振蕩的幅度越小.隨著微波脈沖頻率的增加,溫度隨時(shí)間的變化曲線從P=P0曲線向P=P0/2曲線漸變.頻率越低曲線越接近P=P0曲線,當(dāng)頻率小于等于10kHz時(shí),曲線與P=P0曲線基本重合;頻率越高曲線越接近P=P0/2曲線,當(dāng)頻率大于等于1 GHz時(shí),曲線與P=P0/2曲線基本重合.當(dāng)頻率為10kHz—0.1 GHz時(shí),同一微波脈寬下,頻率越高溫度增量越小,溫度增量隨頻率的增加而減小.當(dāng)頻率大于1 GHz時(shí),同一脈寬下,溫度增量隨頻率的增加變化非常微小.

表1 材料熔點(diǎn)處的熱特性參數(shù)Table 1.Thermal parameters of materials at melting point.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)GaAs器件熱區(qū)中心溫度隨時(shí)間的變化Fig.1.(color online)The central temperature in hot zone of GaAs device versus time.

對(duì)于熱區(qū)尺寸a=10.0μm,b=1.0μm,c分別為0.16,0.1,0.05,和0.01μm的GaAs器件,tc＜20ns＜tb,利用區(qū)間II中燒毀功率的表達(dá)式,得到器件燒毀功率隨頻率的變化,如圖2所示.20ns對(duì)應(yīng)的頻率為50 MHz,為了保證不同頻率下注入能量相等,20ns應(yīng)該是各頻率下時(shí)間周期的整數(shù)倍,選取的頻率點(diǎn)應(yīng)該是50 MHz的整數(shù)倍.頻率范圍設(shè)置為50 MHz—10 GHz,間隔為50 MHz.燒毀功率隨頻率增加分為兩段,頻率小于分段點(diǎn)頻率時(shí),燒毀功率隨頻率增加而增大,頻率大于分段點(diǎn)頻率時(shí),燒毀功率隨頻率增加基本恒定但有微小的波動(dòng).分段點(diǎn)頻率與熱區(qū)尺寸c相關(guān),c越小分段點(diǎn)頻率越高,c為0.01μm時(shí)分段點(diǎn)頻率大于10 GHz.同一頻率下,燒毀功率隨熱區(qū)尺寸c的增大而增大.在a,b尺寸相同的情況下,c越大,熱區(qū)體積越大,熱區(qū)溫度達(dá)到材料熔點(diǎn)所需的能量越多,同一頻率下器件燒毀功率越高.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)脈寬20ns,GaAs器件燒毀功率隨頻率的變化Fig.2.(color online)Failure power of GaAs device versus frequency at 20ns.

對(duì)于熱區(qū)尺寸a=10.0μm,b=1.0μm,c分別為0.16,0.1,0.05,和0.01μm的GaAs器件,tb＜100ns＜ta,利用區(qū)間III中燒毀功率的表達(dá)式,得到器件燒毀功率隨頻率的變化,如圖3所示.100ns對(duì)應(yīng)的頻率為10 MHz,為了保證不同頻率下注入能量相等,100ns應(yīng)該是各頻率下時(shí)間周期的整數(shù)倍,頻率應(yīng)該是10 MHz的整數(shù)倍.頻率范圍設(shè)置為10 MHz—10 GHz,間隔為10 MHz.100ns時(shí)燒毀功率隨頻率增加的變化趨勢(shì)與20ns時(shí)類似.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)脈寬100ns,GaAs器件燒毀功率隨頻率的變化Fig.3.(color online)Failure power of GaAs device versus frequency at 100ns.

對(duì)于Si器件,上面推導(dǎo)的公式同樣適用,表1給出了Si材料的熱特性參數(shù)[8],通過計(jì)算得到Si器件燒毀功率隨頻率的變化趨勢(shì)與GaAs器件類似,只是數(shù)值上存在差異.文獻(xiàn)[9]中利用半導(dǎo)體仿真軟件ISE-TCAD仿真得到雙極型晶體管燒毀功率隨頻率的增加而增大,且頻率越高,燒毀功率增大的速率越小,與本文理論模型得到的器件燒毀功率隨頻率的變化趨勢(shì)類似.

頻率對(duì)半導(dǎo)體器件燒毀功率影響的物理解釋如下:半導(dǎo)體器件熱區(qū)溫度的上升隨脈沖寬度的變化分為4個(gè)階段:1)短脈沖下的絕熱過程(0≤t≤tc),在該時(shí)間尺度下熱源產(chǎn)生的熱量全部用來使得熱源本身的溫度上升,沒有向外界的傳熱;2)溫度的上升正比于t1/2(tc＜t＜tb),該時(shí)間尺度下熱源產(chǎn)生的熱量通過熱區(qū)表面向外傳導(dǎo),存在熱損耗,該損耗與熱區(qū)表面積相關(guān);3)溫度的上升正比于lnt(tb≤t≤ta),該時(shí)間尺度下熱區(qū)通過表面向外傳導(dǎo)的熱量更多,但熱區(qū)的熱產(chǎn)生仍然大于熱傳導(dǎo),溫度上升速率變緩;4)熱平衡過程,在該時(shí)間尺度下熱源產(chǎn)生的熱全部通過熱區(qū)表面向外傳導(dǎo),達(dá)到熱平衡,熱區(qū)溫度達(dá)到穩(wěn)定不再升高.熱區(qū)在四個(gè)區(qū)中的熱傳導(dǎo)速率隨脈寬的增加依次增大,I區(qū)中的熱傳導(dǎo)速率最小,趨于零,IV區(qū)中的熱傳導(dǎo)速率最大,等于熱產(chǎn)生的速率.相同注入能量下,在I或II區(qū)注入的能量越多,熱傳導(dǎo)較少,溫升就越大.不同頻率下,雖然注入總能量相同,但在各個(gè)時(shí)間區(qū)域中注入的能量不相同.頻率越低在I或II區(qū)注入的能量越多,溫升越大,器件更容易燒毀;頻率高于一定值時(shí),在各個(gè)時(shí)間段注入的能量差別很小,器件燒毀功率隨頻率基本不變.

4結(jié) 論

考慮到電磁脈沖作用下半導(dǎo)體器件熱區(qū)的熱產(chǎn)生和熱傳導(dǎo)受到頻率的影響,通過把注入功率設(shè)為頻率和時(shí)間的函數(shù),進(jìn)而把頻率對(duì)器件熱區(qū)熱產(chǎn)生和熱傳導(dǎo)的影響引入理論模型,通過求解熱傳輸方程得到半導(dǎo)體器件燒毀功率與頻率的關(guān)系.通過數(shù)值計(jì)算求得器件燒毀功率隨頻率的增加分為兩段,頻率小于分段點(diǎn)頻率時(shí),燒毀功率隨頻率的增加而增大,頻率大于分段點(diǎn)頻率時(shí),燒毀功率隨頻率的增加基本恒定但有微小的波動(dòng).分段點(diǎn)頻率與熱區(qū)最小尺寸c相關(guān),熱區(qū)尺寸c越小,分段點(diǎn)頻率越高.四個(gè)時(shí)間區(qū)域中的熱傳導(dǎo)速率隨脈寬增加依次增大,頻率越低在I或II區(qū)注入的能量越多,器件更容易燒毀.

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PACS:85.30.De,84.40.–xDOI:10.7498/aps.66.018501

?Corresponding author.E-mail:zhangcunbo@nint.ac.cn

Theoretical model of in fl uence of frequency on thermal breakdown in semiconductor device

Zhang Cun-Bo?Yan Tao Yang Zhi-Qiang Ren Wei-Tao Zhu Zhan-Ping

(Science and Technology on High Power Microwave Laboratory,Northwest Institute of Nuclear Technology,Xi’an 710024,China)(Received 19 August 2016;revised manuscript received 3 September 2016)

In order to analyze the in fl uence of frequency on thermal breakdown in semiconductor device,the in fl uences of frequency on heat generation and heat conduction in the hot zone are introduced into the theoretical model.The heat transfer equation is solved by the Green’s function method,and the error function is approximated.Then,the expressions of temperature in the hot zone and failure power of semiconductor device including frequency and pulse width are derived.The change rules of failure power with the increasing of pulse width under di ff erent frequencies and with the increasing of frequency under di ff erent pulse widths are obtained.The result shows that the expression for center temperature in hot zone caused by the failure power is divided into four time regions,i.e.,regions I-IV,by three thermal di ff usion times ta,tb,and tc.The three di ff usion times ta,tb,and tcare related to the side lengths a,b and c(c≤b≤a)of the hot zone represented by a rectangular parallelepiped,respectively.In region I(0≤t≤tc),the relation between failure power Pfand failure time t is Pf∝ t?1.In this region,the failure time is short and little heat is lost from the surface of hot zone so that the adiabatic term(t?1)dominates.In region II(tc＜ t＜ tb),the relation between failure power Pfand failure time t is Pf∝ t?1/2.In this region,it is indicative of heat loss from the hot zone to its surrounding medium.In region III(tb≤t≤ta),the relation between failure power Pfand failure time t is Pf∝1/lnt.In region IV(t＞ta),the failure power Pfis constant.In this region,the failure time is very large and thermal equilibrium can be established so that the steady state term dominates.The relation between failure power and frequency is divided into two parts.In part one,the failure power increases with the increasing of frequency;in part two,the failure power is nearly constant with the increasing of frequency.Meanwhile,the physical interpretation of the in fl uence of frequency on failure power is given.From region I to region IV,each heat transfer rate increases with pulse width.The lower the frequency,the more the injection energy during region I or region II is,when the total injection energy is constant.The heat transfer rate is slower in region I or region II,so the energy converted into heat will be more and the temperature in the hot zone will be higher,thus the device is burned out easily.

thermal breakdown,frequency,pulse width,theoretical analysis

10.7498/aps.66.018501

?通信作者.E-mail:zhangcunbo@nint.ac.cn