趙剛，田彬亢（重慶華姿建筑工程有限公司，重慶400；重慶市建筑科學(xué)研究院，重慶40000）

鋼筋機(jī)械錨固數(shù)學(xué)模型研究

趙剛1，田彬亢2
（1重慶華姿建筑工程有限公司，重慶401120；2重慶市建筑科學(xué)研究院，重慶400020）

0 引言

《鋼筋機(jī)械錨固試驗(yàn)條件研究》[1]提出使鋼筋機(jī)械錨固試驗(yàn)實(shí)現(xiàn)可能的錐形拔出破壞試驗(yàn)條件（如圖1），還提到了鋼筋機(jī)械錨固所主要利用的抗拔錐體幾何形態(tài)，同時(shí)強(qiáng)調(diào)錐體實(shí)際僅為近似錐體，因?yàn)殄^頭承壓面的作用，實(shí)則更近似于圓臺(tái)形狀。我們以《鋼筋直錨與機(jī)械錨固異同》[2]提到的根據(jù)抗拔錐體裂面混凝土所承受拉力來(lái)建立鋼筋機(jī)械錨固性能研究的相關(guān)數(shù)學(xué)模型，從理論上推導(dǎo)出鋼筋機(jī)械錨固充分發(fā)揮錨固效果的最小深度。

圖1 鋼筋機(jī)械錨固抗拔錐體1—錨筋；2—被拔出的混凝土錐；3—錨頭；4—?dú)埓娴谋话五F混凝土試件；5—支撐環(huán)；6—反力架；7—夾具和傳感器

1 抗拔錐體數(shù)學(xué)模型

鋼筋機(jī)械錨固所主要利用的混凝土抗拔錐體更近似于圓臺(tái)，亦即被截除一個(gè)上部小圓錐的錐體，所以這個(gè)混凝土抗拔錐體的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該用圓臺(tái)來(lái)描述，如圖2所示。

圖2 鋼筋機(jī)械錨固抗拔圓臺(tái)1—錨筋；2—被拔出的混凝土錐；3—圓臺(tái)上底半徑r；4—圓臺(tái)高度h；5—圓臺(tái)下底半徑R；6—圓臺(tái)母線(xiàn)長(zhǎng)l

根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50010-2010[3]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)GB 50010-2010）第8.3.3條的要求，鋼筋機(jī)械錨固錨頭承壓凈面積不應(yīng)小于錨固鋼筋截面積的4倍。鋼筋機(jī)械錨固常見(jiàn)的圓形承壓面錨頭最小外徑就是圓臺(tái)上底半徑：

式中，r為圓臺(tái)上底半徑；d為錨固鋼筋的直徑。

圓臺(tái)高度，實(shí)際就是鋼筋機(jī)械錨固的有效錨固深度hef，在本討論中暫定為未知數(shù)。

根據(jù)《鋼筋機(jī)械錨固試驗(yàn)條件》[1]確定的混凝土抗拔錐體沖切裂面夾角55°，可以推導(dǎo)出圓臺(tái)下底半徑：

式中，R為圓臺(tái)下底半徑；hef為鋼筋機(jī)械錨固的有效錨固深度。

圓臺(tái)母線(xiàn)長(zhǎng)l：根據(jù)式（2）可以推導(dǎo)出圓臺(tái)母線(xiàn)長(zhǎng)：

式中，l為圓臺(tái)母線(xiàn)長(zhǎng)；h為圓臺(tái)高度。

由此得到圓臺(tái)側(cè)面積S1：

式中，S1為圓臺(tái)側(cè)面積；π為圓周率；d為錨固鋼筋的直徑。

2 力學(xué)平衡數(shù)學(xué)模型

在理想狀態(tài)下，鋼筋機(jī)械錨固利用錨頭將鋼筋所受拉力傳遞給抗拔錐體，通過(guò)混凝土抗拔錐體的錐形面?zhèn)鬟f抗拔錐體與錨固區(qū)混凝土之間的應(yīng)力。鋼筋機(jī)械錨固方式中混凝土發(fā)生的是崩裂破壞，裂面從錨固端頭向錨固界面發(fā)展，抗拔錐體頂部的混凝土裂面形成過(guò)程就是混凝土壓應(yīng)力在機(jī)械錨頭承壓面擴(kuò)散的過(guò)程[2]，在這過(guò)程中混凝土實(shí)際上是在主拉應(yīng)力作用下被撕裂形成抗拔錐體的錐面。

鑒于目前國(guó)內(nèi)外對(duì)采用混凝土抗拉強(qiáng)度來(lái)驗(yàn)算沖切、劈裂等做法普遍認(rèn)同，我們假設(shè)抗拔錐體的錐裂面上拉應(yīng)力之和正好等于錨筋所受拉力，由此建立鋼筋機(jī)械錨固中混凝土抗拔錐體與錨筋所受拉力之間的力學(xué)平衡數(shù)學(xué)模型也應(yīng)該不存在其他不可忽略的差異。錨筋所受拉力為：

式中：Nt為錨筋所受拉力；fy為鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

混凝土抗拔錐面拉應(yīng)力總和NRC：混凝土抗拔錐體側(cè)面上產(chǎn)生的拉應(yīng)力總和，應(yīng)該等于混凝土抗拔錐體側(cè)面面積S1乘以混凝土的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值ft：

式中：NRC為混凝土抗拔錐面拉應(yīng)力總和；ft為混凝土的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

這里補(bǔ)充說(shuō)明一點(diǎn)，在確定混凝土抗拔錐面拉應(yīng)力總和NRC時(shí)，采用了混凝土的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值ft這個(gè)指標(biāo)，是因?yàn)殇摻顧C(jī)械錨固所利用的抗拔錐體的錐角是55°[1]，比45°大，所以抗拔錐體被錐形拔出過(guò)程中，混凝土抗拔錐面經(jīng)歷的更多是受拉狀態(tài)。國(guó)內(nèi)相關(guān)試驗(yàn)研究[4-5]均提到了鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)錨固強(qiáng)度，其提到的這個(gè)參數(shù)的數(shù)值均高于GB50010-2010[3]給定的混凝土抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值（見(jiàn)表1），高出數(shù)值均大于規(guī)范給定值的50%。而實(shí)際上，只要鋼筋表面特性和混凝土強(qiáng)度等級(jí)確定，鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)錨固作用是在一定范圍內(nèi)基本穩(wěn)定的[2]，即使在一些非系統(tǒng)性影響因素干擾下其波動(dòng)都不會(huì)很大。由此也可以判定，國(guó)內(nèi)相關(guān)試驗(yàn)研究[4-5]在方法上是值得商榷的。

在臨界狀態(tài)下，混凝土抗拔錐面拉應(yīng)力總和應(yīng)該總是與錨筋所受拉力相等，即NRC=Nt，以實(shí)現(xiàn)力的平衡，將式（5）和式（6）代入NRC=Nt這個(gè)等式，即形成鋼筋機(jī)械錨固中混凝土抗拔錐體與錨筋所受拉力之間的力學(xué)平衡數(shù)學(xué)模型：

3 錨固深度數(shù)學(xué)模型

在混凝土強(qiáng)度等級(jí)、鋼筋級(jí)別和直徑都確定的條件下，利用鋼筋機(jī)械錨固中混凝土抗拔錐體與錨筋所受拉力之間的力學(xué)平衡數(shù)學(xué)模型，實(shí)際上就限定了混凝土抗拔錐體側(cè)面的最小面積，將式（4）代入式（7），我們就可以得到一個(gè)以鋼筋機(jī)械錨固深度hef為未知數(shù)的方程：

將式（8）進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到一個(gè)以鋼筋機(jī)械錨固深度hef為未知數(shù)的一元二次方程：

這個(gè)一元二次方程的正根就是理想狀態(tài)下鋼筋機(jī)械錨固深度的數(shù)學(xué)模型：

式（10）即為理想狀態(tài)下鋼筋機(jī)械錨固深度的數(shù)學(xué)模型，在這個(gè)計(jì)算式中，鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fy、混凝土抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值ft均可以在我國(guó)現(xiàn)行規(guī)范GB 50010-2010[3]中查取。這個(gè)數(shù)學(xué)模型的工程含義即為：在鋼筋級(jí)別和直徑、混凝土強(qiáng)度等級(jí)確定時(shí)，利用式（10）可以計(jì)算得出理想狀態(tài)下鋼筋機(jī)械錨固的最小錨固深度。

4 數(shù)學(xué)模型試算

筆者在《鋼筋機(jī)械錨固試驗(yàn)條件研究》[1]一文中推薦鋼筋機(jī)械錨固性能研究的一種試驗(yàn)條件，并同時(shí)強(qiáng)調(diào)，試驗(yàn)應(yīng)在鋼筋機(jī)械錨固深度數(shù)學(xué)模型初步建立之后進(jìn)行，原因在于這樣能夠從理論上初步估計(jì)鋼筋的最小機(jī)械錨固深度，才可以相對(duì)精確地設(shè)計(jì)鋼筋機(jī)械錨固性能試驗(yàn)?，F(xiàn)以結(jié)構(gòu)工程中常用的鋼筋級(jí)別和規(guī)格、混凝土強(qiáng)度等級(jí)的相關(guān)參數(shù)代入式（10），估算理想狀態(tài)下鋼筋機(jī)械錨固性能試驗(yàn)研究所應(yīng)考慮的最小錨固深度。

根據(jù)GB 50010-2010[3]確定混凝土抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值ft（見(jiàn)表1）。

根據(jù)GB 50010-2010[3]確定普通鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fy（見(jiàn)表2）。

將表1、表2數(shù)值代入式（10），試算出理想狀態(tài)下鋼筋機(jī)械錨固最小深度與鋼筋直徑d之間的關(guān)系（見(jiàn)表3）。

表1 混凝土軸心抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值單位：N/mm2

表2 普通鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值單位：N/mm2

表3 理想狀態(tài)下鋼筋最小機(jī)械錨固深度

表3中的數(shù)值看起來(lái)非常小，是因?yàn)楸疚挠懻摰氖抢硐霠顟B(tài)下的鋼筋機(jī)械錨固深度數(shù)學(xué)模型，實(shí)際工程運(yùn)用中會(huì)有很多因素產(chǎn)生不利影響。比如混凝土的非勻質(zhì)性因素，錨筋位于錨固體邊緣導(dǎo)致抗拔錐體不完整因素，錨筋間距小于抗拔錐底面直徑時(shí)的群錨因素等等，這些因素都會(huì)影響鋼筋機(jī)械錨固的工作性能。筆者將在相關(guān)試驗(yàn)之后考慮這些因素進(jìn)一步研究鋼筋機(jī)械錨固深度的確定方法，以期更科學(xué)地確定運(yùn)用于工程實(shí)踐中的鋼筋機(jī)械錨固深度。

5 結(jié)語(yǔ)

理想狀態(tài)下的鋼筋機(jī)械錨固深度的數(shù)學(xué)模型，基于鋼筋機(jī)械錨固基本原理[2]和鋼筋機(jī)械錨固所利用的混凝土抗拔錐體的幾何形態(tài)[1]，以及本文提到的鋼筋機(jī)械錨固中混凝土抗拔錐體與錨筋所受拉力之間的力學(xué)平衡關(guān)系而建立。此數(shù)學(xué)模型對(duì)進(jìn)一步的鋼筋機(jī)械錨固性能試驗(yàn)設(shè)計(jì)具有重要意義[6]，因?yàn)橹挥型笍氐卣J(rèn)識(shí)鋼筋機(jī)械錨固的科學(xué)本質(zhì)，才有可能進(jìn)行對(duì)工程實(shí)踐有探索意義的試驗(yàn)研究。而欲在工程實(shí)際運(yùn)用中經(jīng)濟(jì)合理地使用鋼筋機(jī)械錨固，還要建立在大量的科學(xué)試驗(yàn)研究基礎(chǔ)之上。

[1]趙剛，鄒專(zhuān)習(xí).鋼筋機(jī)械錨固試驗(yàn)條件研究[J].工程質(zhì)量，2015（2）：48-51.

[2]趙剛，雷玲.鋼筋直錨與機(jī)械錨固異同[J].建筑技術(shù)開(kāi)發(fā)，2014（7）：40-43.

[3]中國(guó)建筑科學(xué)研究院.GB50010-2010混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2010.

[4]劉立新，王莉荔.熱軋帶肋鋼筋機(jī)械錨固性能的試驗(yàn)研究[J].建筑結(jié)構(gòu)，2009（S1）：895-898.

[5]陳朝霞，李雪，戎賢.HRB500鋼筋機(jī)械錨固性能的試驗(yàn)研究[J].河北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，40（2）：97-100.

[6]趙剛，鄧軍生.帶彎鉤的鋼筋錨固[J].建筑安全，2014（12）：29-31.

責(zé)任編輯：孫蘇，李紅

Reinforcing Steel BarMechanicalAnchorMathematicalModel

該文基于鋼筋機(jī)械錨固基本原理和鋼筋機(jī)械錨固所利用的混凝土抗拔錐體的幾何形態(tài)，以及鋼筋機(jī)械錨固中混凝土抗拔錐體與錨筋所受拉力之間的力學(xué)平衡關(guān)系，建立理想狀態(tài)下的鋼筋機(jī)械錨固的錐體數(shù)學(xué)模型、力學(xué)模型和錨固深度數(shù)學(xué)模型，并就錨固深度數(shù)學(xué)模型進(jìn)行試算，得出理想狀態(tài)下鋼筋機(jī)械錨固最小深度臨界值，為進(jìn)行科學(xué)的鋼筋機(jī)械錨固試驗(yàn)提供參考。

鋼筋；機(jī)械錨固；數(shù)學(xué)模型；混凝土抗拔錐體；混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

Based on thebasic principlesofand thegeometrical form of concrete anti-draw ing cone used by reinforcedmechanicalanchorage,aswellas themechanical equilibrium relationship between the concrete anti-draw ing cone and the tensile strength of the anchor bar,this paper establishes the mathematic conemodel,mechanicalmodeland anchorage depthmodel under an ideal state,and doesa trial calculation to the anchorage depthmodel, obtaining them inimum criticaldepth valueof themechanicalanchorage for reference.

steelbar;mechanicalanchorage;mathematicalmodel;concreteanti-drawing cone;design of reinforced concrete structure

TU 375

A

1671-9107（2017）07-0038-03

10.3969／j.issn.1671-9107.2017.07.038

2017-04-16

趙剛（1975-），男，重慶人，本科，高級(jí)工程師，講師，主要從事建筑施工技術(shù)管理工作。