2017年高考概率統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)預(yù)測(cè)

王位高

從近三年全國(guó)高考新課標(biāo)卷概率統(tǒng)計(jì)試題來(lái)看，無(wú)論是文科卷還是理科卷，都是1道客觀題和1道解答題，分值為17分，試題的題量、題型、分值都很穩(wěn)定.

一、考情分析

概率統(tǒng)計(jì)試題對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考查較為全面，以理科數(shù)學(xué)為例，考點(diǎn)覆蓋了概率統(tǒng)計(jì)必修與選修的各個(gè)章節(jié)內(nèi)容，考查了抽樣方法，統(tǒng)計(jì)圖表，數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，用樣本估計(jì)總體，回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，古典概型，幾何概型，條件概率，相互獨(dú)立事件的概率，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差，超幾何分布，二項(xiàng)分布，正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.

二、熱門考點(diǎn)預(yù)測(cè)

熱點(diǎn)1 ：隨機(jī)抽樣

例1.某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150，120，180，150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個(gè)大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（ ）

A. 分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法

B. 分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

C. 系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法

D. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法

解析：一般甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好.在丙地區(qū)中抽取的樣本個(gè)數(shù)較少，易采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.答案選B.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣這三種抽樣的區(qū)別.

例2. 某中學(xué)采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校高一年級(jí)全體800名學(xué)生中抽取50名學(xué)生做牙齒健康檢查.現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號(hào).已知從33～48這16個(gè)數(shù)中抽到的數(shù)是39，則在第1小組1～16中隨機(jī)抽到的數(shù)是（ ）

A. 5 B. 7 C. 11 D. 13

解析：間隔數(shù)k=■=16，即每16人抽取一個(gè)人.由于39=2×16+7，所以第1小組中抽取的數(shù)為7. 答案選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查系統(tǒng)抽樣的計(jì)算，系統(tǒng)抽樣中，易忽視抽取的樣本數(shù)也就是分段的段數(shù)，當(dāng)■不是整數(shù)時(shí)，注意剔除，剔除的個(gè)體是隨機(jī)的，各段入樣的個(gè)體編號(hào)成等差數(shù)列.

熱點(diǎn)2：用樣本估計(jì)總體

例3. 從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若要從身高在[120，130），[130，140），[140，150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

解析：依題意可得10×（0.005+0.01+0.02+a+0.035）=1，則a=0.03. 所以身高在[120，130），[130，140），[140，150]三組內(nèi)的學(xué)生比例為3∶2∶1.所以從身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為3. 答案選C.

點(diǎn)評(píng)：1.看頻率分布直方圖時(shí)需注意：（1）各組的頻率之和為1；（2）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是■，而不是頻率；2.由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握下列關(guān)系式：（1）■×組距=頻率.（2）■=頻率，此關(guān)系式的變形為■=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數(shù).

例4. 如圖是2017年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評(píng)委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為（ ）

A. 85，84 B. 84，85

C. 86，84 D. 84，86

解析：由圖可知，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為84，84，84，86，87.∴平均數(shù)為■=85，眾數(shù)為84. 答案選A.

點(diǎn)評(píng)：莖葉統(tǒng)計(jì)圖中莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好.繪制莖葉圖時(shí)需注意：（1）“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；（2）重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù).

熱點(diǎn)3：變量的相關(guān)性、統(tǒng)計(jì)案例

例5. 某單位共有名員工，他們某年的收入如下表：

已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為3萬(wàn)元、4.5萬(wàn)元、5.6萬(wàn)元、7.2萬(wàn)元，預(yù)測(cè)該員工第五年的年薪為________.

附：線性回歸方程 ■= ■x+■ 中系數(shù)計(jì)算公式分別為：

■=■，■ =■-■■，其中■、■為樣本均值.

解析：設(shè)xi，yi（i=1，2，3，4）分別表示工作年限及相應(yīng)年薪，則■=2.5， ■=5，

■（xi-■）2=2.25+0.25+0.25+2.25=5.

■（xi-■）（yi-■）=-1.5×（-2）+（-0.5）×（-0.8）+0.5×0.6+1.5×2.2=7.

■=■=■=1.4.

■ =■-■■=5-1.4×2.5=1.5.

由線性回歸方程：y=1.4x+1.5. 可預(yù)測(cè)該員工年后的年薪收入為8.5萬(wàn)元.

點(diǎn)評(píng)：考綱中對(duì)“變量的相關(guān)性”要求，有兩個(gè)“會(huì)”、一個(gè)“了解”、一個(gè)“能”，是一個(gè)完整的作散點(diǎn)圖、求回歸方程，并給出回歸分析的統(tǒng)計(jì)過(guò)程，試題常體會(huì)在“會(huì)”、“能”兩個(gè)要求上，不要求記憶線性回歸方程系數(shù)公式，而對(duì)于統(tǒng)計(jì)案例，不要求記憶獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2值的計(jì)算公式，能根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果給出獨(dú)立性檢驗(yàn)結(jié)論即可.

熱點(diǎn)4：古典概型

例6. 某學(xué)校為了提高學(xué)生的安全意識(shí)，防止安全事故的發(fā)生，擬在未來(lái)連續(xù)7天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3天中恰好有2天連續(xù)的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解析：連續(xù)7天中隨機(jī)選擇3天，有C37=35種情況，其中恰好有2天連續(xù)，有4+3+3+3+3+4=20種情況，所以所求的概率為■=■，答案選D.

點(diǎn)評(píng)：計(jì)算古典概型事件的概率三步驟： 1.算出基本事件的總個(gè)數(shù)n；2.求出事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；3.代入公式P（A）=■求出概率P. 理科試題一般會(huì)結(jié)合排列組合知識(shí)求事件數(shù).

熱點(diǎn)5：條件概率

例7. 某班從6名班干部（其中男生4人，女生2人）中選3人參加學(xué)校青年志愿者的競(jìng)選.在男生甲被選中的情況下，則女生乙也被選中的概率為________.

解析：設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則P（A）=■=■，P（AB）=■=■，∴P（B|A）=■=■. 故在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為■.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查條件概率的計(jì)算，有兩種方法：1.定義法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）=■，求P（B|A）；2.基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí)，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n（AB），得P（B|A）=■. 2014年全國(guó)卷II以選擇題形式考查過(guò)條件概率，只能用條件概率的定義法求解.

熱點(diǎn)6：幾何概型

例8. 設(shè)不等式組0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

解析：題目中0≤x≤2，0≤y≤2表示的區(qū)域表示正方形區(qū)域，而動(dòng)點(diǎn)D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一的圓的面積部分，因此P=■=■，答案選D.

點(diǎn)評(píng)：本題立意簡(jiǎn)潔清新，將線性規(guī)劃和幾何概型（事件區(qū)域的度量為面積）自然結(jié)合，訓(xùn)練解題基本功. 2016年全國(guó)I卷以選擇題形式考查了幾何概型（事件區(qū)域的度量為長(zhǎng)度），幾何概型值得重視.

熱點(diǎn)7：正態(tài)分布

例9. 抽樣調(diào)查表明，某校高三學(xué)生成績(jī)（總分750分）X近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?00分. 已知P（400

解析：由下圖可以看出P（550

點(diǎn)評(píng)：正態(tài)分布的問(wèn)題的考查無(wú)非是符號(hào)本身的認(rèn)識(shí)以及圖像的了解.解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解，要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用.1.利用試題提供的P（μ-σ

熱點(diǎn)8：隨機(jī)變量及其分布列

例10. 調(diào)查表明：甲種農(nóng)作物的長(zhǎng)勢(shì)與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性，現(xiàn)將這三項(xiàng)的指標(biāo)分別記為x，y，z，并對(duì)它們進(jìn)行量化：0表示不合格，1表示臨界合格，2表示合格，再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評(píng)定這種農(nóng)作物的長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)，若ω≥4，則長(zhǎng)勢(shì)為一級(jí)；若2≤ω≤3，則長(zhǎng)勢(shì)為二級(jí)；若0≤ω≤1，則長(zhǎng)勢(shì)為三級(jí)，為了了解目前這種農(nóng)作物長(zhǎng)勢(shì)情況，研究人員隨機(jī)抽取10塊種植地，得到如下表中結(jié)果：

（Ⅰ）在這10塊該農(nóng)作物的種植地中任取兩塊地，求這兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率；

（Ⅱ）從長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)是一級(jí)的種植地中任取一塊地，其綜合指標(biāo)為A，從長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)不是一級(jí)的種植地中任取一塊地，其綜合指標(biāo)為B，記隨機(jī)變量X=A-B，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

解析：（Ⅰ）由表可知：空氣濕度指標(biāo)為1的有A2， A4，A5，A7， A9，A10.

空氣濕度指標(biāo)為2的有A1，A3，A6，A8，

在這10塊種植地中任取兩塊地，基本事件總數(shù)n=C210=■=45.

這兩塊地的空氣溫度的指標(biāo)z相同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C26=C24=■+■=21.

∴這兩地的空氣溫度的指標(biāo)z相同的概率P=■=■=■.

（Ⅱ）由題意得10塊種植地的綜合指標(biāo)如下表：

其中長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)是一級(jí)（ω≥4）有A1 ， A2，A3，A5， A6，A8， A9，共7個(gè)，

長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)不是一級(jí)（ω<4）的有A4， A7， A10，共3個(gè)，

隨機(jī)變量X=A-B的所有可能取值為1， 2，3，4， 5，

w=4的有A1 ， A2，A5， A6，A9共5塊地，w=3的有A7， A10共2塊地，

這時(shí)有X=4-3=1.

所以P（x=1）=■=■，同理P（x=2）=■=■，P（x=3）=■=■，P（x=4）=■=■，P（x=5）=■=■，

∴ X的分布列為：

E（X）=1×■+2×■+3×■+4×■+5×■=■.

點(diǎn)評(píng)：1.求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是分析清楚隨機(jī)變量的取值有多少，并且正確求出隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率.2.在求解隨機(jī)變量概率值時(shí)，注意結(jié)合計(jì)數(shù)原理、古典概型、二項(xiàng)分布、超幾何分布等知識(shí)求解.

例11. 某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：

若基地額外聘請(qǐng)工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù).無(wú)雨時(shí)收益為20萬(wàn)元；有雨時(shí)，收益為10萬(wàn)元.額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬(wàn)元.

已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬(wàn)元的概率為0.36.

（I）若不額外聘請(qǐng)工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益；

（II）該基地是否應(yīng)該外聘工人，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（I）設(shè)下周一有雨的概率為P，由題意，p2=0.36，p=0.6，基地收益X的可能取值為20，15，10，7.5，則P（X=20）=0.36，P（X=15）=0.24，P（X=10）=0.24，P（X=7.5）=0.16，∴基地收益X的分布列為：

E（X）=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4，

∴基地的預(yù)期收益為14.4萬(wàn)元.

（II）設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬(wàn)元，

則其預(yù)期收益E（Y）=20×0.6+10×0.4-a=16-a 萬(wàn)元，

E（Y）-E（X）=16-a，

綜上，當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于1.6萬(wàn)元時(shí)，不外聘工人；

成本低于1.6萬(wàn)元時(shí)，外聘工人；

成本恰為1.6萬(wàn)元時(shí)，是否外聘工人均可以.

點(diǎn)評(píng)：均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉，由此可對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策判斷；若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.

全國(guó)卷I概率統(tǒng)計(jì)題綜合性強(qiáng)，客觀題經(jīng)常將古典概型與計(jì)數(shù)原理、排列組合知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查，將幾何概型與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃、定積分知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查；解答題經(jīng)常以抽樣問(wèn)題為背景，以頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖、散點(diǎn)圖等統(tǒng)計(jì)圖表為載體，以能力為立意，將統(tǒng)計(jì)知識(shí)與概率知識(shí)、函數(shù)知識(shí)綜合考查.同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)備考時(shí)要注意認(rèn)真審題，提高閱讀理解能力，才能奪取概率統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容的高分.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)