嚴(yán)榮江

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題主要是指對(duì)某些數(shù)學(xué)問題的深入探討，或者按數(shù)學(xué)思維方式對(duì)某些日常生活中和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究。要充分體現(xiàn)學(xué)生的自主活動(dòng)和合作活動(dòng)。

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)有機(jī)組成部分，是在基礎(chǔ)性、拓展性課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)的和現(xiàn)實(shí)的問題的一種有意義的主動(dòng)學(xué)習(xí)，是以學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，主動(dòng)探索實(shí)踐和相互交流為主要學(xué)習(xí)方式的學(xué)習(xí)研究活動(dòng)。

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的課題的主要形式是數(shù)學(xué)開放題。無論是改造舊題，還是自創(chuàng)新題，編制數(shù)學(xué)開放題都要圍繞使用開放題的目的進(jìn)行，開放題應(yīng)隨著使用目的和對(duì)象的變化而變化，應(yīng)作為常規(guī)問題的補(bǔ)充，在研究型課程中適合學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的開放題應(yīng)具備起點(diǎn)低、入口寬、可拓展性強(qiáng)的特點(diǎn)。

總之，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的課題設(shè)計(jì)的思考要遵循以下幾點(diǎn)：

（1）課題要面向?qū)嶋H， 不宜搞空中樓閣；

（2）課題要小型短期， 不宜貪大求全；

（3）課題要難易適度， 不宜好高鶩遠(yuǎn)；

（4）課題要便于得到指導(dǎo)， 不宜孤軍作戰(zhàn)；

（5）課題要有認(rèn)知基礎(chǔ)， 不宜成“ 無源之水”；

（6）課題要結(jié)合學(xué)生興趣特長， 不宜盲目跟隨；

（7）課題要重視科學(xué)創(chuàng)新， 不宜老調(diào)重彈

中學(xué)的時(shí)候我們就學(xué)習(xí)了關(guān)于這一類問題的解題方法，下面我將結(jié)合大學(xué)有關(guān)知識(shí)，歸納解決知識(shí)探究型、學(xué)術(shù)研究型、社會(huì)調(diào)查型和創(chuàng)造發(fā)明型的方法。

一、知識(shí)探究型

知識(shí)探究型是研究課題中的最低層次。學(xué)生學(xué)到某一方面的知識(shí)， 在教師指定下拓寬學(xué)習(xí)范圍， 獲得學(xué)習(xí)體驗(yàn)， 甚至形成學(xué)習(xí)報(bào)告。學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從自然、社會(huì)和生活中選擇和確定專題進(jìn)行研究并在研究過程中主動(dòng)地獲取知識(shí)，以解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)；探究型學(xué)習(xí)是通過學(xué)生嘗試對(duì)問題解決的過程，來獲取知識(shí)、提升能力、形成價(jià)值觀的學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)對(duì)所學(xué)知識(shí)、技能的實(shí)際運(yùn)用，注重學(xué)習(xí)的過程和學(xué)生的實(shí)踐與體驗(yàn)。

1.求角

有一道小學(xué)智力競(jìng)賽問題：現(xiàn)有一個(gè)19°的模板（圖3）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種辦法只用這個(gè)模板和鉛筆在紙上畫出

1°的角來。

這個(gè)問題不少學(xué)生都會(huì)抓住19°×19=361°比360°多1°的特點(diǎn)機(jī)智地給出解答。

作為學(xué)生“會(huì)作了”一般就完事大吉了，很少有人能夠深入地反思，因此放過了研究探索的契機(jī)。作為教師這時(shí)候應(yīng)該不失時(shí)機(jī)地

發(fā)揮指導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生去思索：

（1）現(xiàn)有一個(gè)17°的模板和鉛筆你能否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？

（2）用一個(gè)21°的模板和鉛筆你能否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？

對(duì)（1）（2）兩問，如果能，請(qǐng)你簡(jiǎn)述畫法步驟：如果不能。請(qǐng)你說明理由。

通過思索、討論，學(xué)生可以小結(jié)，具有怎樣整數(shù)度數(shù)的模板可以畫出1°的角，哪些整數(shù)度數(shù)的模板不能畫出1°的角。

于是問題的一般形式是：

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)“α°角模板”（ α°取15°～60°范圍的整數(shù)度數(shù)），用這個(gè)模板可以畫出1°的角來。

用數(shù)學(xué)語言表述為：是否存在整數(shù)x，y使得αx-180y=1

進(jìn)一步一般化可得到定理：不定方程ax+by=c存在整數(shù)解（a、b為正整數(shù)，c為整數(shù)）的充分必要條件是d∣c，其中的d=（a，b）。

在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生可以初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)角度去認(rèn)識(shí)世界，解決實(shí)際問題，掌握數(shù)學(xué)的思維方法，得做研究、做數(shù)學(xué)的美妙感受。由此我們知道，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的學(xué)習(xí)有著明顯的區(qū)別。

2.線面垂直的判定定理：

設(shè)aα， bα，a ∩b = O ， l ⊥a ， l ⊥b ，則l⊥α.

在日常生活中，對(duì)線面垂直的感性認(rèn)識(shí)是很多的。比如說，旗桿與地面、屋梁與墻面垂直等。那么如何來判定呢？讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的三角形紙片，過定點(diǎn)A翻折該紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片放置在水平的桌面上（如圖1），并請(qǐng)學(xué)生觀察，折痕AD是否與桌面垂直？

如何翻折才能使得AD與桌面垂直呢？在動(dòng)手操作的過程中，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)：當(dāng)且僅當(dāng)折痕是BC邊上的高時(shí)，翻折之后折痕才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2）。這又是為什么呢？課堂的教學(xué)自然而然地進(jìn)入到了一個(gè)“數(shù)學(xué)問題”的研究：因?yàn)椤虰D且AD⊥DC，這樣看來，似乎應(yīng)有以下結(jié)論：AD應(yīng)與桌面垂直。

那么能不能再退一步，即折痕AD與桌面上的一條直線垂直，能否保證AD垂直桌面？讓學(xué)生再動(dòng)手試一試。我們將折線展平并讓它豎起來，就發(fā)現(xiàn)：盡管有AD⊥BD，但紙張并不能穩(wěn)穩(wěn)地豎立在桌面上，看來AD還要與平面上的DC垂直。

在學(xué)生自己的操作體驗(yàn)中，一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)定理直觀地展示在學(xué)生的面前，而不再是“從魔術(shù)師的帽子中突然蹦出一只兔子來”。

二、結(jié)語

對(duì)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的課題， 既要是學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合與實(shí)際應(yīng)用， 又要對(duì)學(xué)生探究和解決問題有較好的訓(xùn)練價(jià)值。所以數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的課題要遵循價(jià)值性、問題性、現(xiàn)實(shí)性、科學(xué)性和激趣性原則。

在實(shí)施數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)時(shí)，課題可以在課堂上或課外布置給學(xué)生，讓學(xué)生在課后進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，收集信息資料做研究，可一人研究，也可以幾人合作，教師可作適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥指導(dǎo)，然后在課堂上進(jìn)行交流，教師主要是做聽眾，也可發(fā)表意見、見解或提出疑問，不要追求結(jié)論的完美，要重視學(xué)生的參與過程。