楊春志，向偉，李寧

（淮南師范學(xué)院金融學(xué)院，安徽 淮南 232038）

淺析數(shù)學(xué)方法在數(shù)理金融課程中的應(yīng)用

楊春志，向偉，李寧

（淮南師范學(xué)院金融學(xué)院，安徽 淮南 232038）

隨著應(yīng)用型金融人才的社會(huì)需求量的不斷增加，許多高校開設(shè)了數(shù)理金融專業(yè)課程。為了了解數(shù)理金融的數(shù)學(xué)思想，針對(duì)數(shù)理金融中的不同案例，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析、常微分方程和概率論與線性代數(shù)的相關(guān)定理，求解案例中的相關(guān)問題。通過案例分析，有助于掌握數(shù)學(xué)思想在數(shù)理金融中的實(shí)際應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)分析能力。

數(shù)理金融；數(shù)學(xué)方法；案例；分析

引言

數(shù)理金融學(xué)是數(shù)學(xué)與金融學(xué)相結(jié)合產(chǎn)生的一門新興的學(xué)科①張?jiān)?《數(shù)理金融》，北京：中國金融出版社，2004年?？追睬铮嫌绖伲骸陡咝?shù)理金融課程教學(xué)方法的改革與研究》，《經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊》2011年第6期，第290-291頁。任嘉嵩：《地方高校金融專業(yè)教學(xué)中數(shù)理分析能力的強(qiáng)化與培養(yǎng)》，《金融教育研究》2014年第27期，第69-71頁。顧鋒娟，徐愛民：《數(shù)理金融專業(yè)課程群體系與教學(xué)模式構(gòu)建的思考》，《課程教學(xué)》2015年第7期，第112-114頁。。在金融交易過程中，度量相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)和收益這一需求促進(jìn)了數(shù)學(xué)在金融活動(dòng)中的應(yīng)用。可以說，數(shù)理金融將數(shù)理概念融入金融分析方法中，使之豐富，并能夠揭示金融市場(chǎng)的內(nèi)在機(jī)理，推動(dòng)金融制度創(chuàng)新。數(shù)理金融學(xué)的最大特點(diǎn)是通過建模、模型分析來解釋和研究金融問題。例如資本資產(chǎn)定價(jià)模型，它運(yùn)用組合理論確定了一條可供投資者選擇的有效邊界，使得邊界上每一點(diǎn)都具有風(fēng)險(xiǎn)水平低、受益較大的特點(diǎn)。而布萊克-斯科爾斯公式是數(shù)理金融學(xué)又一重大突破，它將期權(quán)定價(jià)歸結(jié)為求隨機(jī)微分方程的解，從而導(dǎo)出與實(shí)際相吻合的計(jì)算公式，它使得人們可以通過數(shù)學(xué)分析了解投資時(shí)機(jī)。布萊克-斯科爾斯的理論不僅在金融領(lǐng)域，在工業(yè)界也有應(yīng)用，例如美國通用汽車公司，就把該理論運(yùn)用到引入新的生產(chǎn)工藝或新產(chǎn)品的投資決策中，取得很好的效果。隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，社會(huì)對(duì)數(shù)理金融人才，特別是在貨幣市場(chǎng)、外匯市場(chǎng)和證券市場(chǎng)等領(lǐng)域的需求量也就越來越多，但目前，許多地方高校金融專業(yè)以宏觀性和理論性為培養(yǎng)方向，在教學(xué)中忽視對(duì)學(xué)生數(shù)理分析能力的培養(yǎng)。所以需要高校數(shù)理金融課程對(duì)數(shù)學(xué)思想的進(jìn)行灌輸，要系統(tǒng)、針對(duì)性地講授與數(shù)學(xué)結(jié)合比較緊密的知識(shí)點(diǎn)，從而使得數(shù)學(xué)在數(shù)理金融課程中發(fā)揮更大的作用；對(duì)某些理論性較強(qiáng)的章節(jié)，應(yīng)采取先介紹知識(shí)背景，再列舉相關(guān)的金融案例，使得學(xué)生理解金融業(yè)務(wù)中所需要的方法和技術(shù)手段。

一、數(shù)理金融的積分思想

在經(jīng)濟(jì)管理中，希望生產(chǎn)利潤和產(chǎn)出水平盡可能大，而生產(chǎn)成本和環(huán)境污染盡可能小，因而需要做出經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最優(yōu)判斷。運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)極值條件就可解決類似問題。

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二、數(shù)理金融的微分方程思想

微分方程可以求解市場(chǎng)均衡模型的動(dòng)態(tài)平衡點(diǎn)，描述不同經(jīng)濟(jì)條件下的價(jià)格增長(zhǎng)的趨勢(shì)，也可以估計(jì)資本函數(shù)，并能根據(jù)邊際成本函數(shù)、邊際收入函數(shù)估計(jì)出總的收益函數(shù)。

結(jié)論2.1①王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松：《常微分方程》(第二版)，北京：高等教育出版社，1983年。：若變量分離方程,其中f(x)g(y)分別是x,y的連續(xù)函數(shù)，則方程通解為；若一階非齊線性方程為(x)y+Q(x)，其中P(x),Q(x)分別是x的連續(xù)函數(shù)，則方程通解為

案例2：假設(shè)總體需求為Y，且邊際儲(chǔ)蓄傾向s和邊際資本-產(chǎn)出率k為常數(shù)，求可達(dá)預(yù)計(jì)增長(zhǎng)的投資函數(shù)I。

分析：由于投資的變化率×1=總體需求的變

當(dāng)生產(chǎn)能力充分利用時(shí)總體需求的變化等于資本存量的變化，故

案例3：給定需求函數(shù)Q1(t)=5-3P，供給函數(shù)Q2=3+4P，若價(jià)格的變化率與超額需求成正比，則均衡價(jià)格為

分析：假設(shè)價(jià)格的變化率與超額需求成正比且比值為k(k>0)，則，由定理2.2，得

三、數(shù)理金融的線代與概率論思想

線性代數(shù)作為一個(gè)將復(fù)雜多元方程簡(jiǎn)單化求解的數(shù)學(xué)工具，對(duì)分析多種變量相互影響而產(chǎn)生復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的經(jīng)濟(jì)問題有著重要的作用。而概率論中期望、方差與協(xié)方差矩陣法、偏好與期望效用函數(shù)思想的應(yīng)用得以充分體現(xiàn)。

結(jié)論3.1②同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系：《線性代數(shù)》(第五版)，北京：高等教育出版社，2007年。：若二元函數(shù)f(x,y)在p0(x0,y0)處某鄰域具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，記其中fxy=fyx，如果順序主子式取到極小值，若|H1(P0)|<0，|H2(P0)|> 0，則f(x,y)在P0(x0,y0)取到極大值。

案例4：已知價(jià)格函數(shù)和總成本函數(shù)為：P1=-利潤的最大值。

分析：（1）由P1=-3Q1+2Q2+20和P2=5Q1-2.5Q2-5，可知利潤函數(shù)為

由定理3.2知利潤可以取到最大值。

結(jié)論3.2①張?jiān)迹骸稊?shù)理金融》，北京：中國金融出版社，2004年。：投資組合選擇理論。

不確定性在金融市場(chǎng)無處不在。譬如投資風(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)就是未來實(shí)際收益與預(yù)期收益之間的偏離程度在數(shù)學(xué)上，人們常把股票的未來價(jià)格看成一個(gè)隨機(jī)變量或隨機(jī)過程。由于不同證券、不同時(shí)期的股票價(jià)格不可比較，便將價(jià)格序列轉(zhuǎn)化成百分?jǐn)?shù)表示的可比較的收益率序列。把收益率看成一個(gè)隨機(jī)變量或隨機(jī)過程，更便于數(shù)學(xué)處理。費(fèi)雪曾提出未來資產(chǎn)收益的不確定性可以用概率分布來描述。收益率的概率分布實(shí)際上描述了一項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境。這樣一來，人們可以用收益率R的數(shù)學(xué)期望E (R)作為未來收益率的點(diǎn)值預(yù)測(cè)，把R的方D(R)=σ2作為度量未來實(shí)際收益率與預(yù)期收益率之間偏離程度的數(shù)字特征，即用方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)來度量投資風(fēng)險(xiǎn)的大小。

投資組合就是對(duì)一定數(shù)量的風(fēng)險(xiǎn)因素持有量的組合。當(dāng)將其進(jìn)行分解后，投資組合的收益就是各種基礎(chǔ)資產(chǎn)收益的線性組合，每種資產(chǎn)的權(quán)重ω1由最初對(duì)該資產(chǎn)投資金額決定。從時(shí)間t到t+1期間投資組合的收益為：

根據(jù)概率知識(shí)，投資組合的收益期望值可寫成E(RP)=μP=ΣNi=1ωiμi

方差可表示為

亦可用如下的矩陣表示形式

從而投資組合的方差簡(jiǎn)寫為σ2p=W'ΣW。

案例5假設(shè)將100萬投資于兩種資產(chǎn)，風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)理要計(jì)算該投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差。投資組合的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表。

資產(chǎn)1資產(chǎn)2標(biāo)準(zhǔn)差權(quán)數(shù)相關(guān)系數(shù)25% 30% 26% 70% 0.7%

分析:首先求出組合的方差協(xié)方差矩陣：

四、結(jié)束語

當(dāng)代社會(huì)需要應(yīng)用型金融人才，其競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)不僅體現(xiàn)在科研方向和研究領(lǐng)域，也體現(xiàn)在擇業(yè)方面，所以應(yīng)用型金融人才必須具備數(shù)理金融中的數(shù)學(xué)分析能力。又?jǐn)?shù)理金融融合了金融學(xué)、數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)學(xué)、隨機(jī)學(xué)等多個(gè)學(xué)科，在人才培養(yǎng)方面既要考慮解決交叉學(xué)科的課程內(nèi)容安排；又要減弱多學(xué)科間的界限。而其中數(shù)學(xué)在數(shù)理金融中起到了地基的作用，其重要性不言而喻，如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)分析能力的培養(yǎng)是目前當(dāng)務(wù)之急，需要以人為本，通過結(jié)合實(shí)際的教學(xué)，使得學(xué)生逐步養(yǎng)成對(duì)金融經(jīng)濟(jì)案例具有敏感性的思維方式；同時(shí)要適當(dāng)?shù)馗淖兘虒W(xué)方式，在講授過程中增強(qiáng)學(xué)生參與式學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己的金融數(shù)學(xué)思想。還要將學(xué)習(xí)到的金融數(shù)學(xué)方法具體應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中。注重實(shí)踐運(yùn)用，特別是分析中國金融市場(chǎng)中的典型案例，運(yùn)用案例激發(fā)學(xué)生的興趣和數(shù)學(xué)分析能力。

On applying mathematical methods to mathematical finance

YANG Chunzhi,XIANG Wei,LI Ning

As the demand of applied financial talents is continuously increasing,many colleges and universities set up the specialized courses of mathematical finance.In order to understand the mathematical thinking for mathematical finance,we used mathematical analysis,related theorem of ordinary differential equations,probability theory and linear algebra to solve the related problems for different financial cases. Case analysis is helpful to grasp the actual application of mathematical thinking in mathematical finance, and strengthen mathematical analyzing ability.

mathematical finance;mathematical methods;case;analysis

G642

A

1009-9530（2017）03-0120-03

2017-03-01

楊春志（1979-），男，淮南師范學(xué)院金融學(xué)院講師，碩士。