例說(shuō)反證法

浙江鎮(zhèn)海中學(xué) 沈紅正

例說(shuō)反證法

浙江鎮(zhèn)海中學(xué) 沈紅正

反證法是證明數(shù)學(xué)命題的一種間接證法，關(guān)于它的本質(zhì)，有些學(xué)生總認(rèn)為反證法其實(shí)就是證明原命題的逆否命題，事實(shí)上，這種認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的。為了說(shuō)明問(wèn)題，先給出一個(gè)經(jīng)典習(xí)題的五種證明方法。

原題：求證：a,b,c為正實(shí)數(shù)的充要條件是：a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0。

分析 必要條件顯然成立，而充分性的證明必須綜合考慮a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0，不易找到突破口，故嘗試反證法。

證法五：假設(shè)a,b,c不全為正實(shí)數(shù)，則a,b,c中至少有一個(gè)為非正實(shí)數(shù)。

①若三個(gè)都是非正實(shí)數(shù)，不妨設(shè)a≤0，b≤0，c≤0，則abc≤0，與abc＞0矛盾。

②若兩個(gè)是非正實(shí)數(shù)，不妨設(shè)a≤0，b≤0，c＞0，則：

當(dāng)a+c≤0時(shí)，有a+b+c≤0，這與條件a+b+c＞0矛盾；

當(dāng)a+c＞0時(shí)，有ab+bc+ca=b（a+c）+ac≤0，與ab+bc+ca＞0矛盾。

③若只有一個(gè)非正實(shí)數(shù)，不妨設(shè)a≤0，b＞0，c＞0，則abc≤0，與abc＞0矛盾。

綜上可知，假設(shè)錯(cuò)誤，故a,b,c為正實(shí)數(shù)。

比較以上五種方法，我們可以看到，它們都是在肯定條件的同時(shí)否定結(jié)論，并以此為依據(jù)，進(jìn)行正確的推理，分別得到了矛盾（這是反證法的關(guān)鍵），但它們的矛盾形式是不一樣的，證法一與假設(shè)矛盾，證法二自相矛盾，證法三和五與題設(shè)條件矛盾，證法四與事實(shí)矛盾（這就是反證法的多樣性）。進(jìn)一步分析我們還發(fā)現(xiàn)，證法三和五得到矛盾的途徑是不一樣的，證法三是綜合運(yùn)用假設(shè)和條件abc＞0的情況下得到與a+b+c＞0矛盾；而證法五是完全根據(jù)假設(shè)條件（a,b,c不全為正實(shí)數(shù)）得到與題設(shè)條件矛盾，這正好證明了原命題的逆否命題：若a,b,c不全為正實(shí)數(shù)，則a+b+c≤0，或ab+bc+ca≤0，或abc≤0。

一般地，反證法就是欲證“pq?”，可以肯定它的條件，而否定它的結(jié)論q（用﹁q表示），在的條件下，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，即得到一個(gè)假命題“。如果在推導(dǎo)矛盾的過(guò)程中只用﹁q，而沒(méi)有用題設(shè)條件p做前提，且推導(dǎo)出的結(jié)果是﹁p，那么這樣證明的命題才是逆否命題，如證法五；如果在推導(dǎo)矛盾的過(guò)程中用了題設(shè)條件p做前提，如證法三，或推導(dǎo)出的結(jié)果不是﹁p，如證法一、二、四，那么這樣就不是證明逆否命題。

所以，說(shuō)“反證法就是證明原命題的逆否命題”，僅是用反證法證明命題“pq?”時(shí)推出矛盾的一種特殊情況，將這一特殊情況理解為本質(zhì)是不對(duì)的。如果這樣去理解，那么在尋找矛盾時(shí)只會(huì)局限于與題設(shè)的矛盾，降低反證法的威力。因此，在學(xué)習(xí)反證法時(shí)必須明白其實(shí)質(zhì)是“證明命題的否定是錯(cuò)誤的”，而不是“證明否命題是錯(cuò)誤的”，從而靈活運(yùn)用這一方法去解決問(wèn)題。