山東省壽光現(xiàn)代中學(xué) 任彥旭
復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧
山東省壽光現(xiàn)代中學(xué) 任彥旭
復(fù)數(shù)的運(yùn)算種類雖多,但各種運(yùn)算方式間有聯(lián)系,最本質(zhì)的運(yùn)算方式就是代數(shù)形式的運(yùn)算。多樣性的運(yùn)算使得我們研究復(fù)數(shù)問題時(shí)有多種可考慮的途徑,以便從中選擇較好的方式,運(yùn)用常用的結(jié)論或者利用數(shù)學(xué)思想方法來解題,可以簡化運(yùn)算。
例1 已知z=2-i,則z6-3z5+z4+5z3+2=________。
分析:如果直接把z=2-i代入,運(yùn)算起來比較繁雜,而根據(jù)題目條件,通過整體角度來轉(zhuǎn)化,方法巧妙,運(yùn)算快捷。
解析:由于z=2-i,則有(z-2)2=(-i)2=-1,即z2-4z+5=0,
所以z6-3z5+z4+5z3+2=(z2-4z+5)(z4+z3)+2=2,故填2。
點(diǎn)評(píng):從整體角度思考,巧妙利用z=2-i轉(zhuǎn)化為(z-2)2=(-i)2=1,即z2-4z+5=0,再通過因式分解來處理即可快捷求解。運(yùn)算時(shí)抓住整體,可以高屋建瓴。
點(diǎn)評(píng):抓住常見公式有時(shí)是解決此類復(fù)數(shù)問題的關(guān)鍵,常見的復(fù)數(shù)運(yùn)算公式有:(1)i的乘方:i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,等。運(yùn)算時(shí)利用常見公式,可以簡化過程,提升速度。
分析:通過復(fù)數(shù)關(guān)系式的轉(zhuǎn)化,化簡為in·[(1+i)+(-1)n·(1-i)]=2,結(jié)合n的奇偶數(shù)取值情況分類討論,進(jìn)而求解最小正整數(shù)n。
點(diǎn)評(píng):在解決復(fù)數(shù)問題中,涉及復(fù)數(shù)的分類、參數(shù)的取值等相關(guān)問題時(shí),往往通過分類討論,結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算來分析與求解。運(yùn)算時(shí)結(jié)合分類討論,理清思路,拓展思維。
分析:通過復(fù)數(shù)幾何意義的轉(zhuǎn)化,把求解對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的模的問題轉(zhuǎn)化為解決平面圖形的相關(guān)線段的長度問題。
點(diǎn)評(píng):從復(fù)數(shù)的幾何意義入手來轉(zhuǎn)化,把代數(shù)運(yùn)算問題幾何化,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義,利用直觀平面幾何圖形來分析與處理。運(yùn)算時(shí)利用復(fù)數(shù)的幾何意義,可以化代數(shù)問題為幾何問題,通過幾何直觀來處理。
復(fù)數(shù)運(yùn)算中,關(guān)鍵是抓住復(fù)數(shù)的加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算,結(jié)合題目條件,利用整體角度、常見公式、分類討論、幾何意義等運(yùn)算技巧加以綜合與處理,達(dá)到快捷求解、正確運(yùn)算的目的。