上海市第四中學(xué) …周 科

對(duì)考查向量的試題背景分析與教學(xué)備考建議

上海市第四中學(xué) …周 科

《上海市高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求》（試驗(yàn)本）以及《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試上海卷考試手冊(cè)》都強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的考查，考查的目的是基于強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)中學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)，開拓中學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，促進(jìn)中學(xué)生理性思維的逐步形成。多年來(lái)，上海的高考試卷命制過(guò)程中都希望所命制的試卷能很好地貼切這一考查要求，通過(guò)命題專家的努力，這些年的數(shù)學(xué)高考卷都出現(xiàn)了很多具有創(chuàng)新性的試題。但這些好題也恰恰是學(xué)生難以逾越的一道道坎，這一方面暴露出當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中知識(shí)遷移、組合、融匯的程度不高，能力區(qū)域不寬泛，創(chuàng)新意識(shí)不強(qiáng)，同時(shí)，學(xué)生也沒能很好地發(fā)揮數(shù)學(xué)基本思想、基本方法在這類題中的基礎(chǔ)性、工具性作用。本文僅就向量及其應(yīng)用中的問(wèn)題，通過(guò)幾個(gè)典型例題做一個(gè)探究。

一、向量題的考查特點(diǎn)分析及典型例題剖析

1.以向量為背景，考查三角函數(shù)

依據(jù)《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》及其調(diào)整意見和高考選拔人才的選拔要求，結(jié)合中學(xué)教學(xué)實(shí)際，考試旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如何在三角函數(shù)、向量這些傳統(tǒng)意義下的中低檔試題中進(jìn)行能力立意呢？近幾年的上海卷給出了較為滿意的回答。譬如：

例1 （2016年高考數(shù)學(xué)上海卷理科第12題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是。

試題分析：本題利用數(shù)形結(jié)合思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到單位圓中，從而轉(zhuǎn)化成平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到的取值范圍。主要考查了考生的邏輯推理能力、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等。

2.以向量為背景，考查函數(shù)的值域

高考命題以基礎(chǔ)知識(shí)為載體，結(jié)合對(duì)基本思想、基本方法與技能的考查，突出考查學(xué)生分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，在解題思路和方法的尋找上突顯學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。近幾年高考數(shù)學(xué)上海卷在這一點(diǎn)上做得比較成功。譬如：

例2 （2012年高考數(shù)學(xué)上海卷理科12題） 在平行四邊形ABCD中，邊AB、CD的長(zhǎng)分別為2、1，若M、N分別是邊BC、 CD上的點(diǎn)，且滿足的取值范圍是。

解法1是用向量的數(shù)量積運(yùn)算，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題；解法2是采用“建系”，用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題。本題較好地考查了學(xué)生用數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

3.以向量為背景，考查概率

高考命題要遵循《考試說(shuō)明》，在高考數(shù)學(xué)《考試說(shuō)明》中提出試題具備高信度、效度、必要的區(qū)分度和適當(dāng)?shù)碾y度。傳統(tǒng)涉及概率的試題一直是單一知識(shí)點(diǎn)，將向量和概率相結(jié)合，較為充分地踐行了這一宗旨。

例3 （2016年高考數(shù)學(xué)上海卷理科第14題） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為正八邊形的中心，，任取不同的兩點(diǎn)點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P落在第一象限的概率是

試題分析：本題主要考查古典概型概率的計(jì)算。解答本題的關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用概率的計(jì)算公式求解。本題能較好地考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想等。

4.……以向量為背景，考查解析幾何中存在性問(wèn)題

例4 （2014年高考數(shù)學(xué)上海卷理科第14題） 已知曲線若對(duì)于點(diǎn)存在C上的點(diǎn)P和 L上的點(diǎn)Q使得的取值范圍為。

本題考查了兩個(gè)基本能力：推理論證和運(yùn)算求解。運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，提高運(yùn)算求解能力的關(guān)鍵是“算理”，要讓思在算之前，通過(guò)思明確算的方向，并對(duì)運(yùn)算結(jié)果有一定的預(yù)見性。

5.以向量為背景，考查多變量問(wèn)題

現(xiàn)在已進(jìn)入大數(shù)據(jù)的信息化時(shí)代，高考試題也順應(yīng)這一變化，命題時(shí)除了設(shè)置一些“三基”試題外，也設(shè)置了一些信息量大、多變量的問(wèn)題。譬如：

本題信息量大，綜合性強(qiáng)，思維要求高，考查學(xué)生對(duì)信息的提取和處理能力，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力和分析、解決問(wèn)題的能力。

二、備考建議

1.注重基礎(chǔ)，加強(qiáng)知識(shí)交匯性訓(xùn)練

結(jié)合近幾年上海卷對(duì)向量知識(shí)點(diǎn)的考查特點(diǎn)，在向量復(fù)習(xí)中要注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的內(nèi)在挖掘，考查知識(shí)的交匯性問(wèn)題比較多，因而在課堂教學(xué)中，我們要注重基礎(chǔ)知識(shí)，加強(qiáng)能力培養(yǎng)，從注重學(xué)習(xí)結(jié)果向注重學(xué)習(xí)過(guò)程轉(zhuǎn)變，要從學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)向會(huì)學(xué)，要讓學(xué)生從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)向主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，要從信息單向傳遞轉(zhuǎn)向信息多向交流，以適應(yīng)課程改革的新要求。

2.重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是離不開數(shù)學(xué)思想方法的，數(shù)學(xué)思想方法在解決問(wèn)題中有著舉足輕重的地位，方法選擇得當(dāng)，往往有出奇制勝的效果，方法思路混亂，可能導(dǎo)致思維受阻。另外，要加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，有不少學(xué)生就是因?yàn)檫\(yùn)算能力不強(qiáng)導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，進(jìn)而影響解題的進(jìn)度，使得解答陷入困境。

3.解題思路的生成才是教學(xué)的重點(diǎn)

高三主要是解題教學(xué)，解題教學(xué)就是教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)如何解題、怎樣解題，而不是只給學(xué)生講題、把題講明白、把題講懂。高三教學(xué)中教學(xué)時(shí)間緊、任務(wù)重，總感覺時(shí)間不夠用，課堂上師生都有些囫圇吞棗——基礎(chǔ)教學(xué)不夠扎實(shí)，例題、習(xí)題的講解更是急于求成，教師往往不注重“解題思路的生成過(guò)程”的分析、傳授、講解，而過(guò)多地關(guān)注或停留在答案和解題上。著名教育學(xué)家波利亞的解題理論告訴我們：解題要做到“七分構(gòu)思（讀題、審題、發(fā)散、聯(lián)想、歸納），三分表述（書寫、運(yùn)算、訂正、反思與回顧）”；解題無(wú)外乎就是“架起由已知通向未知的橋梁，橋梁承載著數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法、能力、技巧”。教學(xué)中教師必須清楚“我講明白，不等于學(xué)生明白，更不等于學(xué)生理解、掌握和熟練運(yùn)用”，加強(qiáng)解題教學(xué)的過(guò)程分析、注重解題思路與脈絡(luò)生成的傳授是教會(huì)學(xué)生的關(guān)鍵。

4.適當(dāng)加大向量的研究難度，突出其工具性

從近幾年的高考試題來(lái)看，有關(guān)向量的考查難度呈不斷增大的趨勢(shì)。向量是代數(shù)和幾何的橋梁，向量既可作為表達(dá)問(wèn)題的工具，也可作為解決問(wèn)題的工具，本文例3中的向量兼?zhèn)鋬烧叩墓δ堋?/p>

5.加強(qiáng)對(duì)上海卷考試大綱和考試說(shuō)明的研究

高考命題的指導(dǎo)思想之一，是突出對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的考查?！犊荚囌f(shuō)明》中對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為三個(gè)層級(jí)：記憶水平；解釋性理解水平；探究性理解水平?？荚囈髮?duì)向量的考查要求為：（1）解釋性理解平面向量分解定理，會(huì)求向量的長(zhǎng)度及夾角，懂得運(yùn)用向量方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何證明；（2）探究性理解向量的數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)，平面向量的坐標(biāo)表示，會(huì)用坐標(biāo)討論兩個(gè)向量的平行或垂直。在復(fù)習(xí)過(guò)程中要依據(jù)學(xué)科基本要求和考試說(shuō)明，仔細(xì)推敲、認(rèn)真研究、全面鋪開，不放過(guò)任何一個(gè)可能考查到的知識(shí)點(diǎn)，注重在知識(shí)交匯處設(shè)置問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生處理綜合問(wèn)題的能力。

6.注重回歸課本，加強(qiáng)對(duì)往年試題的研究

課本是教學(xué)之本，在最后的復(fù)習(xí)過(guò)程中，一定要加強(qiáng)對(duì)課本習(xí)題、重點(diǎn)例題的探究，注重對(duì)教材的挖掘和利用，許多好的高考試題都源于教材而高于教材，是對(duì)教材的二次開發(fā)和再利用，因此一定要用好教材，加強(qiáng)對(duì)課本的研究。

[1]2017年《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試上海卷考試手冊(cè)》

[2]過(guò)家福，王華民.三角函數(shù)、向量試題特點(diǎn)及應(yīng)對(duì)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與參考，2017（5）.

[3]胡書軍，李素香，霍紅梅.解題思路的生成才是解題教學(xué)的重中之重[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與參考，2016（5）.