李 論，廖祖華,3+，陳柳紅，宋 威，吳樹(shù)忠，朱曉英

1.江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

2.江南大學(xué) 至善學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

3.江南大學(xué) 智能系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)計(jì)算研究所，江蘇 無(wú)錫 214122

4.江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

KU 代數(shù)上的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想*

李 論1,2，廖祖華1,2,3+，陳柳紅1,2，宋 威4，吳樹(shù)忠1，朱曉英1

1.江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

2.江南大學(xué) 至善學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

3.江南大學(xué) 智能系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)計(jì)算研究所，江蘇 無(wú)錫 214122

4.江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122

給出了KU代數(shù)的點(diǎn)態(tài)化(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想與廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想的概念，得到了KU代數(shù)的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的一些等價(jià)刻畫(huà)，并指出了(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想有豐富的層次結(jié)構(gòu)；其次得到了多個(gè)KU代數(shù)的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的交、并、同態(tài)像和同態(tài)原像（在一定條件下）也是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想；而后又對(duì)KU代數(shù)(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的直積以及投影進(jìn)行了研究；最后給出KU代數(shù)的正關(guān)聯(lián)理想的降（升）鏈條件的新概念，并利用(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的性質(zhì)研究了KU代數(shù)的正關(guān)聯(lián)理想的降（升）鏈條件。

KU代數(shù)；(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想；同態(tài)映射；投影；降（升）鏈條件

1 引言

1965年，Zadeh[1]引入模糊集的概念，它是經(jīng)典集合的推廣，能夠表示元素屬于它的程度，并被用來(lái)描述模糊現(xiàn)象，研究模糊問(wèn)題。1971年，Rosenfeld[2]將模糊集的概念引入代數(shù)學(xué)，提出了模糊子群的概念，從而創(chuàng)立了模糊代數(shù)學(xué)。1981—1993年，Kuroki[3-7]研究了半群的模糊理想、模糊雙理想以及模糊半素理想的相關(guān)性質(zhì)。1986年，Swamy等人[8]研究了環(huán)的模糊素理想。1980年，劉應(yīng)明等人[9-10]提出模糊點(diǎn)和模糊集間的“∈”和“q”關(guān)系，隨后在1992年和1996年，Bhakat等人[11-12]在此基礎(chǔ)上給出了(∈,∈∨q)-模糊子群的概念。2011年，Jun等人[13]利用落影理論討論了BCK代數(shù)的模糊正關(guān)聯(lián)理想的性質(zhì)。2012年，Tebu等人[14]研究了BCI代數(shù)的模糊n重正關(guān)聯(lián)理想。2013年，Zulfiqar[15]給出了 BCK 代數(shù)的(α,β)-模糊正關(guān)聯(lián)理想的概念，并研究了它的一些基本性質(zhì)。

2006年，廖祖華等人[16]將“q”關(guān)系推廣到了“q(λ,μ)”模糊關(guān)系，統(tǒng)一了Rosenfeld意義下的模糊代數(shù)、Bhakat意義下的(∈,∈∨q)-模糊代數(shù)以及-模糊代數(shù)，提出了(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代數(shù)。之后，他的研究團(tuán)隊(duì)在這個(gè)方向做了一系列的研究[17-25]。其中，團(tuán)隊(duì)成員張建忠等人在文獻(xiàn)[19]中提出了N(2,2,0)代數(shù)的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的新概念，并研究了它的一系列基本性質(zhì)。

2009年，受BCK代數(shù)及數(shù)理邏輯的啟發(fā)，Prabpayak等人[26-27]通過(guò)保留BCK代數(shù)中的兩條公理（由KU代數(shù)的公理系統(tǒng)可以推出x?x=0）以及添加另外幾條公理，提出了KU代數(shù)的新概念，并引進(jìn)了KU代數(shù)的理想。KU代數(shù)在計(jì)算機(jī)編碼等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。在文獻(xiàn)[28]中，Rezaei等人證明了KU代數(shù)與交換自分配BE代數(shù)是等價(jià)的，自分配KU代數(shù)與Hilbert代數(shù)是等價(jià)的，并指出了KU代數(shù)、BE代數(shù)、Hilbert代數(shù)、蘊(yùn)涵代數(shù)以及對(duì)偶BCK代數(shù)之間的關(guān)系。而FI代數(shù)[29]的公理系統(tǒng)的第2、3、4條也與KU代數(shù)公理系統(tǒng)的第1、4條及其性質(zhì)相類(lèi)似，格蘊(yùn)涵代數(shù)[30]公理系統(tǒng)中的兩條與KU代數(shù)公理系統(tǒng)也相類(lèi)似，于是它們會(huì)有一些共同的性質(zhì)。

2011年，Mostafa等人[31-32]提出了KU代數(shù)的模糊理想及直覺(jué)模糊理想，并在2014年給出了KU代數(shù)的正關(guān)聯(lián)理想[33]的概念。2014年，Gulistan等人[34-35]研究了 KU 代數(shù)的(α,β)-模糊理想以及(∈,∈∨qk)-模糊理想的基本性質(zhì)，Muhiuddin[36]研究了KU代數(shù)的雙極值模糊理想的基本性質(zhì)。2016年，Senapati等人[37]研究了KU代數(shù)的直覺(jué)模糊雙正規(guī)理想的基本性質(zhì)。

1921年，Noether[38]提出了環(huán)的升鏈條件。1927年，Artin[39]提出了用降鏈來(lái)區(qū)別環(huán)。2016年，路騰等人[25]給出了坡代數(shù)的-模糊理想的概念，并利用它刻畫(huà)了坡的濾子的鏈條件。

以這些研究工作為基礎(chǔ)，本文提出了KU代數(shù)的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想、廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想的概念和KU代數(shù)正關(guān)聯(lián)理想的鏈條件，并研究了它們的性質(zhì)。其中，(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想比其他模糊正關(guān)聯(lián)理想有豐富的層次結(jié)構(gòu)。從例1知，KU 代數(shù)的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想是(∈,∈)-模糊正關(guān)聯(lián)理想和(∈,∈∨q)-模糊正關(guān)聯(lián)理想的非平凡推廣。

本文組織結(jié)構(gòu)如下：第2章給出有關(guān)KU代數(shù)和模糊集的基礎(chǔ)知識(shí)；第3章給出KU代數(shù)的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的新概念，研究了它的等價(jià)刻畫(huà)、交、并以及偏序等性質(zhì)；第4章得到了(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的同態(tài)像和原像（在一定條件下）依然是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的結(jié)論；第5章得出(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的直積依然是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想、(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的投影依然是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的結(jié)論；第6章用(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的性質(zhì)，對(duì)KU代數(shù)正關(guān)聯(lián)理想的降（升）鏈條件進(jìn)行刻畫(huà)。

2 預(yù)備知識(shí)

下面給出有關(guān)KU代數(shù)及模糊集的基礎(chǔ)知識(shí)。

首先，給出KU代數(shù)及集合的一些基本知識(shí)。

定義1[26-27]（KU代數(shù)）設(shè)G是含有常元0的一個(gè)非空集合，若在G上定義二元運(yùn)算“?”，?x,y,z∈G，滿(mǎn)足下列條件：

（1）(x?y)?((y?z)?(x?z))=0；

（2）0?x=x；

（3）x?0=0；

（4）若x?y=0且y?x=0，則x=y。

稱(chēng)G=(G,?,0)為KU代數(shù)。

由（1）可知，?x∈G，x?x=0；?x,z∈G，z?(x?z)=0。

在KU代數(shù)G上引入一個(gè)二元關(guān)系≤，則x≤y的充要條件是y?x=0。易證，(G;≤)是一個(gè)偏序集，0是它最小的元素。

下文不特殊說(shuō)明，G與G′均表示KU代數(shù)。

定義2[33]（KU代數(shù)的正關(guān)聯(lián)理想）設(shè)G是KU代數(shù)，A是G的一個(gè)非空子集，如果滿(mǎn)足下列條件：

（1）0∈A；

（2）?x,y,z∈G，若z?(x?y)∈A，z?x∈A，有z?y∈A。則稱(chēng)A是G的一個(gè)正關(guān)聯(lián)理想。

定理1[31]設(shè)G與G′是兩個(gè)KU代數(shù)，那么在G×G′上規(guī)定運(yùn)算“?”，?(x1,x2),(y1,y2)∈G×G′，(x1,x2)?(y1,y2)=(x1?y1,x2?y2)，則(G×G′,?,(0,0′))也是 KU 代數(shù)。

定義3[27]設(shè)G與G′是KU代數(shù)，映射f:G→G′，如果?x,y∈G，滿(mǎn)足：

則稱(chēng)f是同態(tài)映射。若f是單射，則稱(chēng)f是單同態(tài)；若f是滿(mǎn)射，則稱(chēng)f是滿(mǎn)同態(tài)；若f是雙射，則稱(chēng)f是同構(gòu)。

定義4[40]（良序集）設(shè)集合(S,≤)為一偏序集，≤是其偏序關(guān)系，若對(duì)任意的S的非空子集，在其序下都有最小元素，則稱(chēng)≤為良序關(guān)系，(S,≤)為良序集。

其次，給出模糊集的一些基本知識(shí)。

定義5[16]（模糊點(diǎn)）若A是G的模糊子集，且

則稱(chēng)A為一個(gè)模糊點(diǎn)，記為xλ。

定義6[16]設(shè)t,λ,μ∈[0,1],λ＜μ，且A是G的模糊子集。若A(x)≥t，則稱(chēng)xt屬于A，記作xt∈A。如果t＞λ且A(x)+t＞2μ，則稱(chēng)模糊點(diǎn)xt廣義重于A，記作xtq(λ,μ)A。如果xt∈A或xtq(λ,μ)A，則記作xt∈∨q(λ,μ)A。

定義7[17]（模糊集的直積）設(shè)A、B分別是非空集合G、G′的模糊集，定義映射A×B:G×G′→[0,1]，(A×B)(x,y)=A(x)∧B(y),?(x,y)∈G×G′，則A×B是G×G′的模糊子集，并稱(chēng)A×B是A與B的直積。

定義8[17]（模糊集的投影）G與G′是兩個(gè)非空集合，A×B是G×G′的模糊子集，分別定義G、G′的模糊子集為：

并稱(chēng)AG和BG′分別是A×B在G與G′上的投影。

定義9[41]（f-不變性）設(shè)G與G′為兩個(gè)集合，f:G→G′是映射，A是G上的模糊子集，?x,y∈G，當(dāng)f(x)=f(y)時(shí)，有A(x)=A(y)，則稱(chēng)A是關(guān)于f-不變的。

定義10[42]（擴(kuò)張?jiān)恚┰O(shè)有映射f:X→Y，則由該映射可以誘導(dǎo)出兩個(gè)如下映射，分別記為f與f-1：

稱(chēng)f(A)是A在f下的像，f-1(B)是B關(guān)于f的逆像。

3 (∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想

本節(jié)給出 KU 代數(shù)的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的新概念，并討論它的等價(jià)刻畫(huà)及交并等其他基本性質(zhì)。

KU代數(shù)的正關(guān)聯(lián)理想是邏輯推理中假言三段論的一種抽象，而對(duì)它的模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究在控制、信息論及邏輯推理方面有潛在的應(yīng)用。

定義11設(shè)A是KU代數(shù)G的一個(gè)模糊子集，如果A滿(mǎn)足：

（Ⅰ）?t∈(λ,1]，?x∈G，若xt∈A，有0t∈∨q(λ,μ)A；

（Ⅱ）?t1,t2∈(λ,1]，?x,y,z∈G，若(z?(x?y))t1∈A，(z?x)t2

∈A，有(z?y)t1∧t2∈∨q(λ,μ)A。

定義12設(shè)A是KU代數(shù)G的一個(gè)模糊子集，?x,y,z∈G，如果A滿(mǎn)足：

（Ⅳ）A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。

則稱(chēng)A是G的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想。

下面討論(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想、廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想及模糊集的水平集之間的關(guān)系。

定理3設(shè)A是G上的模糊子集，則下列條件是等價(jià)的：

（1）A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想；

（2）A是G的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想；

（3）對(duì)于任意的t∈(λ,μ]，At={x|A(x)≥}t≠?是G的正關(guān)聯(lián)理想。

以護(hù)理學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)大綱為依據(jù)，通過(guò)與教學(xué)及臨床護(hù)理專(zhuān)家研討，確定臨床工作亟須知識(shí)及技能，結(jié)合貼近臨床護(hù)理一線工作的理論與實(shí)際操作內(nèi)容，確定教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，確定微課作品主題。發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷，了解對(duì)照組護(hù)生在護(hù)理學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的問(wèn)題及需要加強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合護(hù)生感性需求，從內(nèi)容選擇、教學(xué)活動(dòng)安排、教學(xué)反思等方面設(shè)計(jì)、制作20節(jié)微課，并上傳至微信公眾平臺(tái)和校園網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，供試驗(yàn)組護(hù)生觀看、學(xué)習(xí)。

證明（1）?（2）

（Ⅰ）?（Ⅲ）假設(shè)存在x0∈G，使得A(0)∨λ＜A(x0)∧μ。令t=A(x0)∧μ，則λ＜t≤μ,A(x0)≥t，所以(x0)t∈A。根據(jù)定義11知0t∈∨q(λ,μ)A，而A(0)＜t≤μ，A(0)+t＜t+t≤2μ，矛盾。

（Ⅱ）?（Ⅳ）假設(shè)?x0,y0,z0∈G，使得A(z0?y0)∨λ＜A(z0?(x0?y0))∧A(z0?x0)∧μ。取t=A(z0?(x0?y0))∧A(z0?x0))∧μ，則t∈(λ,μ]，(z0?(x0?y0))t∈A，(z0?x0)t∈A且(z0?y0)t?A，但由（Ⅱ）知(z0?y0)t∈∨q(λ,μ)A，因此(z0?y0)tq(λ,μ)A，A(z0?y0)+t＞2μ。A(z0?y0)＞2μ-t≥μ≥t，即(z0?y0)t∈A，與(z0?y0)t?A矛盾，從而（Ⅳ）成立。

（2）?（1）

（Ⅲ）?（Ⅰ）?x∈G，?t∈(λ,1]，若xt∈A，則A(x)≥t。因?yàn)锳是G的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想，故A(0)∨λ≥A(x)∧μ≥t∧μ。若t≤μ，因?yàn)棣耍紅，所以A(0)≥t，從而0t∈A；若t＞μ，則A(0)∨λ≥μ。因?yàn)棣耍鸡?，所以A(0)≥μ。因此A(0)+t≥μ+t＞2μ，即0tq(λ,μ)A，從而0t∈∨q(λ,μ)A。

（Ⅳ）?（Ⅱ） 若t1,t2∈(λ,1]，?x,y,z∈G，使得(z?(x?y))t1,(z?x)t2∈A，則A(z?(x?y))≥t1，A(z?x)≥t2。又因?yàn)锳是廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想，所以A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。故A(z?y)∨λ≥(t1∧t2)∧μ。若(t1∧t2)≤μ，因?yàn)棣耍紅1且λ＜t2，所以A(z?y)≥t1∧t2，即(z?y)t1∧t2∈A；若(t1∧t2)＞μ，則A(z?y)≥μ。因此A(z?y)+(t1∧t2)≥μ+(t1∧t2)＞2μ，故(z?y)t1∧t2q(λ,μ)A，從而(z?y)t1∧t2∈∨q(λ,μ)A。

（2）?（3）

?t∈(λ,μ]，若At≠?，則?x∈At，A(x)≥t。由（Ⅲ）知，A(0)∨λ≥A(x)∧μ≥t∧μ=t。因?yàn)閠＞λ，所以A(0)≥t，0∈At。又?z?(x?y),z?x∈At，有A(z?(x?y))≥t且A(z?x)≥t，再由（Ⅳ）知，A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ≥t∧μ=t。因?yàn)閠＞λ，所以A(z?y)≥t。故z?y∈At，從而At是G的一個(gè)正關(guān)聯(lián)理想。

（3）?（2）

假設(shè)存在x∈G，滿(mǎn)足A(0)∨λ＜A(x)∧μ。令t=A(x)∧μ，則λ＜t≤μ，A(x)≥t且A(0)＜t，因此x∈At，At≠?。由已知條件，At是G的正關(guān)聯(lián)理想，所以0∈At，即A(0)≥t。但A(0)＜t，矛盾。因此，?x∈G有A(0)∨λ≥A(x)∧μ。又若?x,y,z∈G，使得A(z?y)∨λ＜A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ，則取t=A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。因此t∈(λ,μ]，A(z?(x?y))∧A(z?x)≥t 且A(z?y)＜t，從而z?(x?y)，z?x∈At。又At是G的正關(guān)聯(lián) 理 想，因 此z?y∈At，即A(z?y)≥t。又因?yàn)锳(z?y)＜t，矛盾，所以?x,y,z∈G，有A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。

綜上所述，A是G的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想。

當(dāng)λ=0,μ=1時(shí)，可以得到KU代數(shù)的(∈,∈)-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

推論1設(shè)A是G上的模糊子集，下列條件是等價(jià)的：

（1）A是G的(∈,∈)-模糊正關(guān)聯(lián)理想；

（2）A(0)≥A(x)且A(z?y)≥A(z?(x?y))∧A(z?x)；

（3）對(duì)于任意的t∈(0,1]，At={x|A(x)≥t}≠? 時(shí)是G的正關(guān)聯(lián)理想。

當(dāng)λ=0,μ=0.5時(shí)，可以得到 KU 代數(shù)的(∈,∈∨q)-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

推論2設(shè)A是G上的模糊子集，下列條件是等價(jià)的：

（1）A是G的(∈,∈∨q)-模糊正關(guān)聯(lián)理想；

（2）A(0)≥A(x)∧0.5 且A(z?y)≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧0.5；

（3）對(duì)于任意的t∈(0,0.5]，非空集合At={x|A(x)≥t}是G的正關(guān)聯(lián)理想。

例1設(shè)G={0,1,2,3,4}，定義“?”，運(yùn)算表如表1，則(G,?,0 )是KU代數(shù)。

Table1 Operator“?”表1 運(yùn)算“?”

（1）A1:G→[0,1]，A1(0)=0.4，A1(1)=0.6，A1(2)=0.6，A1(3)=0.3，A1(4)=0.2，其中λ=0.1＜A1(4)＜A1(3)＜A1(0)=μ＜A1(1)=A1(2)＜1?？沈?yàn)證A1是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。因?yàn)锳1(0)=0.4＜0.5=A1(2)∧0.5，所以A1不是G的(∈,∈∨q)-模糊正關(guān)聯(lián)理想。又因?yàn)锳1(0)=0.4＜0.6=A1(2)，所以A1也不是G的(∈,∈)-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

（2）A2:G→[0,1]，A2(0)=0.5，A2(1)=A2(2)=0.6，A2(3)=0.3，A2(4)=0.2。其中，0＜λ＜A2(4)＜A2(3)＜A2(0)=0.5＜μ＜A2(1)=A2(2)＜1，則由定義知A2是G的(∈,∈∨q)-模糊正關(guān)聯(lián)理想。因?yàn)锳2(0)∨λ=0.5＜A2(2)∧μ，所以A2不是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。又因?yàn)锳2(0)=0.5＜0.6=A2(1)，所以A2也不是G的(∈,∈)-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

（3）A3:G→[0,1]，A3(0)=0.6，A3(1)=A3(2)=0.4，A3(3)=0.3，A3(4)=0.2。其中，0＜λ＜A3(4)＜A3(3)＜A3(2)=A3(1)＜μ＜A3(0)＜1。因此，?x,y,z∈G，A3是G的(∈,∈)-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

由此可知，(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想是與(∈,∈)-模糊正關(guān)聯(lián)理想及(∈,∈∨q)-模糊正關(guān)聯(lián)理想不同的一種新的模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)。

定理 4A為G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是?t∈[λ,μ)，當(dāng)A(t)={x|A(x)＞t}≠? 時(shí)，A(t)為G的正關(guān)聯(lián)理想。

證明必要性：?t∈[λ,μ)，若A(t)非空，則?x∈A(t)，因此A(x)＞t。因?yàn)锳為G的(∈，∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，所以A(0)∨λ≥A(x)∧μ＞t。因?yàn)閠≥λ，故A(0)＞t，所以0∈A(t)。又?x,y,z∈G，若z?(x?y)∈A(t)，z?x∈A(t)，因?yàn)锳為G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，所以A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ＞t。因?yàn)閠≥λ，所以A(z?y)＞t，即z?y∈A(t)，故A(t)是G的正關(guān)聯(lián)理想。

充分性：若?x∈G，使得A(0)∨λ＜A(x)∧μ，令t=A(0)∨λ，則t∈[λ,μ)。因此A(x)＞t，x∈A(t)，A(t)非空。又已知A(t)是G的正關(guān)聯(lián)理想，于是0∈A(t)，即A(0)＞t。又因?yàn)锳(0)＜t，矛盾。所以?x∈G，都有A(0)∨λ≥A(x)∧μ。

假設(shè)存在x,y,z∈G，使得A(z?y)∨λ＜A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。令t=A(z?y)∨λ，則A(z?x)＞t，A(z?(x?y))＞t，即z?x,z?(x?y)∈A(t)。又A(t)是G的正關(guān)聯(lián)理想，于是z?y∈A(t)，即A(z?y)＞t。又因?yàn)锳(z?y)≤t，矛盾。所以?x,y,z∈G,A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。

綜上所述，A為G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

定理5至定理 7討論(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的層次結(jié)構(gòu)。

定理5A為G的模糊子集，?t∈(μ,1]，?≠At是G的正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是下列兩條成立：

（1）A(x)≤A(0)∨μ；

（2）A(z?(x?y))∧A(z?x)≤A(z?y)∨μ。

證明必要性：若（1）不成立，假設(shè)存在x∈G滿(mǎn)足A(x)＞A(0)∨μ。取t=A(x)，則x∈At，t∈(μ,1]。但0?At，因?yàn)锳t是G的正關(guān)聯(lián)理想，所以0∈At，矛盾。從而?x∈G，有A(x)≤A(0)∨μ。

若（2）不成立，則?x,y,z∈G，使得A(z?(x?y))∧A(z?x)＞A(z?y)∨μ。令t=A(z?(x?y))∧A(z?x)，則t∈(μ,1]，A(z?(x?y))≥t，A(z?x)≥t且A(z?y)＜t，因此z?(x?y)∈At且z?x∈At。因?yàn)锳t是G的正關(guān)聯(lián)理想，所以z?y∈At，即A(z?y)≥t，與A(z?y)＜t矛盾。從而?x,y,z∈G，有A(z?(x?y))∧A(z?x)≤A(z?y)∨μ。

充分性：?t∈(μ,1]且?≠At，則?x∈At。由（1）知A(x)≤A(0)∨μ，即A(0)∨μ≥t。因?yàn)閠＞μ，所以A(0)≥t，0∈At。又?x,y,z∈G，若z?(x?y)∈At，z?x∈At，則A(z?(x?y))≥t，A(z?x)≥t。由（2）知A(z?y)∨μ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)≥t，因?yàn)閠＞μ，所以A(z?y)≥t，即z?y∈At，從而At是G的正關(guān)聯(lián)理想。

推論3A為G的模糊子集，?t∈(μ,1]，?≠At是G的正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是A是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

定理6A為G的模糊子集，?t∈(0,λ]，?≠At是G的正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是下列兩條成立：

（1）A(x)∧λ≤A(0)；

（2）A(z?(x?y))∧A(z?x)∧λ≤A(z?y)。

證明必要性：若（1）不成立，則存在x∈G使得A(x)∧λ＞A(0)。取t=A(x)∧λ，則x∈At，t∈(0,λ]。因?yàn)锳t是G的正關(guān)聯(lián)理想，所以0∈At，A(0)≥t，與A(0)＜t矛盾。故?x∈G，有A(x)∧λ≤A(0)。

若（2）不成立，則?x,y,z∈G，使得A(z?(x?y))∧A(z?x)∧λ＞A(z?y)。令t=A(z?(x?y))∧A(z?x)∧λ，則t∈(0,λ],A(z?(x?y))≥t且A(z?x)≥t，因此z?(x?y),z?x∈At。因?yàn)锳t是G的正關(guān)聯(lián)理想，所以z?y∈At。A(z?y)≥t與A(z?y)＜t，矛盾。故（2）成立。

充分性：?t∈(0,λ]，?≠At，則?x∈At，因此A(x)≥t。又由（1）成立，因此A(0)≥A(x)∧λ≥t∧t=t，即0∈At。又?x,y,z∈G，若z?(x?y)，z?x∈At，由（2）知A(z?y)≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧λ≥t，所以z?y∈At，從而At是G的正關(guān)聯(lián)理想。

推論4A為G的模糊子集，?t∈(0,λ]，?≠At是G的正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是A是(∈,∈∨q(0,λ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

由定理3、定理5和定理6得到定理7，它表明(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想比(∈,∈)-模糊正關(guān)聯(lián)理想和(∈,∈∨q)-模糊正關(guān)聯(lián)理想有更豐富的層次結(jié)構(gòu)。

定理7A是模糊子集，At(t∈(0,1])是A的水平集，則下列結(jié)論成立。

（1）?t∈(0,λ],At≠? 是G的正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是A是(∈,∈∨q(0,λ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

（2）?t∈(λ,μ],At≠? 是G的正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是A是（ ∈， ∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

（3）?t∈(μ,1],At≠? 是G的正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是A是(∈,∈∨q(μ,1))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

定理8A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，則A(z?(z?x))∨λ≥A(z?x)∧μ。

證明(A(z?(z?x))∨λ)∨λ≥(A(z?(x?(z?x)))∧A(z?x)∧μ)∨λ=(A(z?0)∧A(z?x)∧μ)∨λ=(A(0)∧A(z?x))∨λ=(A(0)∨λ)∧(A(z?x)∨λ)≥(A(z?x)∧μ)∧A(z?x)=A(z?x)∧μ。

以下兩個(gè)定理討論(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想族的交和并。

定理 9若 {Ai}i∈I是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想族，則Ai也是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

證明?x∈G，則(Ai)(0)∨λ=(Ai)(0)∨λ=(Ai(0)∨λ)≥(Ai(x)∧μ)=(Ai(x))∧μ=(Ai)(x)∧μ，因此（Ⅲ）成立。又?x,y,z∈G,(Ai)(z?y)∨λ=(Ai(z?y))∨λ=(Ai(z?y)∨λ)≥(Ai(z?(x?y))∧Ai(z?x)∧μ)≥(Ai(z?(x?y))∧(Ai(z?x))∧μ=(Ai)(z?(x?y))∧Ai)(z?x)∧μ，因此（Ⅳ）成立。

定理 10如果 {Ai}i∈I是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想族，并對(duì)所有的i,j∈I，Ai?Aj或Aj?Ai，則Ai也是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

證明?x∈G，則(Ai)(0)∨λ=(Ai(0))∨λ=(Ai(0)∨λ)≥(Ai(x)∧μ)=(Ai)(x)∧μ，因此（Ⅲ）成立。

定理11設(shè)A為G的非空子集，B為G的模糊子集定義如下：

其中t＜s，0≤t＜μ,λ＜s≤1，則B是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是A是G的正關(guān)聯(lián)理想。

證明?α∈(λ,μ]

當(dāng)0≤t≤λ，λ＜s＜μ時(shí)：

根據(jù)定理3可知B是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

推論5A是G的正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是A的特征函數(shù) χA是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

推論5說(shuō)明(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的定義是合理的。

下面利用G的偏序關(guān)系討論(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想有關(guān)的性質(zhì)。

定理12設(shè)A是G的一個(gè)(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，如果不等式x?y≤z在G中成立，那么A(y)∨λ≥A(z)∧A(z?x)∧μ。

證明若x?y≤z，則z?(x?y)=0。又A(y)∨λ=A(0?y)∨λ≥A(0?(z?y))∧A(0?z)∧μ=A(z?y)∧A(z)∧μ，則A(y)∨λ=(A(y)∨λ)∨λ≥(A(z?y)∧A(z)∧μ)∨λ=(A(z?y)∨λ)∧(A(z)∨λ)∧(λ∨μ)≥(A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ)∧A(z)∧μ=A(z?(x?y))∧A(z?x)∧A(z)∧μ=A(0)∧A(z?x)∧A(z)∧μ。

從而A(y)∨λ=(A(y)∨λ)∨λ≥(A(0)∧A(z?x)∧A(z)∧μ)∨λ=(A(0)∨λ)∧(A(z?x)∨λ)∧(A(z)∨λ)∧(λ∨μ)≥A(z?x)∧μ∧A(z?x)∧A(z)∧μ=A(z)∧A(z?x)∧μ。

定理13設(shè)A是G的一個(gè)(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，如果y≤x，那么A(y)∨λ≥A(x)∧μ。

證明若y≤x，則x?y=0，因此A(y)∨λ=(A(0?y)∨λ)∨λ≥(A(0?(x?y))∧A(0?x)∧μ)∨λ=(A(0?0)∧A(x)∧μ)∨λ=(A(0)∨λ)∧((A(x)∧μ)∨λ)≥(A(x)∧μ)∧((A(x)∧μ)∨λ)≥A(x)∧μ。

4 (∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的像與原像

下面給出(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的同態(tài)像與原像的性質(zhì)。

定理14設(shè)f是G到G′的同態(tài)，B是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正 關(guān) 聯(lián)理想，則 f-1(B)是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

證明先證明f-1(B)滿(mǎn)足（Ⅰ）。?t∈(λ,1]，?x∈G，若xt∈f-1(B)，有f-1(B)(x)=B(f(x))≥t，即(f(x))t∈B。因?yàn)锽是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，所以(0′)t∈∨q(λ,μ)B。又因?yàn)閒是G到G′的同態(tài)，所以f(0)=f(0 ?0)=f(0)?f(0)=0′。若(0′)t∈B，則B(0′)≥t，那么f-1(B)(0)=B(f(0))=B(0′)≥t，從而0t∈f-1(B)。若(0′)tq(λ,μ)B，則f-1(B)(0)+t=B(f(0))+t=B(0′)+t＞2μ，于是0tq(λ,μ)f-1(B)，從而0t∈∨q(λ,μ)f-1(B)。

再證f-1(B)滿(mǎn)足（Ⅱ）。?t1,t2∈(λ,1]，?x,y,z∈G，若(z?x)t1

∈f-1(B),(z?(x?y))t2∈f-1(B)，則B(f(z)?f(x))=B(f(z?x))=f-1(B)(z?x)≥t1，B(f(z)?(f(x)?f(y)))=B(f(z?(x?y)))=f-1(B)(z?(x?y))≥t2，因此(f(z)?f(x))t1∈B，(f(z)?(f(x)?f(y)))t2∈B。又因?yàn)锽是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，所以(f(z)?f(y))t1∧t2∈∨q(λ,μ)B。若(f(z)?f(y))t1∧t2∈B，則f-1(B)(z?y)=B(f(z?y))=B(f(z)?f(y))≥t1∧t2，從而(z?y)t1∧t2∈f-1(B)；若(f(z)?f(y))t1∧t2q(λ,μ)B，則 f-1(B)(z?y)+t1∧t2=B(f(z?y))+t1∧t2=B(f(z)?f(y))+t1∧t2＞2μ，因此(z?y)t1∧t2q(λ,μ)f-1(B)。從而(z?y)t1∧t2∈∨q(λ,μ)f-1(B)。

綜上所述f-1(B)是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

定理15A是G的模糊子集，f是G到G′的同態(tài)，且A是f-不變的。若f(A)是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，則A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

證明（1）?t∈(λ,1]，?x∈G，若xt∈A，則A(x)≥t。令y=f(x)，因?yàn)锳是f-不變的，所以f(A)(y)=A(w)=A(x)≥t，即yt∈f(A)。又因?yàn)閒(A)是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，所以0′t∈∨q(λ,μ)f(A)。若0′t∈f(A)，即f(A)(0′)≥t，則(0′)≥t，即0t∈A。若0′tq(λ,μ)f(A)，則t=f(A)(0′)+t＞2μ。因此，0t∈∨q(λ,μ)A。

（2）?x,y,z∈G，?t1,t2∈(λ,1]，若(z?(x?y))t1∈A，(z?x)t2∈A，則A(z?(x?y))≥t1，A(z?x)≥t2。令f(x)=x′，f(y)=y′，f(z)=z′。因?yàn)閒 是同態(tài)映射，則f(z?y)=f(z)?f(y)=z′?y′且f(z?(x?y))=z′?(x′?y′)，又因?yàn)锳是f-不變的，所以(x′?y′))，。因此(z′?(x′?y′))t1∈f(A) 且(z′?x′)t2∈f(A)。而f(A)是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，于是(z′?y′)t1∧t2∈∨q(λ,μ)f(A)，即(z′?y′)t1∧t2∈f(A) 或(z′?y′)t1∧t2q(λ,μ)f(A)，因 此，或。從而(z?y)t1∧t2∈∨q(λ,μ)A。

綜上所述，A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

定理16設(shè)f是G到G′的滿(mǎn)同態(tài)，且A是f-不變的，則A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的充要條件是f(A)是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

證明必要性：（1）?y∈G′，?t∈(λ,1]。因?yàn)閒是滿(mǎn)射，所以?x0∈G使得f(x0)=y。若yt∈f(A)，則t≤f(A)(y)=A(x)=A(x0)，從而(x0)t∈A。因?yàn)锳是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，所以若0t∈A，即A(0)≥t，則f(A)(0′)=A(x)≥A(0)≥t，從而(0′)t∈f(A)。若0tq(λ,μ)A，則 f(A)(0′)+t=A(x)+t=A(0)+t＞2μ，故(0′)t∈∨q(λ,μ)f(A)。

（2）?x′,y′,z′∈G，?t1,t2∈(λ,1]，因?yàn)閒 是滿(mǎn)同態(tài)，所以?x,y,z∈G，使得f(x)=x′，f(y)=y′，f(z)=z′，且f(z?(x?y))=z′?(x′?y′)。若(z′?(x′?y′))t1∈f(A)，(z′?x′)t2

∈A。因?yàn)锳是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，所以(z?y)t1∧t2

∈∨q(λ,μ)A。f(A)(z′?y′)=A(w)=A(z?y)≥t1∧t2，或者f(A)(z′?y′)+t1∧t2=A(w)+t1∧t2=A(z?y)+t1∧t2＞2μ。故(z′?y′)t1∧t2∈∨q(λ,μ)f(A)。從而f(A)是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

充分性：由定理15的結(jié)論可得。

5 (∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的直積與投影

下面給出(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的直積及投影的性質(zhì)。

定理17如果A、B分別是KU代數(shù)G與G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，則直積A×B是 G×G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

證明因?yàn)锳、B分別是 KU代數(shù)G與G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，所以A、B分別是 KU代數(shù)G與G′的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想。于是?(x,y)∈G×G′，其中x∈G,y∈G′，有(A×B)(0,0)∨λ=(A(0)∧B(0))∨λ=(A(0)∨λ)∧(B(0)∨λ)≥(A(x)∧μ)∧(B(y)∧μ)=A(x)∧B(y)∧μ=(A×B)(x,y)∧μ。又?(x1,x2),(y1,y2),(z1,z2)∈G×G′，其中x1,y1,z1∈G,x2,y2,z2∈G′，則：

(A×B)((z1,z2)?(y1,y2))∨λ=(A×B)(z1?y1,z2?y2)∨λ=(A(z1?y1)∧B(z2?y2))∨λ=(A(z1?y1)∨λ)∧(B(z2?y2)∨λ)≥(A(z1?(x1?y1))∧A(z1?x1)∧μ)∧(B(z2?(x2?y2))∧B(z2?x2)∧μ)=(A(z1?(x1?y1))∧B(z2?(x2?y2)))∧(A(z1?x1)∧B(z2?x2))∧μ=(A×B)(z1?(x1?y1),z2?(x2?y2))∧(A×B)(z1?x1,z2?x2)∧μ=(A×B)((z1,z2)?((x1,x2)?(y1,y2)))∧(A×B)((z1,z2)?(x1,x2))∧μ

綜上，A×B是G×G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

定理18如果A×B是 G×G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，則AG是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，BG′是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

證明因?yàn)锳×B是G×G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，由定理3知，A×B是G×G′的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想。

（1）?x∈G，AG(0)∨λ=((A×B)(0,z))∨λ=((A(0)∧B(z))∨λ=(((A(0)∨λ)∧(B(z)∨λ))≥((A(x)∧μ)∧B(z))=(A(x)∧B(z))∧μ=((A×B)(x,z))∧μ=AG(x)∧μ。

（2）又?x,y,z∈G，AG(z?y)∨λ=((A×B)(z?y,w))∨λ∨λ=((A×B)(z?y,w)∨λ)∨λ≥((A×B)(z?y,0′)∨λ)∨λ=((A×B)((z,0′)?(y,0′))∨λ)∨λ≥[(A×B)((z,0′)?((x,w1)?(y,0′)))∧(A×B)((z,0′)?(x,w1))∧μ]∨λ=((A×B)(z?(x?y),0′)∧(A×B)(z?x,w1)∧μ)∨ λ=((A(z?(x?y))∧B(0′))∧((A×B)(z?x,w1)∧μ))∨λ=(A(z?(x?y))∨λ)∧((B(0′)∨λ)∧((A×B)(z?x,w1)∧μ)∨ λ) ≥A(z?(x?y))∧(B(w2)∧μ)∧((A×B)(z?x,w1)∧μ)=((A×B)(z?(x?y),w2)∧(A×B)(z?x,w1)∧μ。

由w2的任意性，得AG(z?y)∨λ≥((A×B)(z?(x?y),w2)∧(A×B)(z?x,w1)∧μ)=((A×B)(z?(x?y),w2))∧(A×B)(z?x,w1)∧μ=AG(z?(x?y))∧(A×B)(z?x,w1)∧μ。

再由w1的任意性，得AG(z?y)∨λ≥(AG(z?(x?y))∧(A×B)(z?x,w1)∧μ)=AG(z?(x?y))∧((A×B)(z?x,w1))∧μ=AG(z?(x?y))∧AG(z?x)∧μ。

綜合（1）和（2）知，AG是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

同理可證BG′是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。

6 (∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的鏈條件

下面給出KU代數(shù)正關(guān)聯(lián)理想的鏈條件的新概念，并利用(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的性質(zhì)對(duì)鏈條件進(jìn)行刻畫(huà)。

定義13（鏈條件）設(shè)Ai(i=1,2,…)是KU代數(shù)G的正關(guān)聯(lián)理想，如果它的任意正關(guān)聯(lián)理想降鏈序列A1?A2?…An?…只有有窮項(xiàng)，即對(duì)于任意含無(wú)窮項(xiàng)的正關(guān)聯(lián)理想降鏈序列A1?A2?…An?…必定有一個(gè)正整數(shù)存在，自m項(xiàng)后的所有正關(guān)聯(lián)理想都相等，即Am=Am+1=…，則稱(chēng)G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想滿(mǎn)足降鏈條件（也稱(chēng)G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想是阿丁的）。

類(lèi)似地，可以定義G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想的升鏈條件（也稱(chēng)G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想是諾特的）。

定義14（對(duì)偶良序集）設(shè)集合(S,≤)為一偏序集，≤是其偏序關(guān)系，若對(duì)任意的S的非空子集，在其序下都有最大元素，則稱(chēng)≤為對(duì)偶良序關(guān)系，(S,≤)為對(duì)偶良序集。

定理19設(shè)G是KU代數(shù)，{Ai}i∈I是G的正關(guān)聯(lián)理想族，若?i,j∈I有Ai?Aj或Aj?Ai，那么A=Ai是G的正關(guān)聯(lián)理想。

證明因?yàn)锳i(i=1,2,…)是G的正關(guān)聯(lián)理想，所以0∈Ai，即0∈Ai=A。又因?yàn)?x,y,z∈G，若z?(x?y)∈A且z?x∈A，所以存在i1、i2使得z?(x?y)∈Ai1，z?x∈Ai2。由已知Ai1?Ai2或Ai2?Ai1，不妨設(shè)Ai1?Ai2，從而z?(x?y)∈Ai1?Ai2。又因?yàn)锳i2是正關(guān)聯(lián)理想，故z?y∈Ai2?Ai1。所以A=Ai是G的正關(guān)聯(lián)理想。

定理20設(shè)G為KU代數(shù)，{Ai}i∈I是G的正關(guān)聯(lián)理想族，那么A=Ai是G的正關(guān)聯(lián)理想。

證明?i∈I，因?yàn)锳i是G的正關(guān)聯(lián)理想，所以0∈Ai，即0∈Ai=A。又?x,y,z∈G，若z?(x?y)∈A且z?x∈A，于是?i∈I，有z?(x?y)∈Ai及z?x∈Ai。因?yàn)锳i是G的正關(guān)聯(lián)理想，故z?y∈Ai，所以z?y∈A。因此，A=Ai是G的正關(guān)聯(lián)理想。

定理21設(shè)G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想滿(mǎn)足降鏈條件，A是G的任意的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，則在Im(A)?[λ,μ]上不存在無(wú)窮上升序列。

證明（反證法）假設(shè){ti|i=0,1,2,…}是Im(A)?[λ,μ]上的無(wú)窮上升序列，則t0＜t1＜…＜μ，因此t1＜t2＜…＜μ也是一個(gè)無(wú)窮嚴(yán)格升鏈，且ti∈(λ,μ],i=1,2,…，并且?xi∈G使得A(xi)=ti。由定理3知道Ati是G的正關(guān)聯(lián)理想，又因?yàn)锳(xi-1)=ti-1＜ti，所以xi-1?Ati。因此Ati?Ati-1，于是At1?At2?…是關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想的無(wú)窮降鏈，這與G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想滿(mǎn)足降鏈條件矛盾。

定理22設(shè)G是KU代數(shù)，則G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想是諾特的充要條件是對(duì)G的任意(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想A，Im(A)?[λ,μ]是良序集。

證明必要性：設(shè)A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。由定理3可知，A是G的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想。假設(shè)Im(A)?[λ,μ]不是良序集，則在Im(A)?[λ,μ]存在嚴(yán)格遞減序列{ti}，且ti≠λ（否則就沒(méi)有無(wú)窮降鏈），i=1,2,…，且?xi∈G使得A(xi)=ti，因此At1???…。又由于ti∈(λ,μ]，由定理3可知Ati是正關(guān)聯(lián)理想。若＞，則A()=＜。因此?，故?。從而???…是G的關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想的嚴(yán)格升鏈，這與G是諾特的矛盾。

充分性：若對(duì)G的任意廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想A，Im(A)?[λ,μ]是良序集，但G不是諾特的，則存在嚴(yán)格升鏈A1?A2?A3?…，其中Ai是G的正關(guān)聯(lián)理想。由定理19可知，Ai是G的正關(guān)聯(lián)理想。定義模糊子集：

下面證明B是G的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想。

因?yàn)锳i是正關(guān)聯(lián)理想，故0∈Ai(i=1,2,…)，i0=1。所以?x∈G，B(0)∨λ=(λ+(μ-λ))∨λ=μ≥B(x)∧μ。

?x,y,z∈G，下面分4種情況進(jìn)行討論：

①如果iz?(x?y)=iz?x，設(shè)m=iz?(x?y)。因?yàn)閦?(x?y)∈Am，z?x∈Am，而Am是G的正關(guān)聯(lián)理想，所以z?y∈Am。又由B的定義知i≤m，故B(z?y)∨λ=(λ+

③若iz?(x?y)＜iz?x，則同理可證B(z?y)∨λ≥B(z?(x?y))∧B(z?x)∧μ。

綜上所述，B是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想，矛盾，因此G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想是諾特的。

推論6若G的每個(gè)(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的值域是有限集，則G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想是諾特的。

證明因?yàn)镮m(B)?[λ,μ]=Im(B)是有限集，所以它是良序集，由定理22知G是諾特的。

定理23若G的每個(gè)(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的值域是有限集，則G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想是阿丁的。

證明假設(shè)G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想不是阿丁的，則存在G的正關(guān)聯(lián)理想的無(wú)窮嚴(yán)格降鏈A1?A2?···。若A1≠G，那么取A0=G，得嚴(yán)格降鏈G=A0?A1?A2?···?？偪梢缘玫紾的正關(guān)聯(lián)理想的嚴(yán)格降鏈G=A0?A1?A2?···。

定義G的模糊子集B：

?x,y,z∈G，以下分4種情況討論：

因此，B是G的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想。由定理3可知，B也是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。然而B(niǎo)的值域具有無(wú)限不同值，故與題設(shè)矛盾。

推論7若G的每個(gè)(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的值域是有限集，則G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想是阿丁的且是諾特的。

證明因?yàn)镚的每個(gè)(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的值域是有限集，所以由定理23知G是阿丁的。又由推論6知G是諾特的。

定理24設(shè)G是KU代數(shù)，則G關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想是阿丁的充要條件是對(duì)G的任意(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想A，Im(A)?[λ,μ]是對(duì)偶良序集。

證明必要性：設(shè)A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想。由定理3可知，A是G的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想。假設(shè)Im(A)?[λ,μ] 不 是 對(duì) 偶 良 序 集，則 在Im(A)?[λ,μ]中存在嚴(yán)格遞增序列{ti}(i=0,1,2,…)，故ti＞t0≥λ(i=1,2,…)且 {ti}(i=1,2,…)也是嚴(yán)格遞增序列，因此ti∈(λ,μ](i=1,2,…)且At1?At2?At3?…。

由定理3可知，Ati(i=1,2,…)是正關(guān)聯(lián)理想。又因?yàn)閠i∈Im(A)，所以?xi∈G使得A(xi)=ti。若i＜j，則A(xi)=ti＜tj。因此xi?Atj，故Ati?Atj。從而At1?At2?At3?…是G的關(guān)于正關(guān)聯(lián)理想的嚴(yán)格降鏈，這與G是阿丁的矛盾。

充分性：若對(duì)G的任意廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想A，Im(A)?[λ,μ]是對(duì)偶良序集，但G不是阿丁的，則存在嚴(yán)格降鏈A1?A2?A3?…，其中Ai是G的正關(guān)聯(lián)理想。由定理19可知，Ai是G的正關(guān)聯(lián)理想。

定義模糊子集：

下面證明B是G的廣義模糊正關(guān)聯(lián)理想。因?yàn)锳i是正關(guān)聯(lián)理想，故0∈Ai(i=1,2,3…)，所以?x∈G，B(0)∨λ=μ≥B(x)∧μ。?x,y,z∈G，分兩種情況進(jìn)行討論：

③若iz?(x?y)＜iz?x，則同理可證B(z?y)∨λ≥B(z?(x?y))∧B(z?x)∧μ。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了 KU 代數(shù)的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想的概念，用點(diǎn)態(tài)化的方法討論了它的等價(jià)刻畫(huà)及其他一系列基本性質(zhì)，并指出它有豐富的層次結(jié)構(gòu)。而點(diǎn)態(tài)化的方法更接近經(jīng)典數(shù)學(xué)的方法，這是本文的一個(gè)特色。用 KU 代數(shù)的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想刻畫(huà)KU代數(shù)的正關(guān)聯(lián)理想的鏈條件，比用通常KU代數(shù)的模糊正關(guān)聯(lián)理想對(duì)它進(jìn)行刻畫(huà)有更弱的條件，這為用模糊數(shù)學(xué)的方法對(duì)經(jīng)典代數(shù)進(jìn)行研究提供了一種新的思路。此外，還給出了尋找KU代數(shù)的正關(guān)聯(lián)理想的算法（見(jiàn)附錄），并通過(guò)計(jì)算機(jī)編程找出正關(guān)聯(lián)理想，這有助于給出例子以說(shuō)明KU代數(shù)的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關(guān)聯(lián)理想是一種新型模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)。

這些工作豐富了模糊集理論的研究，促進(jìn)了KU代數(shù)理論研究的深入發(fā)展。進(jìn)一步的工作是引入KU 代數(shù)的其他類(lèi)型的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊理想并對(duì)其進(jìn)行刻畫(huà)，還可以對(duì)KU代數(shù)與FI代數(shù)及格蘊(yùn)涵代數(shù)的關(guān)系進(jìn)行研究。

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附錄:

查找KU代數(shù)正關(guān)聯(lián)理想的程序

#include〈iostream〉

using namespace std;

int KU(int a,int b);//KU代數(shù)計(jì)算函數(shù)

voidideals2(intx);//查找KU代數(shù)有兩個(gè)元素的正關(guān)聯(lián)理想

void ideals3(intx,inty);//查找KU代數(shù)有三個(gè)元素的正關(guān)聯(lián)理想

void ideals4(intx,inty,intz);//查找KU代數(shù)有四個(gè)元素的正關(guān)聯(lián)理想

On(∈,∈∨q(λ,μ))-Fuzzy Positive Implicative Ideals of KU-Algebras*

LI Lun1,2,LIAO Zuhua1,2,3+,CHEN Liuhong1,2,SONG Wei4,WU Shuzhong1,ZHU Xiaoying1
1.School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
2.Honors School,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
3.Institute of Intelligence System&Network Computing,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
4.School of Internet of Things Engineering,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
+Corresponding author:E-mail:liaozuhua57@163.com

LI Lun,LIAO Zuhua,CHEN Liuhong,et al.On(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals of KU-algebras.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(8)：1324-1339.

Firstly,this paper gives the concepts of pointwise(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals and generalized fuzzy positive implicative ideals of KU-algebras,obtains some equivalent characterizations of(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals of KU-algebras,and points the richer hierarchical structure of the fuzzy positive implicative ideals.Secondly,this paper acquires the properties that intersections,unions,homomorphic image and homomorphic preimage(under certain condition)of(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals of KU-algebras are also(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals.Then,this paper investigates the direct product and proje-ction of(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals of KU-algebras.At last,this paper introduces the new concepts of the descending(ascending)chain conditions of the positive implicative ideals of KU-algebras,which are studied by using the properties of(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals.

KU-algebras;(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals;homomorphic mapping;projection;descending(ascending)chain condition

was born in 1981.He

the Ph.D.degree from Chonbuk National University in 2009.Now he is an associate professor and M.S.supervisor at Jiangnan University,and the member of IEEE and CCF.His research interests include pattern recognition,artificial intelligence,data mining,information retrieval and knowledge discovery,etc. 宋威（1981—），男，湖北恩施人，2009年于韓國(guó)全北國(guó)立大學(xué)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為江南大學(xué)副教授、碩士生導(dǎo)師，IEEE、CCF會(huì)員，主要研究領(lǐng)域包括模式識(shí)別，人工智能，數(shù)據(jù)挖掘，信息檢索，知識(shí)發(fā)現(xiàn)等。

LI Lun was born in 1995.He is a student at School of Science,Jiangnan University,and the member of CCF.His research interests include computer science,fuzzy and rough algebra,etc.李論（1995—），男，河南鄭州人，江南大學(xué)理學(xué)院粒計(jì)算研究所學(xué)生，CCF學(xué)生會(huì)員，主要研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算機(jī)科學(xué)，模糊與粗糙代數(shù)等。

LIAO Zuhua was born in 1957.He is a professor and M.S.supervisor at Jiangnan University,and the member of CCF.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.廖祖華（1957—），男，江西奉新人，江南大學(xué)教授、碩士生導(dǎo)師，CCF會(huì)員，主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄?，粒?jì)算等。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100多篇。

CHEN Liuhong was born in 1995.She is a student at School of Science,Jiangnan University.Her research interests include computer science,fuzzy and rough algebra,etc.陳柳紅（1995—），女，重慶涪陵人，江南大學(xué)理學(xué)院粒計(jì)算研究所學(xué)生，主要研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算機(jī)科學(xué)，模糊與粗糙代數(shù)等。

WU Shuzhong was born in 1961.He is an associate professor at Jiangnan University.His research interest is combinatorial mathematics.吳樹(shù)忠（1961—），男，江蘇丹陽(yáng)人，江南大學(xué)副教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)榻M合數(shù)學(xué)。

ZHU Xiaoying was born in 1964.She is an associate professor at Jiangnan University.Her research interest is fuzzy algebra.朱曉英（1964—），女，江蘇無(wú)錫人，江南大學(xué)副教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)槟：鷶?shù)。

A

：O159

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.61170121,11401259,61673193(國(guó)家自然科學(xué)基金);the Natural Science Foundation of Jiangsu Province under Grant No.BK20151117(江蘇省自然科學(xué)基金);the Undergraduate Innovation and Entrepreneurship Training Program of China under Grant No.201610295005(國(guó)家大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目).

Received 2017-03,Accepted 2017-05.

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2017-05-23,http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20170523.1250.004.html

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 1673-9418/2017/11(08)-1324-16

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