廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (510006)

邱際春

廣州大學(xué)附屬中學(xué) (510006)

羅 芳

對一道伊朗國家隊(duì)選拔考試題的推廣

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (510006)

邱際春

廣州大學(xué)附屬中學(xué) (510006)

羅 芳

2009年伊朗國家隊(duì)選拔考試第7題是一道組合幾何試題，如下：

題目 在平面內(nèi)有三個(gè)由直線構(gòu)成的集合，每個(gè)集合各由11條(不同的)平行線組成．若三組平行線內(nèi)各存在一條直線通過平面內(nèi)的同一點(diǎn)，求這樣的點(diǎn)的數(shù)目的最大值．[1]

首先，為了表述上的簡潔與方便，下面先給出一個(gè)定義：

定義 若平面內(nèi)有m(m≥3)組平行線，且m組平行線內(nèi)各存在一條直線通過平面內(nèi)的同一點(diǎn)，稱這樣的點(diǎn)為m階特殊點(diǎn)．

接下來，將題目中的11條平行線推廣到n(n∈N*)條平行線的情形，得到下面的命題1．

解析:建立一個(gè)仿射標(biāo)架[O;d1,d2]，則在仿射變換σ下，這三組平行線分別平行于x=0,y=0,y=x.

不妨設(shè)第一組平行線為x=i,i=1,2,…,n，記為x型直線；第二組平行線為y=j,j=1,2,…,n，記為y型直線；第三組平行線為x-y=b,b=1,2,…,n，記為x-y型直線．

根據(jù)定義，命題1中所述的點(diǎn)(即三條直線均通過的點(diǎn))為3階特殊點(diǎn)．

接下來，考慮第一條x型直線(即x=1)和第一條y型直線(即y=1)，記P為兩直線的交點(diǎn)．

顯然，點(diǎn)P的左邊和下邊不存在3階特殊點(diǎn)．

容易看出，每一條x-y型直線與這兩條直線各交于一點(diǎn)，這些除點(diǎn)P之外的交點(diǎn)，要么在直線y=1上點(diǎn)P的左側(cè)，要么在直線x=1上的點(diǎn)P的下側(cè)．

因此，每一條x-y型直線至多通過一個(gè)第一條x型直線或第一條y型直線上的3階特殊點(diǎn)．

若擦去第一條x型直線和第一條y型直線，則至多移走了n個(gè)3階特殊點(diǎn)．

同樣地，每一條x-y型直線至多通過一個(gè)第二條x型直線或第二條y型直線上的3階特殊點(diǎn)．

再擦去第二條x型直線和第二條y型直線，則至多共移走了2n個(gè)3階特殊點(diǎn)．

于是，對上述結(jié)論簡化，可得命題1的一個(gè)等價(jià)形式，表述為：

推論1 若平面內(nèi)有三個(gè)由直線構(gòu)成的集合，每個(gè)集合各由n(n∈N*)條(不同的)平行線組成，則①當(dāng)n=2k時(shí)，平面內(nèi)最多存在3k2個(gè)3階特殊點(diǎn)； ②當(dāng)n=2k+1時(shí)，平面內(nèi)最多存在3k2+3k+1個(gè)3階特殊點(diǎn)．

下面將命題1中的3個(gè)集合初步推廣到4個(gè)集合的情形可得命題2．

解析:建立一個(gè)仿射標(biāo)架[O;d1,d2]，則在仿射變換σ下，這4組平行線分別平行于x=0,y=0,y=x,y=2x．

不妨設(shè)第一組平行線為x=i,i=1,2,…,n，記為x型直線；第二組平行線為y=j,j=1,2,…,n，記為y型直線；第三組平行線為x-y=b1,b1=1,2,…,n，記為x-y型直線；第四組平行線為2x-y=b2,b2=1,2,…,n，記為2x-y型直線．

根據(jù)定義，命題2中所述的點(diǎn)(即4條直線均通過的點(diǎn))為4階特殊點(diǎn)．

顯然，點(diǎn)P的左邊和下邊不存在4階特殊點(diǎn)．

容易看出，每一條2x-y型直線與這3條直線各交于一點(diǎn)，這些除點(diǎn)P之外的交點(diǎn)均在點(diǎn)P的左下方．

若擦去第一條x型直線、第一條y型直線和第一條x-y型直線，則至多移走了n個(gè)4階特殊點(diǎn)．

同樣地，再擦去第二條x型直線、第二條y型直線和第二條x-y型直線，則至多共移走了2n個(gè)4階特殊點(diǎn)．

于是，問題轉(zhuǎn)化為：

注意到，上述3階特殊點(diǎn)的個(gè)數(shù)唯一決定了4階特殊點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

同樣地，簡化上述結(jié)論可得命題2的一個(gè)等價(jià)形式，表述為：

推論2 若平面內(nèi)有4個(gè)由直線構(gòu)成的集合，每個(gè)集合各由n(n∈N*)條(不同的)平行線組成，則①當(dāng)n=22k-1或22k時(shí)，平面內(nèi)最多存在3k2個(gè)3階特殊點(diǎn)； ②當(dāng)n=22k+1或22k+2時(shí)，平面內(nèi)最多存在3k2+3k+1個(gè)3階特殊點(diǎn)．

[1]2009年伊朗國家隊(duì)選拔考試[J]．中等數(shù)學(xué)，2010(增刊二)．