數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與分析

張志龍重慶市武隆中學(xué)

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與分析

張志龍
重慶市武隆中學(xué)

隨著新課改的不斷深化，新課程的標(biāo)準(zhǔn)也在不斷實(shí)施，以學(xué)生為本的理念正逐步深入人心，因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，就要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位更加重視。數(shù)與形是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容之一，要求學(xué)生做到對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)概念和思想進(jìn)行準(zhǔn)確的把握，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合方面的訓(xùn)練成為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的重要方法之一。本文在簡(jiǎn)要分析數(shù)形結(jié)合概念和原則的基礎(chǔ)上，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用進(jìn)行了闡述。

數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一門具有較強(qiáng)邏輯性的學(xué)科，也是研究數(shù)量關(guān)系及空間圖像的學(xué)科，對(duì)于高中生而言，數(shù)學(xué)知識(shí)非?？菰?，在學(xué)習(xí)的時(shí)候，難度比較大。為此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一定要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，采取有效的教學(xué)方法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與學(xué)習(xí)，進(jìn)而取得良好的教學(xué)效果[1]。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

（一）數(shù)形結(jié)合的概念

高中數(shù)學(xué)中，數(shù)和形的內(nèi)容貫穿始終，是兩個(gè)非常重要的概念。所謂數(shù)，就是指的在數(shù)量上的關(guān)系，而形是指各種不同的空間圖像。高中數(shù)學(xué)的知識(shí)中，數(shù)量關(guān)系在某種條件下可以轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形進(jìn)行求解，反過來，一些圖形之間的問題也可以轉(zhuǎn)變成數(shù)量關(guān)系得以解決，數(shù)形結(jié)合，其實(shí)就是采用數(shù)、形互換的方式進(jìn)行求解的一種思路。數(shù)形結(jié)合是抽象和形象思維的有機(jī)結(jié)合，通過形象圖像來解決抽象的問題，從而達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提升結(jié)題能力[2]。

（二）數(shù)形結(jié)合的原則

第一，雙向性原則。在數(shù)形結(jié)合中，雙向性是指一方面對(duì)幾何圖形要進(jìn)行直觀的分析，另一方面，還要對(duì)其進(jìn)行代數(shù)的抽象性分析，代數(shù)語言具有邏輯性強(qiáng)、準(zhǔn)確度高等特點(diǎn)，能夠很好的避免幾何圖形的直觀約束，充分顯示了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)。

第二，等價(jià)性原則。數(shù)形結(jié)合中的等價(jià)性原則是指“數(shù)”體現(xiàn)出的代數(shù)性質(zhì)和“形”所表現(xiàn)的幾何性質(zhì)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的時(shí)候，必須是等價(jià)的。由于幾何圖形的局限性，導(dǎo)致其會(huì)出現(xiàn)精確度不高的問題，從而影響了學(xué)習(xí)的效果，因此，在利用數(shù)形結(jié)合的思想時(shí)，必須要重視等價(jià)性原則，這是數(shù)形結(jié)合思想得以正確實(shí)施的關(guān)鍵所在[3]。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

以數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用為例，集合作為高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其基礎(chǔ)性和重要性不言而喻。數(shù)形結(jié)合思想在集合中的運(yùn)用，本質(zhì)上是化繁為簡(jiǎn)，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成相對(duì)簡(jiǎn)單的圖形問題，通過這一轉(zhuǎn)換，學(xué)生能夠?qū)Ω鱾€(gè)集合之間的關(guān)系有更加直觀的理解[4]。具體到集合問題的解決中，韋恩圖和數(shù)軸運(yùn)用的次數(shù)較多，兩者側(cè)重點(diǎn)又有所不同，韋恩圖解決的問題較為具體，而相比之下，數(shù)軸解決的集合問題相對(duì)模糊，比如，當(dāng)處理兩集合之間的包含關(guān)系時(shí)，首先將這兩個(gè)集合現(xiàn)在數(shù)軸上進(jìn)行清楚地標(biāo)示，通過在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)上標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字或字母展現(xiàn)大小關(guān)系，需要時(shí)還可以列出不等式進(jìn)行計(jì)算；利用韋恩圖解決集合問題時(shí)，常用圓形標(biāo)示一個(gè)集合，兩個(gè)集合之間的共有元素代表這兩個(gè)集合的兩個(gè)圓的相交來表示，如果兩個(gè)集合之間沒有交集，則反應(yīng)在圖形上就是兩個(gè)圓不相交。韋恩圖可以用來解決集合元素之間的相互關(guān)系問題，具體的應(yīng)用實(shí)例如下：

例1某初中初一（3）班40名同學(xué)需要報(bào)名參加物理、數(shù)學(xué)、化學(xué)三個(gè)課外學(xué)習(xí)小組，具體的報(bào)名情況如下∶

①40名同學(xué)每人都參加了一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組，有的不止一個(gè)；

②沒有報(bào)名參加物理小組的同學(xué)中，報(bào)名數(shù)學(xué)小組的人數(shù)是報(bào)名化學(xué)小組人數(shù)的2倍；

③只報(bào)名參加了物理小組的人比剩余同學(xué)中報(bào)名參加物理小組的多1人；

④僅報(bào)名參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)中有一半沒有報(bào)名參加物理小組；

問∶（1）僅報(bào)名參加了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的有幾人?

（2）有多少人報(bào)名參加了物理學(xué)習(xí)小組?

通過對(duì)本問題已知條件的分析，不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題牽扯的數(shù)量關(guān)系很復(fù)雜，如果運(yùn)用傳統(tǒng)的解題方法，很容易造成思維上的混亂，但運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以將報(bào)名參加三個(gè)學(xué)習(xí)小組的人分別當(dāng)做是一個(gè)集合，通過韋恩圖的形式將題目的已知條件表示出來再進(jìn)行求解，問題就會(huì)變得簡(jiǎn)單許多。

為此，我們可以設(shè)定集合A表示參加物理小組的同學(xué)人數(shù)，集合B表示報(bào)名參加數(shù)學(xué)小組的同學(xué)人數(shù)，集合C表示參加了化學(xué)小組的同學(xué)人數(shù)，根據(jù)題目的已知條件，可以轉(zhuǎn)變成如下的韋恩圖。

根據(jù)條件列出如下等式：

通過解得出：

a=11，b=10，c=1，d+e+g=10，a+d+e+f=21

通過韋恩圖的解答，可以清楚的看出，有10名同學(xué)只參加了一個(gè)學(xué)習(xí)小組，而參加物理小組的同學(xué)有21名。

結(jié)語

總之，若要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)和解題能力，就必須重視解題方法。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想作為一種行之有效的方法，可以拓寬學(xué)生解題思路，建立學(xué)生的發(fā)散思維，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的提升和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)意義重大。在新課改背景下，能力教育變得越來越重要，數(shù)形結(jié)合思想必將在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮更大的作用。

[1]劉桂玲.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].中國校外教育，2015,（13）∶106.

[2]馬玉武.探究數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國校外教育，2016，（35）∶15-16.

[3]卜艷波.數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國校外教育，2016，（31）∶120+122.

[4]張艷.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].中國校外教育，2016，（31）∶55+57.