高中數(shù)學中的立體幾何解題技巧

吉繆明

(無錫市第三高級中學,江蘇 無錫 214000)

高中數(shù)學中的立體幾何解題技巧

吉繆明

(無錫市第三高級中學,江蘇 無錫 214000)

立體幾何是高中數(shù)學難點和重點之一，作為需要空間思維的立體幾何，我們對幾何圖形的認識、處理及選擇正確思維方法直接決定了學生基礎(chǔ)知識的掌握程度和應(yīng)用水平.本文中筆者基于自身多年的教學經(jīng)驗，總結(jié)分析了立體幾何解決技巧，以供同仁參考.

立體幾何;解題;技巧

立體幾何是高中數(shù)學知識中的重點內(nèi)容，同時也是高考數(shù)學試卷中的一大難點，在高考試卷中占有較大比重的分值.在一般的練習或者考試中，由于立體幾何知識本身的特殊性、多變性以及學生自身數(shù)學邏輯的不足性，解決題目方法的單一性，最終導致學生在解決題目時出現(xiàn)大量的錯誤，失去了很高的分值.其實針對立體幾何的相關(guān)習題，不是一味的枯燥的計算，立體幾何也有其相關(guān)的解題技巧和解題方法.

一、借助輔助，實現(xiàn)題目簡單化

構(gòu)造輔助線是在立體幾何中常會出現(xiàn)的解題方法，也是最有效、最簡便的一種解題方法.通過構(gòu)造輔助線，可以使原來的立體幾何的圖形變得更加清晰，更加條理分明，題目的解決相較來說也會更加的容易.

例如，如右圖所示，有一二面角α-l-β，其中A、B∈α,D∈l，P∈β，PA⊥α，且PA=PD，ABCD是一個矩形，M，N分別是AB，PC的中點，證明：MN是異面直線AB和PC的公垂線.

分析 對于這道題目，看到題目的已知后，我們就能夠知道僅靠題目的已知是無法進行結(jié)論的證明的，要想實現(xiàn)結(jié)論的證明，就必須添加適當?shù)妮o助線，借助輔助線，實現(xiàn)結(jié)論的證明.根據(jù)題目給出的已知：M，N分別是AB，PC的中點，我們可以考慮“利用中點，連接中位線”的方法實現(xiàn)證明.針對這道題目，我們就可以選取PD的中點Q(如圖所示)，然后連接QN、QA，于是QN就是三角形的中位線，由題目給出的已知，得出AM∥DC，于是接下來就可以根據(jù)題目的已知進一步地實現(xiàn)題目的證明.通過已知，加上輔助線實現(xiàn)題目的最終證明，這樣的解題技巧是我們應(yīng)當掌握的.

二、轉(zhuǎn)換觀念，實現(xiàn)解題快速化

針對立體幾何來說，對于其中的一些特殊的問題，如求最值問題或者運動變化問題等，可以通過轉(zhuǎn)換思想觀念的方法實現(xiàn)題目的解決.

例如，如圖所示，有一正方體ABCD——A′B′C′D′，其棱長為2，已知長度為2的線段PQ滿足：P在正方體的AA′棱上，Q在面A′B′C′D′內(nèi)，那么問PQ的中點M的軌跡的面積是多少？

分析 針對這道題，這是一道動點問題，我們要抓住問題的關(guān)鍵和題目的已知，仔細的進行分析，對于題目中給出的已知“P在正方體的AA′棱上，Q在面內(nèi)”我們可以分析出無論線段PQ在什么位置，都有PA′⊥A′Q，然后再根據(jù)三角形的性質(zhì)“斜邊上的中線等于斜邊的一半”就可以實現(xiàn)全部已知條件的利用，于是接下來的題目的解決就變得簡單了.在這道題目中，我們通過將題目中PQ=2的這一定長轉(zhuǎn)換為了MA=l的這一定長，實現(xiàn)了題目的解決.在立體幾何中，經(jīng)常有多種類似的問題，我們只要掌握好轉(zhuǎn)換的思想，巧妙地應(yīng)用解題觀念的轉(zhuǎn)換，那么就可以顯著提高解題的速度.

三、巧設(shè)未知，實現(xiàn)計算簡便化

針對立體幾何的計算，有一個實現(xiàn)計算簡便化的方法，就是根據(jù)題目設(shè)置未知數(shù)，然后利用未知數(shù)構(gòu)建相關(guān)的算式與方程，最終通過未知數(shù)使得計算方法能夠進行化簡，最終實現(xiàn)題目的具體解決.

例如，如圖所示，有一個正四棱臺，其上、下底面面積分別為Q1,Q2，側(cè)面積是Q，試求其中一個對角面的面積.

分析 對于這道題，題目中給出的已知非常的少，只有三個計算的數(shù)據(jù)，但是要求解其中的一個對角面，需要的條件比較多，如何才能夠簡單的進行計算呢？這時，就可以采用“設(shè)而不求”的計算方法，通過在題目中構(gòu)造參數(shù)，然后實現(xiàn)題目的求解.我們可以設(shè)出需要的已知量，設(shè)上下底面的邊長分別為a，b，斜高是l，棱臺的高是h，于是對角面的計算應(yīng)該是：

總而言之，針對立體幾何的解題來說，我們面對題目時應(yīng)當不慌不忙，不驕不躁，靜下心來仔細地讀每一道習題，認真審題，找出題目中給出的已知，認真地進行分析，選擇合適的解題方法技巧：設(shè)而不求，做輔助線，轉(zhuǎn)換思想等，最終實現(xiàn)題目的輕松解決.

[1]江士彥. 芻議高中數(shù)學中的立體幾何解題技巧[J]. 讀與寫(教育教學刊)，2015(11):99+134.

[2]楊國鋒. 對立體幾何試題的一些分析和思考[J]. 數(shù)學學習與研究，2015(16).

[3]何豪明，陳朝陽. 立體幾何學習策略[J]. 中小學數(shù)學(高中版)，2015(04).

[4]許衛(wèi)華. 高中數(shù)學立體幾何教學策略分析[J]. 數(shù)理化學習，2014(03).

[責任編輯：楊惠民]

2017-06-01

吉繆明(1978-)男,江蘇無錫人,本科,中學一級,主要從事高中數(shù)學教學與研究.

G632

B

1008-0333(2017)19-0018-02