中點

圖形中，有時雖有中點卻無三角形的中位線，這時就要深入挖掘隱含條件，適當(dāng)添加輔助線，以便構(gòu)造中位線求解.模型構(gòu)建例 如圖1，在△ABC中，AB = AC，點D，E分別是邊AB，AC上的點，連接BE，DE，∠ADE = ∠AED，點F，G，H分別為BE，DE，BC的中點. 求證：FG = FH.解析：∵∠ADE = ∠AED，∴AD = AE.∵AB = AC，∴AB - AD = AC - AE，即BD = CE.∵點F，G，H分別為BE，DE，BC的中點，

康柳燕1 引言中點問題在中學(xué)階段的地位舉足輕重，與中點密切相關(guān)的線段[1]主要有兩種：中位線和中線.這兩個知識點貫穿整個初中幾何，題目難度往往較大，學(xué)生解題沒有方向.為此，筆者總結(jié)了7類有關(guān)中點的基本圖形及做題方法，以供參考.2 有關(guān)中點的基本圖形的分類及解法7類有關(guān)中點的基本圖形及做題方法總結(jié)如表1：表1中位線一般出現(xiàn)在三角形和四邊形的圖形中，中線則在三角形的題型中經(jīng)常使用，所以無論是分析圖形還是構(gòu)造輔助線，這兩種線段都是我們的重要解題工具.下面展示這

參考.1 有斜邊中點，連接成斜邊上的中線例1 圖1如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，在BC邊上任取一點P，作PQ∥AB交AC于點Q，作PR∥CA交BA于點R，D是BC的中點，求證：△RDQ是等腰直角三角形.證明 連接AD，RQ.在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，所以∠DBR=45°，因為D是BC的中點，所以AD⊥BC，∠DAQ=45°，AD=BD=CD，所以∠DBR=∠DAQ，∠ADB=∠ADC=90°，因為PQ∥AB，PR∥CA，所以

，與所截得的弦的中點有關(guān)的問題稱為圓錐曲線中的中點弦問題.其常見的命題形式有：求弦的中點的坐標(biāo)、求中點弦所在直線的方程、求圓錐曲線的方程.此類問題主要考查圓錐曲線的方程、中點坐標(biāo)公式、直線的方程、直線的斜率公式. 運用點差法解答圓錐曲線中的中點弦問題的步驟是：解：設(shè)P（x，y），Q（x，y），其中點M（x，y），將兩式相減得25（y+y）（y-y）+75（x+x）（x-x）=0，∵x+x=2x=l，y+y=2y，解答本題主要采用了點差法.先設(shè)出P、Q、M的

蔡忠平D由中點可以聯(lián)想等腰三角形“三線合一”、直角三角形斜邊上的中線、三角形的中位線等知識. 李英豪老師在《中點用法》直播課中，構(gòu)建了與中點相關(guān)的幾何模型，能夠幫助同學(xué)們根據(jù)不同條件作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，從而解決與中點相關(guān)的幾何問題.模型構(gòu)建模型一：中點 + 等腰，如圖1，考慮等腰三角形“三線合一”的性質(zhì);模型二：中點 + 直角，如圖2，聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì);模型三：中點 + 中點，如圖3，聯(lián)想三角形的中位線的性質(zhì);模型四：中點 + 平行，如圖4，

康柳燕1 引言中點問題在中學(xué)階段的地位舉足輕重，與中點密切相關(guān)的線段[1]主要有兩種：中位線和中線.這兩個知識點貫穿整個初中幾何，題目難度往往較大，學(xué)生解題沒有方向.為此，筆者總結(jié)了7類有關(guān)中點的基本圖形及做題方法，以供參考.2 有關(guān)中點的基本圖形的分類及解法7類有關(guān)中點的基本圖形及做題方法總結(jié)如表1：表1中位線一般出現(xiàn)在三角形和四邊形的圖形中，中線則在三角形的題型中經(jīng)常使用，所以無論是分析圖形還是構(gòu)造輔助線，這兩種線段都是我們的重要解題工具.下面展示這

C中，M為BC的中點的充要條件是AB+AC=2 AM。證明：由M為BC的中點，將該三角形補(bǔ)成以AB、AC為鄰邊的平行四邊形，由向量加法的平行四邊形法則及平行四邊形的對角線互相平分，可得AB+AC=2 AM。反 之，由2 AM=AB +AC，可得BA+AM=AC-AM，則BM—MC，可知M是BC的中點。故原結(jié)論成立。

李英豪線段中點是幾何圖形中的一個重要且特殊的點，是構(gòu)成一些常見幾何模型的核心要素. 下面就與中點用法相關(guān)的四個常見幾何模型展開說明.一、模型簡介模型1：中點 + 等腰模型模型特征：如圖1，△ABC中，AB = AC，點D為BC邊的中點.聯(lián)想方向：等腰三角形“三線合一”例1 如圖2，在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，M為BC的中點，MN⊥AC，垂足為N. 求MN的長.解析：根據(jù)模型1可以得出∠AMC = 90°，再根據(jù)勾股定理求出AM，最后

過這條邊上中線的中點，在對邊的射影是對邊靠近第三個頂點的三等分點.反之，這條邊的一個頂點與對邊靠近第三個頂點的三等分點的連線必過此邊中線的中點，亦成立.即如圖3，在△ABC中，點D是AB的中點，點O為中線CD的中點，則BO與AC的交點E為AC的三等分點，或點B與AC的三等分點E的連線必過CD的中點O.我們把點E叫做點B通過點O在直線AC上的射影.圖4進(jìn)一步探究，可得如下結(jié)論.如圖4，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，取中線AD的中點O1，連接BO1延長交

中，D為斜邊BC中點，點E在BC下方，滿足∠BEC = 45°，求AE∶DE的值. [A][C][B][D][E]圖13.如圖2，在等腰直角三角形ABC中，D為斜邊BC中點，點E在△ABC內(nèi)部，滿足∠BEC = 135°，求AE∶DE的值. [A][C][D][B][E]圖2答案：1. （3.2，4.4）或（-0.8，-3.6）或（5.6，1.2）或（-3.2，-0.4）2. [AE=2DE]3. [AE=2DE]

E，點D是AC的中點，若S△ABC=36，則S△ADF - S△BEF的值為（ ）.A. 9 ? ? ? ? B. 12 ? ? ? C. 18 ? ? ? ? ? D. 24解析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)△ABD與△ABE存在公共部分△ABF，則[S△ABD-S△ABE=S△AFD+S△ABF-（S△BEF+S△ABF）=S△AFD-S△BEF]，∵S△ABC=36，EC=3BE，∴[S△ABES△ACE=BECE=13]，∴S△ABE [=14]S△ABC=

，D為斜邊AB的中點，DE⊥DF，G在BC上，∠DEA = ∠DEG，求證：GE = GF. [A][E][D][F][B][C][G]圖23.如圖3，已知△BAC和△BED均為等腰直角三角形，其中∠BAC = 90°，∠EBD =90°，將△BED以點B為中心旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E，D，C三點共線時停止.取 EC的中點O，連接AO. 試探索AO與CD之間的關(guān)系. [B][E][O][D][A][C]圖3

型】 1. ?雙中點模型條件：如圖1，在△ABC中，點D是AB的中點，點E是AC的中點;結(jié)論：數(shù)量關(guān)系是[DE=12BC或BC=2DE]，位置關(guān)系是[DE?BC]. （三角形中位線定理）2. 中點 + 平行線模型條件：如圖1，在△ABC中，點D是AB的中點，DE[?]BC;結(jié)論：數(shù)量關(guān)系是[DE=12BC或BC=2DE]，位置關(guān)系是點E是AC的中點. （證明過程略）通常借助輔助線構(gòu)建三角形中位線定理模型，如：托底平行線型（如圖2），中點平底線型（如圖3）.

O]為[AC]的中點. （1）如圖1，當(dāng)點[P]與點[O]重合時，線段[OE]和[OF]的關(guān)系是;（2）當(dāng)點[P]運動到如圖2所示的位置時，請在圖中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立;（3）如圖3，點[P]在線段[OA]的延長線上運動，當(dāng)[∠OEF=30°]時，試探究線段[CF]，[AE]，[OE]之間的關(guān)系.[學(xué)情分析]（1）考查三角形全等的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì). 如圖1，由AE⊥BD，CF⊥BD，易得AE[?]CF;由點O是AC

的形式給出了由弦中點坐標(biāo)表示橢圓、雙曲線、拋物線相應(yīng)的弦的斜率的三個公式.本文對此推廣，給出一般二次方程表示的二次曲線的弦的斜率與弦的中點坐標(biāo)的關(guān)系式，并稱此為中點弦公式．這樣，文[1]中的三個公式就是一般中點弦公式的簡單推論．同時，我們還運用中點弦公式給出一般二次曲線共點弦族與平行弦族中點軌跡方程的一般形式．1 一般二次曲線的中點弦公式平面上，由關(guān)于x,y的二元二次方程表示的曲線C稱為二次曲線，簡記為C:F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+

120) 王存斗中點問題是解析幾何中最常見的題型之一，而如何用中點？如何求中點？學(xué)生可能沒有成熟的經(jīng)驗和具體的措施，為此，本文從優(yōu)化解題的角度來探討中點在解析幾何中的三種用法，供讀者參考.一、抓住中點的幾何特征中點的幾何性質(zhì)非常明顯，也常隱藏在圓心、對稱、平行四邊形等條件中，如果能在解題中充分發(fā)揮它的幾何作用，可使解題過程進(jìn)一步優(yōu)化.圖1評注：由于D點是兩直線的交點，很多同學(xué)都會想到“交軌法”求其軌跡方程，但本題若用此法，運算就會過于繁雜.而本解法是在理解

，經(jīng)常會出現(xiàn)多個中點.有的中點與另一個中點相連，就成了中位線;有的中點與直角頂點相連，就成了斜邊的中線. 當(dāng)圖形復(fù)雜或圖形不完整時，都會出現(xiàn)你想不到的斜邊中線、看不見的中位線.例1 如圖1，在[△ABC]中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高.（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形;（2）求證：∠DHF = ∠DEF.解析：（1）由DE，EF是[△ABC]的中位線，可得DE[?]AC，EF[?]AB，則四邊形ADEF是平行四邊形.

別是AD，BC的中點，F(xiàn)E的延長線和BA，CD的延長線分別交于G，H.若AB=CD，求證：∠1=∠2簡解 如圖1，連接AC，取AC中點P，連接EP，F(xiàn)P，因為E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，所以EP，F(xiàn)P分別是△ADC，△ABC的中位線，所以PE12CD，PF12AB，所以∠2=∠4，∠1=∠3，又AB=CD，所以PE=PF，所以∠3=∠4，所以∠1=∠2評析 遇中點，在三角形中倍長中線和構(gòu)造中位線是常見的解題切入口，本題已知四邊形一組對邊的兩個中點，通過連

中數(shù)學(xué)的解題中，中點起著非常重要的作用.如果能用好、用活中點，不但能提高解題速度，而且能夠提高解題的準(zhǔn)確度，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)插上騰飛的翅膀.線段的中點是幾何圖形中的一個非常特殊的點.在解決與中點有關(guān)的問題時，如果能適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線、巧妙地利用中點是處理中點問題的關(guān)鍵.但是由于含有中點的問題的輔助線作法靈活，不少學(xué)生難以掌握.一、中位線方法一(圖2)分析在△ABC中存在一個中點D，所以需要再找到一個中點才能構(gòu)造出D為中位線，這時候我們

的深入，我們和“中點”打交道的機(jī)會越來越多了，中位線、中線、中點四邊形（順次連接四邊形各邊中點的四邊形叫中點四邊形）等都和中點有著千絲萬縷的關(guān)系，但有時不免容易將它們之間的關(guān)系混淆。下面是三個常見問題的錯因剖析，希望能給同學(xué)們一些啟發(fā)。例1 順次連接四邊形ABCD各邊中點，所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是（? ? ? ?）。A.菱形 B.對角線互相垂直的四邊形C.矩形 D.對角線相等的四邊形【錯解】選B或C。【錯因剖析】看到菱形就想到對角線互相垂

DC.0為AC的中點.E為PC的中點，PA=AC=2AB=2.（I）證明：平面DOE//平面PAB（Ⅱ）求直線ED與平面PBC所成角的正弦值.（I）證明：由于0為AC的中點，∠ABC=90°，且AC=2，所以BO=1/2 AC=1.同理，D0=1.又△ABC≌△ADC，2AB=2，所以AB=AD=1，則四邊形ABOD是平行四邊形，于是可知DO∥AB.由E為PC的中點，可知EO∥PA，由于DO∩ OE=O，PA ∩AB=A，DO，EO C平面DOE，PA，A

的深入，我們和“中點”打交道的機(jī)會越來越多了，中位線、中線、中點四邊形（順次連接四邊形各邊中點的四邊形叫中點四邊形）等都和中點有著千絲萬縷的關(guān)系，但有時不免容易將它們之間的關(guān)系混淆。下面是三個常見問題的錯因剖析，希望能給同學(xué)們一些啟發(fā)。例1順次連接四邊形ABCD各邊中點，所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是（ ）。A.菱形 B.對角線互相垂直的四邊形C.矩形 D.對角線相等的四邊形【錯解】選B或C?！惧e因剖析】看到菱形就想到對角線互相垂直，從而錯選了

寧中學(xué) 利用橢圓中點弦的性質(zhì),可以快捷、方便地解決有關(guān)中點弦問題。一、利用橢圓中點弦的性質(zhì)，解決有關(guān)中點弦的斜率、所在直線方程問題例1已知橢圓=1內(nèi)有一點P(3,1),過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點。若弦AB的中點恰為點P,則該直線l的斜率為 。分析:橢圓方程確定,中點確定,可以利用上述中點弦性質(zhì),得到所需的結(jié)論。例2已知橢圓內(nèi)一點P(-1,1),過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點。若弦AB的中點恰為點P,則該直線l的方程為 。分析:要求直線方程,已知

同一直線上兩線段中點間的距離時得到的結(jié)論與同學(xué)們分享.設(shè)點C為線段AB上任意一點，點P、Q、R分別為線段AB、AC、BC的中點，如圖1.圖1如果我們把AB稱為全線段，AC、BC稱為分線段，那么可以得出下面兩個結(jié)論：【結(jié)論一】全線段的中點與一分線段的中點的距離，等于另一分線段長的一半.【結(jié)論二】兩分線段的中點間的距離等于全線段長的一半.利用以上兩個結(jié)論，可使計算同一直線上兩線段中點間的距離問題，省時、簡捷.1.已知：如圖2，設(shè)AC=4，BC=6，點P、Q、R

建芬淺析初中數(shù)學(xué)中點問題山西祁縣第三中學(xué)暢建芬初中數(shù)學(xué)線段中點線段的中點是幾何圖形中的一個特殊點，與中點有關(guān)的問題很多。在近幾年的中考題中，中點問題是高頻題，涉及到選擇、填空、簡答每一種題型。添加適當(dāng)?shù)妮o助線，恰當(dāng)?shù)乩?span id="j5i0abt0b" class="hl">中點是處理中點問題的關(guān)鍵。一、等腰三角形的“三線合一”如果已知等腰三角形底邊上的中點，就要聯(lián)想到“三線合一”的性質(zhì)。例如：如圖，已知：∠BAC=60°，AB= AC=2，D為BC邊的中點，則AD=____分析：知道了底邊BC的中點D，應(yīng)該聯(lián)

O的直徑，C是的中點，AB和DC的延長線交⊙O外一點E.求證：BC = EC.方法一 如圖所示，連接AC.∵ AD是⊙O的直徑， ∴ ∠ACD = 90° = ∠ACE.∵ 四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴ ∠D + ∠ABC = 180°.又∠ABC + ∠EBC = 180°， ∴ ∠EBC = ∠D.∵ C是的中點， ∴ ∠1 = ∠2，∴ ∠1 + ∠E = ∠2 + ∠D = 90°，∴∠E=∠D，∴ ∠EBC=∠E， ∴ BC=EC.方法二如圖所

白新慧線段中點是幾何圖形中的一個特殊點，與線段中點有關(guān)的圖形問題是初中數(shù)學(xué)的重要題型，也是各地中考試卷中的高頻考點.與線段中點有關(guān)的結(jié)論很多，比如等腰三角形三線合一、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、三角形中位線定理、平行四邊形兩條對角線的交點平分兩條對角線，圓的垂徑定理及其推論等.在初三總復(fù)習(xí)的教學(xué)過程中教師應(yīng)該怎樣引導(dǎo)學(xué)生運用中點巧妙靈活地解決問題呢？1梳理與中點有關(guān)的知識，使中點知識體系化把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段的中點，這是線段中點的定義

同一直線上兩線段中點間的距離時得到的結(jié)論與同學(xué)們分享.設(shè)點C為線段AB上任意一點，點P、Q、R分別為線段AB、AC、BC的中點，如圖1.則PQ=AP-AQ=AB-AC=（AB-AC）=BC.PR=BP-BR=AB-BC=（AB-BC）=AC.QR=RC+QC=BC+AC=（BC+AC）=AB.如果我們把AB稱為全線段，AC、BC稱為分線段，那么可以得出下面兩個結(jié)論：【結(jié)論一】全線段的中點與一分線段的中點的距離，等于另一分線段長的一半.【結(jié)論二】兩分線段的中

點，若E是AB的中點，S△BEF=2，則k的值為.（2014年遵義）解析設(shè)E的坐標(biāo)為（a，ka），則B點的坐標(biāo)為（2a，ka），F(xiàn)點的坐標(biāo)為（2a，k2a），所以BF=ka-k2a=k2a，因此S△BEF=12·a·k2a=k4，故k4=2，k=8.發(fā)現(xiàn)結(jié)論通過上述的探究發(fā)現(xiàn)：（1）從反比例函數(shù)上兩點分別向兩坐標(biāo)軸上做垂線，構(gòu)成矩形OABC，若其中一點是矩形邊的中點，則另一點是矩形另一邊的中點.（2）若反比例函數(shù)y=kx（k>0），如圖1，則矩形OABC的

AB.線段CF的中點為M，DH的中點為N，則線段MN的長為（）.二、分析與解法本題以學(xué)生熟悉的正方形為基本圖形，主要考查梯形中位線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理等知識，是一道綜合性較強(qiáng)的試題.正方形EFGH在正方形ABCD所在的平面上移動，它的位置不確定，這也增加了試題的難度.筆者通過查閱資料及網(wǎng)上搜索發(fā)現(xiàn)，對這一試題的解法均采用了特殊化策略，即將正方形EFGH的位置特殊化，給出了如下解法1.解法1：如圖2，將正方形E

別為AD與BC的中點，聯(lián)結(jié)EF與BA的延長線相交于點N，與CD的延長線相交于點M.求證：∠BNF=∠CMF.(2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初二組初賽試題)圖1 圖21 證法剖析及推廣證法1如圖2，聯(lián)結(jié)AC，取AC的中點K，聯(lián)結(jié)EK，F(xiàn)K.因為AE=ED，AK=KC,所以同理從而故∠FEK=∠EFK.由EK∥DC,得∠CMF=∠FEK,又因為FK∥AB,所以∠BNF=∠EFK,因此∠BNF=∠CMF.推論1在四邊形ABCD中，E,F分別是AD,CB的中點，AB

近年來,常出現(xiàn)以中點為背景的中考試題.現(xiàn)以2008年中考題為例,介紹借助中點構(gòu)造基本圖形的一些方法,希望對同學(xué)們有幫助.一?中點“安家”例1 (2008年·上海市)如圖1,在△ABC中,點D在邊AC上,DB=BC,點E是CD的中點,點F是AB的中點.求證:EF=AB.證明:連接BE.因為DB=BC,點E是CD的中點,所以BE⊥CD.又因為點F是Rt△ABE斜邊上的中點,所以EF=AB.點評:此題出現(xiàn)了兩次中點的“安家” .(1)中點E“安家落戶”于等腰△B

,y0)是AB的中點，則有x1+x2=2x0 ①y1+y2=2y0 ②x21a2+y21b2=1 ③x22a2+y22b2=1 ④由③-④得x21-x22a2+y21-y22b2=0，即(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,①，②代入得x0(x1-x2)a2+y0(y1-y2)b2=0⑤即x0a2+y0b2?y1-y2x1-x2=0(x1≠x2) ⑥⑥就是過AB的中點弦方程.再由①、②代入⑤消去x2,y2得x0(x1-x0

線的弦AB以M為中點，則稱AB為過點M的中點弦.中點弦問題是中學(xué)解析幾何中的典型問題，它的存在性容易忽視.本文探究根據(jù)二次曲線方程及中點M的坐標(biāo)判斷中點弦的存在性及弦的方程.“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”