鏡像問題新的教學(xué)方法研究

謝寶昌

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

鏡像問題新的教學(xué)方法研究

謝寶昌

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

本文利用靜態(tài)場(chǎng)基本特性提出鏡像問題新的教學(xué)方法:空間場(chǎng)量利用場(chǎng)源積分獲得，未知場(chǎng)源根據(jù)交界面銜接條件確定，避免了鏡像場(chǎng)源位置的假設(shè)和矢量場(chǎng)唯一性定理的驗(yàn)證，教學(xué)過程突出了場(chǎng)量的物理特性，更加直觀，便于學(xué)生理解。

靜態(tài)場(chǎng); 鏡像; 場(chǎng)源; 邊界條件

0 引言

鏡像問題是“電磁場(chǎng)”課程的重要教學(xué)內(nèi)容之一，它是利用矢量場(chǎng)唯一性定理在求解區(qū)域外部設(shè)置鏡像場(chǎng)源[1,2]，根據(jù)交界面銜接條件確定鏡像場(chǎng)源分布，學(xué)生往往對(duì)“假設(shè)場(chǎng)源具有鏡像分布特征”難以理解。

本文針對(duì)靜態(tài)場(chǎng)鏡像問題提出新的教學(xué)方法，通過分析空間場(chǎng)源分布和場(chǎng)量的特性，直接對(duì)場(chǎng)源空間積分求解場(chǎng)量，并利用交界面銜接條件確定交界面上的場(chǎng)源分布，從而確定空間場(chǎng)分布的積分表達(dá)式。

1 靜電場(chǎng)平面導(dǎo)體鏡像問題

設(shè)接地導(dǎo)體位于z=0平面，上半空間z>0有電荷，電荷體密度為ρ，如圖1(a)所示。

(a) (b) (c)圖1 典型平面鏡像問題

先分析上半空間分布電荷密度ρ產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度

(1)

其中，r=axx+ayy+azz和s=axx0+ayy0+azz0(z0>0)分別為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)空間矢徑，dV為場(chǎng)源體元。

式(1)表明上半空間電荷密度ρ產(chǎn)生的電場(chǎng)充滿整個(gè)空間。由于平面導(dǎo)體接地，導(dǎo)體靜電屏蔽使得下半空間合成電場(chǎng)強(qiáng)度為零。于是，平面導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷在下半空間產(chǎn)生的電場(chǎng)E2n為

(2)

再分析導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，設(shè)感應(yīng)電荷面密度為ρs，則產(chǎn)生的空間電場(chǎng)強(qiáng)度為

(3)

其中，si為導(dǎo)體感應(yīng)電荷源空間矢徑，dS為其面元。

考慮關(guān)于平面對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)：r=axx+ayy±azz，由式(3)可知，平面分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度具有空間對(duì)稱特性，即兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)處，垂直平面的z分量大小相同但方向相反，平行平面的分量大小和方向相同。

根據(jù)對(duì)稱性，由式(2)得到平面感應(yīng)電荷在上半空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E2p用符號(hào)函數(shù)sgn(·)表示為

(4)

其中，矢量R=r-s+(az·s)[1+sgn(z)]az。

式(4)表明平面感應(yīng)電荷在上半空間產(chǎn)生的電場(chǎng)相當(dāng)于位于對(duì)稱位置密度相同但極性相反分布的鏡像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。將式(2)和(4)合并得到平面感應(yīng)電荷產(chǎn)生的空間電場(chǎng)強(qiáng)度分布

(5)

最后，空間電場(chǎng)強(qiáng)度由式(1)和式(5)疊加而成。

(6)

由式(6)不難發(fā)現(xiàn)，下半空間z<0的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，上半空間z>0的電場(chǎng)強(qiáng)度除了電荷密度ρ外，相當(dāng)于下半空間鏡像位置有相反的電荷密度-ρ的貢獻(xiàn)。

比較式(3)和式(5)得到感應(yīng)電荷面密度分布為

(7)

式(7)也可由電位移矢量的交界面條件確定。

2 靜電場(chǎng)平面介質(zhì)鏡像問題

如圖1(b)所示，z=0分界面兩側(cè)電介質(zhì)的介電常數(shù)分別為ε1和ε2，上半空間z>0自由電荷分布體密度為ρ，空間電場(chǎng)強(qiáng)度是由電荷產(chǎn)生的，電介質(zhì)中存在自由電荷與極化電荷，上半空間總的體電荷密度ρt為

ρt(r)=ε0▽·E=ε0ρ(r)/ε1

(8)

下半空間極化體電荷密度為零，在交界面上存在極化電荷，設(shè)極化電荷面密度為ρbs，則整個(gè)空間的電場(chǎng)強(qiáng)度分布用電荷密度空間體積分表示：

(9)

式(9)表明在交界面兩側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，體積分項(xiàng)的電場(chǎng)強(qiáng)度法向分量連續(xù)，面積分項(xiàng)電場(chǎng)強(qiáng)度法向分量對(duì)稱，即±azρbs/2ε0。根據(jù)交界面銜接條件，電位移矢量D=εE的法向分量也必須連續(xù)，由此確定交界面上r處的極化電荷面密度ρbs，即

(10)

將式(8)和式(10)代入式(9)得到整個(gè)空間的電場(chǎng)強(qiáng)度分布為

(11)

其中，k=(ε1-ε2)/(ε1+ε2)，si為平面極化源矢徑。

因az·s=az·(s-si)，式(11)面積分項(xiàng)可簡(jiǎn)化為

(12)

不難發(fā)現(xiàn)，在上半空間的電場(chǎng)強(qiáng)度，相當(dāng)于整個(gè)空間介質(zhì)參數(shù)為ε1，除了上半空間電荷體密度ρ外，還需要在下半空間鏡像位置填充自由電荷體密度為k對(duì)上半空間電場(chǎng)強(qiáng)度的貢獻(xiàn)。在下半空間的電場(chǎng)強(qiáng)度，相當(dāng)于整個(gè)空間填充介質(zhì)參數(shù)為ε2，并在原來體電荷分布空間填充自由電荷體密度為(1+k)ρε2/ε1。

3 靜磁場(chǎng)平面介質(zhì)鏡像問題

如圖1(c)所示，z=0分界面兩側(cè)磁導(dǎo)率分別為μ1和μ2，上半空間z>0傳導(dǎo)電流分布體密度為J，空間磁感應(yīng)強(qiáng)度是由電流產(chǎn)生的，磁介質(zhì)中存在傳導(dǎo)電流與磁化電流，上半空間總的體電流密度Jt為

Jt(r)=▽×B/μ0=μ1J(r)/μ0

(13)

下半空間體電流密度為零，在交界面上存在磁化面電流，且只有切向分量，設(shè)磁化電流面密度為Jms，則空間磁感應(yīng)強(qiáng)度分布為

(14)

式(14)表明在交界面兩側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)，磁感應(yīng)強(qiáng)度體積分項(xiàng)切向分量連續(xù)，面積分項(xiàng)切向分量反對(duì)稱，即±μ0Jms×az/2。根據(jù)交界面銜接條件，磁場(chǎng)強(qiáng)度H=B/μ的切向分量也必須連續(xù)，由此確定交界面上r處的磁化電流面密度Jms，即

(15)

其中，km=(μ1-μ2)/(μ1+μ2)。

將式(13)和式(15)代入式(14)得到整個(gè)空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布

(16)

類似式(12)，式(16)面積分項(xiàng)可簡(jiǎn)化為

(17)

式(17)中Jz和Jp分別為垂直和平行于交界面的傳導(dǎo)電流密度J的兩個(gè)分量。不難發(fā)現(xiàn)，在上半空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度相當(dāng)于整個(gè)空間介質(zhì)參數(shù)為μ1，除了上半空間電流體密度J外，還需要在下半空間鏡像位置填充傳導(dǎo)電流體密度為km(Jz-Jp)對(duì)上半空間磁感應(yīng)強(qiáng)度的貢獻(xiàn)，這里根據(jù)上、下半空間磁導(dǎo)率大小不同，其中一個(gè)電流密度分量鏡像后需要改變方向。在下半空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度，相當(dāng)于整個(gè)空間填充介質(zhì)參數(shù)為μ2，并在原來傳導(dǎo)電流分布空間填充傳導(dǎo)電流體密度為(1-km)Jμ1/μ2。

當(dāng)電流密度J沒有垂直交界面的z分量時(shí)，式(15)磁化電流面密度Jms簡(jiǎn)化為

(18)

由此可見，靜態(tài)電磁場(chǎng)平面鏡像問題有相似之處。

4 靜電場(chǎng)圓球面鏡像問題

靜電場(chǎng)是無旋場(chǎng)，可以采用電位的負(fù)梯度計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度，利用反演變換可以將靜電場(chǎng)圓球面鏡像問題轉(zhuǎn)換為平面鏡像問題[3,4]。如圖2(a)所示，導(dǎo)體圓球面電位為U0，球面外體電荷密度為ρ，球面上面電荷密度為ρs。由于反演變換只有零電位面保持為零電位面，其他等位面經(jīng)過反演變換后將不再是等位面，因此需要重新選擇電位參考點(diǎn)，使得圓球面電位為零，如圖2(b)所示。這時(shí)需要考慮無窮遠(yuǎn)處的電荷經(jīng)反演變換后出現(xiàn)在變換中心O點(diǎn)處，如圖2(c)所示。

(a) (b) (c)圖2 圓球面鏡像問題

設(shè)導(dǎo)體圓球面半徑為b，反演變換半徑為a，且a>2b，反演變換后圓球面變換為平面且離O點(diǎn)的距離d=a2/2b，點(diǎn)電荷為q0=-4πεaU0，空間體電荷密度為ρi，面電荷密度為ρsi，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)的圓球坐標(biāo)系中變換關(guān)系為

ri=a2r/r2

(19a)

ρi(r)=(a/r)5ρ(a2r/r2)

(19b)

ρsi(r)=(a/r)3ρs(a2r/r2)

(19c)

變換后的空間電位分布

(20)

其中，面電荷分布ρsi由已知場(chǎng)源q0和ρi以及前面討論的靜電場(chǎng)導(dǎo)體平面鏡像問題的方法確定。

于是，圖2(b)空間的電位分布由反演變換得到

φo(r)=(a/r)φi(a2r/r2)

(21)

圖2(a)空間電位分布只要在式(21)右邊增加常數(shù)項(xiàng)U0即可。

5 結(jié)語

本文提出了靜態(tài)場(chǎng)鏡像問題新的教學(xué)方法，整個(gè)空間場(chǎng)量利用場(chǎng)源空間積分獲得，交界面上的未知場(chǎng)源分布利用交界面銜接條件確定，交界面上場(chǎng)源產(chǎn)生的場(chǎng)量相當(dāng)于鏡像位置場(chǎng)源的貢獻(xiàn)，避免了鏡像場(chǎng)源位置的假設(shè)和矢量場(chǎng)唯一性定理的驗(yàn)證。教學(xué)過程突出了場(chǎng)量的物理特性，更加直觀也便于學(xué)生理解。

[1] 周希朗. 電磁場(chǎng)[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2008年

[2] 謝處方，饒克謹(jǐn). 電磁場(chǎng)與電磁波[M]. 北京：高等教育出版社，第4版，2006年

[3] 謝寶昌. 靜電場(chǎng)導(dǎo)體球面與平面鏡像關(guān)系研究[J]. 南京：電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，第37卷第6期，2015年

[4] 謝寶昌. 電磁能量[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2016年

Research on Novel Teaching Method of Mirror Image Problems

XIE Bao-chang

(SchoolofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShanghaiJiaoTongUniversity,Shanghai200240,China)

A novel teaching method is proposed by using characteristics of the static field in this paper. Field vector is obtained by integral of spatial sources while the unknown source on the interface is determined by boundary conditions. Therefore, postulation of mirror image source position and theoretical verification of uniqueness of vector field are avoided. The teaching process is more intuitive and outstanding the field characteristics which are helpful to make students understand.

static electromagnetic field; mirror image; field source; boundary condition

2016-06-27;

2017-01- 04

謝寶昌(1965-)，男，博士，副教授，主要從事電機(jī)與電器的教學(xué)與研究工作，E-mail：bcxie@sjtu.edu.cn

TM153

A

1008-0686(2017)03-0040-04