張 睆，辛自強(qiáng)，陳英和，胡衛(wèi)平

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分?jǐn)?shù)概念語義理解對(duì)兒童乘法應(yīng)用題表征的影響

張 睆1，4，辛自強(qiáng)2，陳英和3，胡衛(wèi)平4

（1．山西師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，山西臨汾 041004；2．中央財(cái)經(jīng)大學(xué)社會(huì)與心理學(xué)院，北京 100081；3．北京師范大學(xué)發(fā)展心理研究所，北京 100875；4．陜西師范大學(xué)現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710062）

理解分?jǐn)?shù)概念語義含義，意味著能用分?jǐn)?shù)符號(hào)表示不同問題情境中兩個(gè)量的關(guān)系．而分?jǐn)?shù)應(yīng)用題表征的關(guān)鍵，是將問題情境中事實(shí)關(guān)系正確轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)運(yùn)算．二者關(guān)系尚缺乏實(shí)證研究加以檢驗(yàn)．以295名小學(xué)六年級(jí)學(xué)生為被試，考察了兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解對(duì)乘法應(yīng)用題表征的影響．結(jié)果表明：（1）兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解可以整體預(yù)測(cè)乘法應(yīng)用題表征水平；（2）兒童在部分整體含義和測(cè)量含義的理解水平，均可單獨(dú)預(yù)測(cè)其對(duì)計(jì)量、比較和轉(zhuǎn)換乘法應(yīng)用題表征水平；（3）兒童對(duì)“比”的理解，可單獨(dú)預(yù)測(cè)比較應(yīng)用題表征水平，對(duì)“商”的理解，可單獨(dú)預(yù)期轉(zhuǎn)換應(yīng)用題表征水平，同時(shí)，算子含義不能單獨(dú)預(yù)測(cè)任何應(yīng)用題表征水平．這一結(jié)果說明，兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解影響其表征應(yīng)用題中的事實(shí)關(guān)系．

分?jǐn)?shù)概念；語義理解；分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；應(yīng)用題表征

1 問題提出

對(duì)小學(xué)兒童來說，分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而正確表征此類問題則是難中之難．研究表明，兒童解決分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的常見錯(cuò)誤表現(xiàn)為3方面：不能理解題意，難于選擇正確的運(yùn)算程序，計(jì)算錯(cuò)誤[1]．其中前兩項(xiàng)都與問題表征有關(guān)．已有應(yīng)用題表征研究雖多，但大都以整數(shù)應(yīng)用題為材料，從任務(wù)特征[2~3]、表征策略[4~5]、問題圖式[6]、一般認(rèn)知能力和動(dòng)機(jī)—人格特點(diǎn)等因素著手，重在探討應(yīng)用題表征的一般心理機(jī)制．目前尚未有研究關(guān)注數(shù)學(xué)概念語義理解在應(yīng)用題表征中的作用．

從數(shù)學(xué)概念語義理論和應(yīng)用題解決的過程模型來看，分?jǐn)?shù)概念的語義理解水平，可能是影響分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征的重要因素．

數(shù)學(xué)是人類用以描述“事實(shí)關(guān)系”的一種語言，而符號(hào)是構(gòu)成語言的基本單位．因而與一般科學(xué)概念不同，數(shù)學(xué)概念是一族符號(hào)，這些符號(hào)指稱了各種對(duì)象、操作或關(guān)系．這種符號(hào)與其對(duì)象之間的指稱關(guān)系，就稱為該數(shù)學(xué)概念的語義含義[7~8]．當(dāng)人類掌握了這些語義含義，作為符號(hào)的數(shù)學(xué)概念就會(huì)成為一種認(rèn)知工具，人類可以運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)，來表示特定的事實(shí)關(guān)系，進(jìn)而在心智層面上通過數(shù)學(xué)運(yùn)算解決現(xiàn)實(shí)中的問題[9]．

以分?jǐn)?shù)概念為例，與整數(shù)相比，分?jǐn)?shù)的意義要復(fù)雜得多．分?jǐn)?shù)/是一個(gè)符號(hào)，它可以指稱不同情境中的兩個(gè)量之間的等分、包含、對(duì)應(yīng)、變換、相除等多種關(guān)系，從而具有部分整體、測(cè)量、比、算子、商等多種含義，理解這些含義，則意味著兒童可以用分?jǐn)?shù)符號(hào)表示特定問題情境中兩個(gè)量的關(guān)系[10]．具體來說，商含義表示了在數(shù)學(xué)運(yùn)算中被除數(shù)與除數(shù)之間的除法運(yùn)算關(guān)系，部分—整體含義表示了在分配問題情境中整體量與部分量之間的包含與補(bǔ)償關(guān)系，測(cè)量含義表示了測(cè)量情境中所測(cè)量與單位量之間的包含關(guān)系，比含義表示了比例問題情境中兩個(gè)量之間的比例關(guān)系，而算子含義則表示了各種變換問題情境中輸入量與輸出量之間的變換關(guān)系[10]．同時(shí)，作為一種攜帶語義含義的符號(hào)，分?jǐn)?shù)概念也是一種認(rèn)知工具．兒童理解了這些含義，他們就能夠利用分?jǐn)?shù)來處理分配、測(cè)量等問題情景中的變量關(guān)系[9，11]．

從應(yīng)用題解決過程來看，數(shù)學(xué)應(yīng)用題往往用自然語言陳述，以事實(shí)關(guān)系為題材，并通過數(shù)學(xué)運(yùn)算解決[12]．而成功解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是正確表征問題中所包含的事實(shí)關(guān)系[13~14]．這一表征過程包括了語義理解、邏輯建構(gòu)和邏輯—數(shù)學(xué)類比3個(gè)環(huán)節(jié)[15]．語義理解是將應(yīng)用題文本轉(zhuǎn)化為其所指稱的現(xiàn)實(shí)問題情境的過程，即解題者首先將文本語言轉(zhuǎn)換為內(nèi)在語言表征，然后將這些內(nèi)在語言表征整合在一起，從而形成對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的情景表征．邏輯建構(gòu)是將實(shí)際問題情境轉(zhuǎn)化為特定的邏輯結(jié)構(gòu)，例如包含關(guān)系、序列關(guān)系、比較關(guān)系等．而邏輯—數(shù)學(xué)類比則是將現(xiàn)實(shí)問題情境的內(nèi)在邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型的過程．簡(jiǎn)而言之，應(yīng)用題表征就是一個(gè)“書面文本—問題情境—邏輯結(jié)構(gòu)—數(shù)學(xué)模型”的轉(zhuǎn)換過程．

在這一轉(zhuǎn)換過程中，同一類數(shù)學(xué)應(yīng)用題可能具有多種問題情境．只有理解了這些問題情境，才能建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型．例如，分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題就具有計(jì)量、比較和轉(zhuǎn)換3種具體問題情境[13，16]．所謂計(jì)量（compute）問題，是指一個(gè)單位量與測(cè)度量相乘，其中被乘數(shù)是單位量，乘數(shù)是測(cè)度量，積也是測(cè)度量．該問題表示將一個(gè)單位量反復(fù)累加．例如“蘋果的價(jià)格為每斤2/3元，如果甲農(nóng)民現(xiàn)在有90斤蘋果，可以賣多少元？”其中，每斤2/3元是單位量，而90斤是數(shù)量，結(jié)果量是將每斤2/3元反復(fù)累加90次后得到的．比較（compare）問題，指一個(gè)測(cè)度量和倍數(shù)相乘，其中被乘數(shù)是測(cè)度量，乘數(shù)是倍數(shù)（關(guān)系量），積是測(cè)度量，該問題表示兩個(gè)測(cè)度量的倍數(shù)比較關(guān)系．例如，“甲農(nóng)民原有蘋果90斤，如果賣掉了原來的2/3，問賣掉蘋果多少斤”．2/3表示賣掉和原來蘋果數(shù)量的倍比關(guān)系．轉(zhuǎn)換（convert）問題指兩個(gè)單位量相乘，乘積也為一個(gè)單位量．該問題表示單位的轉(zhuǎn)換，例如，“農(nóng)民每天可收蘋果90斤，如果每斤蘋果售價(jià)為2/3元，請(qǐng)問農(nóng)民每天收入多少元”．該問題中，“斤/天”乘以“元/斤”，變換為“元/天”．可以看出，只有正確判斷出分?jǐn)?shù)2/3是表示測(cè)度、單位還是倍比關(guān)系，才能識(shí)別出相應(yīng)的問題情境，并建立正確的數(shù)學(xué)算式．

綜上，分?jǐn)?shù)概念的不同語義實(shí)質(zhì)上代表了不同問題情境中兩個(gè)量的具體關(guān)系，理解這些含義，意味著兒童可以用分?jǐn)?shù)符號(hào)表示這些關(guān)系．而從應(yīng)用題表征過程來看，成功表征分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵，是建立分?jǐn)?shù)運(yùn)算模型和具體問題情境間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．因此可以預(yù)測(cè)，兒童對(duì)于分?jǐn)?shù)特定含義的理解水平，可以預(yù)測(cè)他們對(duì)特定分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的表征能力．

然而，這一理論預(yù)期尚缺乏來自數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域的研究證據(jù)．目前只有為數(shù)不多的研究關(guān)注了分?jǐn)?shù)概念對(duì)應(yīng)用題解決的影響．且未從語義理解的視角探討這一問題．Hardiman 等人曾發(fā)現(xiàn)當(dāng)分?jǐn)?shù)是被乘數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題并不比整數(shù)應(yīng)用題更難．但是當(dāng)分?jǐn)?shù)是乘數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題要顯著難于整數(shù)應(yīng)用題．他認(rèn)為這與兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解有關(guān)[16]．Hecht發(fā)現(xiàn)兒童的概念性知識(shí)能很好地預(yù)測(cè)兒童的應(yīng)用題解決成績(jī)[17]，并且在控制了工作記憶水平，簡(jiǎn)單算術(shù)運(yùn)算知識(shí)以及閱讀能力等變量之后，這種預(yù)測(cè)作用依然存在[18]．但是他認(rèn)為，概念性知識(shí)對(duì)于分?jǐn)?shù)問題解決的影響是廣泛性的，而并不針對(duì)于特定性質(zhì)的問題，這可能是由于Hecht的分?jǐn)?shù)概念測(cè)量任務(wù)僅僅包括了部分整體含義和測(cè)量含義，同時(shí)在結(jié)果分析中，Hecht并沒有考慮這兩種不同分?jǐn)?shù)概念語義含義間的差異，也沒有區(qū)分不同情境的應(yīng)用題任務(wù)．因此該研究尚不能說明，兒童理解分?jǐn)?shù)概念的不同語義含義和解決不同語義情境應(yīng)用題二者之間的關(guān)系．

因此，基于分?jǐn)?shù)概念語義結(jié)構(gòu)理論和應(yīng)用題表征過程模型，探討分?jǐn)?shù)概念語義理解對(duì)不同情境分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征的影響．

2 研究方法

2.1 被 試

從山西省4所普通小學(xué)中整班選取6年級(jí)兒童315名，其中有效被試295名．其中男生150名，女生145名．平均年齡12歲．這些學(xué)校采用人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，在接受應(yīng)用題測(cè)驗(yàn)前，所有兒童均已學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算．

2.2 研究任務(wù)和材料

采用張睆等編制的“分?jǐn)?shù)概念語義理解測(cè)驗(yàn)”，該測(cè)驗(yàn)包括部分—整體、測(cè)量、算子、比、商5個(gè)維度，共22個(gè)項(xiàng)目．商包括2個(gè)項(xiàng)目，其余4個(gè)維度均各包括5個(gè)項(xiàng)目[26]．項(xiàng)目均采用表征轉(zhuǎn)換任務(wù)作為語義理解的測(cè)量指標(biāo)，即當(dāng)被試能用分?jǐn)?shù)符號(hào)表示特定情境中兩個(gè)量關(guān)系時(shí)，說明兒童理解了相應(yīng)的語義含義．每個(gè)項(xiàng)目正確計(jì)1分，錯(cuò)誤計(jì)0分．

自編分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題測(cè)試任務(wù)[13]．包括計(jì)量、比較、轉(zhuǎn)換3種任務(wù)特征，每種特征包括3道題，一共9道分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題．并在應(yīng)用題設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)以下3個(gè)因素進(jìn)行了控制．第一，為了防止題目由易到難產(chǎn)生練習(xí)效應(yīng)，將兩步運(yùn)算應(yīng)用題放在單步運(yùn)算應(yīng)用題之前．第二，為保證兒童熟悉任務(wù)情境，防止事實(shí)性知識(shí)干擾，鑒于被試所在地區(qū)普遍種植蘋果，因此采用蘋果銷售的任務(wù)情境．第三，為了防止題目對(duì)兒童采取某種運(yùn)算產(chǎn)生暗示效應(yīng)，題目中數(shù)字均為90、60和2/3，這樣即使算式不正確，運(yùn)算結(jié)果也是整數(shù)．應(yīng)用題測(cè)驗(yàn)依據(jù)列式及算理說明是否正確計(jì)分，如果列式正確且算理說明無誤，則判定為正確表征，計(jì)1分，如列式錯(cuò)誤或者算理說明錯(cuò)誤，則判定為錯(cuò)誤表征，計(jì)0分．

2.3 研究過程

于2015年3月底施測(cè)，采用隨堂團(tuán)體測(cè)驗(yàn)形式，要求學(xué)生在兩節(jié)課共80分鐘內(nèi)完成．由受過訓(xùn)練的心理學(xué)研究生擔(dān)任主試．首先在第一節(jié)課發(fā)放“兒童分?jǐn)?shù)概念理解測(cè)驗(yàn)”并在下課前收回，休息10分鐘后，在第二節(jié)課發(fā)放分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題測(cè)驗(yàn)，在應(yīng)用題測(cè)試中，主試要求學(xué)生仔細(xì)思考后，先寫出他是怎么想的（算理說明），再列出式子，而不用計(jì)算結(jié)果．共發(fā)放測(cè)驗(yàn)315份，共收回有效測(cè)驗(yàn)297份．從實(shí)際施測(cè)情況看，所有學(xué)生均可以在80分鐘內(nèi)完成測(cè)驗(yàn)．

3 研究結(jié)果

3.1 分?jǐn)?shù)語義理解與應(yīng)用題表征的相關(guān)

以被試在分?jǐn)?shù)概念語義理解測(cè)驗(yàn)上各語義因子的得分率作為其分?jǐn)?shù)概念理解水平指標(biāo)，以被試在每類應(yīng)用題上的表征正確率作為表征水平的指標(biāo)，6年級(jí)兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念5種含義理解水平，對(duì)3類應(yīng)用題表征水平，以及二者間相關(guān)系數(shù)見表1．

表1 不同乘法應(yīng)用題表征和分?jǐn)?shù)概念語義理解及其相關(guān)

注：**在0.01水平（雙側(cè)）上顯著相關(guān)；*在0.05水平（雙側(cè)）上顯著相關(guān)

3.2 分?jǐn)?shù)概念語義理解水平對(duì)分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征的總體預(yù)測(cè)

以所有應(yīng)用題得分總分為因變量，以分?jǐn)?shù)概念測(cè)驗(yàn)總分為預(yù)測(cè)變量．回歸分析結(jié)果表明，回歸方程整體顯著，，(1, 293)=22.32，<0.001，回歸系數(shù)=0.21，標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)=0.49，=9.60，<0.001．該結(jié)果說明，兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解可以整體預(yù)測(cè)其乘法應(yīng)用題表征水平．

3.3 不同分?jǐn)?shù)語義理解對(duì)不同類型分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征的影響

以分?jǐn)?shù)概念的5種語義理解水平為自變量，分別以3種不用語義性質(zhì)任務(wù)的得分為因變量進(jìn)行分層回歸，由于不同語義含義間可相互解釋，為了消除共線性，從而分析某種語義理解對(duì)計(jì)量應(yīng)用題表征的單獨(dú)影響，將該語義理解水平放入回歸方程第二層，而其它4種語義理解放入回歸方程的第一層．從而估計(jì)出在控制其他4種含義的條件下，該種語義理解對(duì)特定性質(zhì)應(yīng)用題表征水平的單獨(dú)解釋率（2），一共得到15組分層回歸方程，各方程2見表2．

結(jié)果表明，（1）在控制其它4種語義理解的前提下，分?jǐn)?shù)概念部分—整體和測(cè)量含義的語義理解水平，對(duì)計(jì)量、比較和轉(zhuǎn)換應(yīng)用題表征的單獨(dú)解釋率均顯著；（2）分?jǐn)?shù)“比”含義理解水平，僅對(duì)比較應(yīng)用題表征的單獨(dú)解釋率顯著，而對(duì)計(jì)量和轉(zhuǎn)換應(yīng)用題的單獨(dú)解釋率不顯著；（3）分?jǐn)?shù)“商”含義理解水平，僅對(duì)轉(zhuǎn)換應(yīng)用題表征的單獨(dú)解釋率顯著，而對(duì)計(jì)量和比較應(yīng)用題的單獨(dú)解釋率不顯著；（4）分?jǐn)?shù)“算子”含義理解水平，對(duì)3類應(yīng)用題表征的單獨(dú)解釋率均不顯著．

表2 分?jǐn)?shù)概念語義理解對(duì)不同語義性質(zhì)應(yīng)用題的單獨(dú)解釋率

注：*<0.05；**<0.01

4 討 論

通過探討兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解對(duì)于乘法應(yīng)用題表征的影響．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)不考慮分?jǐn)?shù)概念不同語義間差異時(shí)，分?jǐn)?shù)概念理解在整體上可以預(yù)期乘法應(yīng)用題表征水平，與這一結(jié)論不同的是，當(dāng)考慮了分?jǐn)?shù)概念不同語義含義間差異，和分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題不同情境特征時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，兒童對(duì)部分整體含義和測(cè)量含義的理解水平可以預(yù)測(cè)各類型分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的表征，同時(shí)，“比”和“商”含義只能單獨(dú)預(yù)測(cè)特定情境的乘法應(yīng)用題，“算子”對(duì)乘法應(yīng)用題表征沒有單獨(dú)預(yù)測(cè)作用．這些結(jié)果說明，兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解有助于其表征應(yīng)用題中的事實(shí)關(guān)系．且這種影響既具有廣泛性，也存在特異性．

上述研究結(jié)果不僅支持了Hecht的研究[18]，而且得到更為豐富的結(jié)論．首先，兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解可以預(yù)測(cè)兒童分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征水平，這一結(jié)論支持了原有的研究預(yù)期，并與Hecht等的研究結(jié)果相一致．Hecht等認(rèn)為，分?jǐn)?shù)的概念性知識(shí)，是理解分?jǐn)?shù)數(shù)量“所指”（refer to）的知識(shí)，這種知識(shí)可以幫助兒童將分?jǐn)?shù)概念和具體問題情境聯(lián)系在一起，從而促進(jìn)兒童對(duì)于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的表征[17~18]．

其次，在控制了其它語義理解的條件下，部分—整體含義和測(cè)量含義的理解水平可以廣泛預(yù)測(cè)3類分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征，而并不針對(duì)于特定性質(zhì)的問題．這可能是由于，在5種分?jǐn)?shù)語義含義中，這兩種分?jǐn)?shù)語義知識(shí)具有基礎(chǔ)性地位．理解分?jǐn)?shù)的部分—整體含義，意味著兒童能將分?jǐn)?shù)/表示為“把整體等分為份，選出其中份”．以往研究表明，部分—整體含義是較為基礎(chǔ)的分?jǐn)?shù)概念理解方式．在許多語言中，分?jǐn)?shù)一詞都具有“分割”之意．例如英語中的fraction來自拉丁文“fangere”，意為“一個(gè)被分開的全體之各部分”．小學(xué)數(shù)學(xué)教材也會(huì)從部分—整體的角度解釋分?jǐn)?shù)的意義．更重要的是，部分—整體含義是小學(xué)兒童理解分?jǐn)?shù)概念的基本方式，其它4種含義的理解是在理解部分—整體基礎(chǔ)上建構(gòu)而成[11，20]．兒童在解決分?jǐn)?shù)問題時(shí)，常常會(huì)將其他分?jǐn)?shù)含義還原為部分—整體含義來理解，問題難度越大，這種還原的傾向就越明顯[21]．

同部分—整體含義一樣，兒童對(duì)分?jǐn)?shù)測(cè)量含義理解也能單獨(dú)預(yù)測(cè)3類乘法應(yīng)用題表征水平．理解分?jǐn)?shù)測(cè)量含義，意味著兒童能將分?jǐn)?shù)/表示為數(shù)字線上個(gè)1/的長度，其關(guān)鍵是識(shí)別單位分?jǐn)?shù)“1/”．Siegler等發(fā)現(xiàn)，數(shù)字線模型是兒童表征分?jǐn)?shù)數(shù)量的心理模型[22]，而分?jǐn)?shù)數(shù)量表征和分?jǐn)?shù)運(yùn)算和應(yīng)用題表征能力都高度相關(guān)[23~24]．進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)，兒童在數(shù)字線上表征分?jǐn)?shù)的能力對(duì)于兒童解決各類分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題都具有促進(jìn)作用．這可能是由于在表征各類分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題中，兒童常以線段形式，對(duì)題目中的“份—總”關(guān)系進(jìn)行圖式表征，并在線段上確定“一份”（即測(cè)量含義中的單位1），而數(shù)字線表征和“單位1累加”恰恰是分?jǐn)?shù)概念測(cè)量含義的核心，因此對(duì)于分?jǐn)?shù)測(cè)量含義掌握較好的兒童，以數(shù)字線表征分?jǐn)?shù)和確定“單位1”的能力較強(qiáng)，各類乘法應(yīng)用題的表征水平也較高．

最后，在5個(gè)分?jǐn)?shù)概念中，兒童對(duì)于“比”含義的理解可以預(yù)測(cè)他們?cè)诒容^任務(wù)上的表現(xiàn)，這可能是由于分?jǐn)?shù)概念的“比”含義表示兩個(gè)量的相對(duì)大小，而比較任務(wù)則表示兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系，二者在語義含義上具有內(nèi)在一致性．同時(shí)，兒童對(duì)“商”含義的理解可以預(yù)測(cè)兒童在轉(zhuǎn)換任務(wù)上的表現(xiàn)．這可能是由于二者均與測(cè)度空間的變換有關(guān)，以往研究表明，兒童常用分?jǐn)?shù)的“商”含義來理解兩個(gè)不同的測(cè)度空間相“除”，如路程除以時(shí)間[25]，而轉(zhuǎn)換應(yīng)用題也表示不同測(cè)度空間的轉(zhuǎn)換（即單位的變換）．與其它4種含義不同，算子含義對(duì)所有應(yīng)用題表征都沒有單獨(dú)的預(yù)測(cè)作用．實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生很少理解分?jǐn)?shù)概念的算子含義，教師也少有涉及[26]，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念算子含義的理解水平低于其它4種分?jǐn)?shù)語義含義．因此兒童很少運(yùn)用分?jǐn)?shù)算子含義解決乘法應(yīng)用題．

綜上所述，兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解對(duì)乘法應(yīng)用題表征具有顯著的預(yù)測(cè)作用．因此，要達(dá)成“學(xué)以致用”的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，克服分?jǐn)?shù)應(yīng)用題這一教學(xué)難點(diǎn)，幫助學(xué)生有效理解分?jǐn)?shù)概念的語義含義就顯得至關(guān)重要．分?jǐn)?shù)概念是一個(gè)符號(hào)工具，其內(nèi)容是關(guān)于分?jǐn)?shù)符號(hào)“所指何物”的知識(shí)，是分?jǐn)?shù)符號(hào)系統(tǒng)和不同情境中兩個(gè)量的具體關(guān)系所組成的符號(hào)指稱系統(tǒng)．兒童要很好的理解和使用這一工具，就不僅僅需要掌握分?jǐn)?shù)符號(hào)體系本身（包括分?jǐn)?shù)符號(hào)運(yùn)算法則），更要理解和把握這一符號(hào)在現(xiàn)實(shí)世界中指稱的多種語義含義．

5 結(jié) 論

第一，兒童分?jǐn)?shù)概念語義理解可以影響兒童分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征水平；第二，這種影響具有廣泛性，部分—整體含義和測(cè)量含義的理解水平可以廣泛預(yù)測(cè)3類分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題表征，而并不針對(duì)于特定性質(zhì)的問題．第三，這種影響也表現(xiàn)出特異性，兒童對(duì)“比”的理解，可單獨(dú)預(yù)測(cè)比較應(yīng)用題表征水平；對(duì)“商”的理解，可單獨(dú)預(yù)期轉(zhuǎn)換應(yīng)用題表征水平；算子含義不能單獨(dú)預(yù)測(cè)任何應(yīng)用題表征水平．

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Influence of Semantic Understanding of Fractional Concept on Children’ Multiplicative Word Problem Representation

ZHANG Huan1, 4, XIN Zi-qiang2, CHEN Ying-he3, HU Wei-ping4

(1. School of Teacher Education, Shanxi Normal University, Shanxi Linfen 041004, China;2. School of Sociology and Psychology, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China;3. Institute of Developmental Psychology, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;4. MOE Key Laboratory of Modern Teaching Technology, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710062, China)

Fraction, an abstract symbol, had five different meanings in different contests, which might under the basis of children’ difficulties in fraction problem representation. Based on a sample of 295 six graders. The study explored the contribution of children's semantic understanding of fractional concept in word problem representation. The data revealed that: (1) Children’s performance on fraction problem representation could be predicted by their understanding of the semantic meaning of fraction, (2) students’ understanding of part-whole and measure meaning of fraction was independent contribution to representation of all three kinds of fraction problems. (3) understanding of ratio meaning of fraction uniquely predicted representation of convert word problem, and understanding of quotient meaning could uniquely predict representation of compare word problem. Meanwhile, operator meaning could not uniquely predict representation of any kinds of word problem. The results indicated that the fractional semantic understanding was help for children to understanding the semantic relation in word problems.

fractional concept; understanding of semantic meaning; word problems involved fraction; representation of word problem

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

G620

A

1004–9894（2017）04–0076–04

2017–03–10

國家社科基金重大項(xiàng)目——中國兒童青少年思維發(fā)展數(shù)據(jù)庫建設(shè)及其發(fā)展模式的分析研究（14ZDB160）；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目——分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展及其空間表征特點(diǎn)研究（30970909）；山西師范大學(xué)教育科學(xué)基金項(xiàng)目——頂崗支教背景下師范生教師職業(yè)認(rèn)同的發(fā)展研究（YJ1311）

張睆（1979—），男，山西陽泉人，山西師范大學(xué)講師，陜西師范大學(xué)博士生，主要從事認(rèn)知發(fā)展與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究．