于濤，楊昆，趙偉

（1.遼寧工業(yè)大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，遼寧錦州121001；2.北京印刷學(xué)院信息工程學(xué)院，北京102600）

基于解耦滑?？刂频臉蚴降踯囅到y(tǒng)的抗擺控制

于濤1，楊昆1，趙偉2

（1.遼寧工業(yè)大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，遼寧錦州121001；2.北京印刷學(xué)院信息工程學(xué)院，北京102600）

針對欠驅(qū)動橋式吊車系統(tǒng)的抗擺控制問題，提出一種新型的解耦滑?？刂扑惴āＯ啾扔趥鹘y(tǒng)解耦滑?？刂扑惴?，該控制算法采用可導(dǎo)的中間變量來定義系統(tǒng)的第二層滑動面，并利用等效控制關(guān)聯(lián)增益法來調(diào)整解耦滑模控制器的切換增益；不但解決解耦滑?？刂破鞯刃Э刂频那笕栴}，而且能夠有效降低解耦滑模控制器的抖振幅度。應(yīng)用Lyapunov方法和Barbalat引理證明系統(tǒng)各層滑動面的漸近穩(wěn)定性，并通過數(shù)值仿真實驗驗證所提出的控制算法的有效性。與已有控制算法的對比結(jié)果表明，該控制算法具有較好的控制性能和抖振抑制特性。

橋式吊車；欠驅(qū)動；抗擺控制；解耦滑模控制

0 引言

橋式吊車是工業(yè)領(lǐng)域中一種非常重要的起重運輸機械，在碼頭、車間、倉庫等工業(yè)場所應(yīng)用廣泛。橋式吊車在吊運過程中不可避免地會出現(xiàn)負(fù)載擺動現(xiàn)象，導(dǎo)致其產(chǎn)生的主要因素是臺車的加減速和來自外界的干擾。負(fù)載擺動現(xiàn)象會給工業(yè)生產(chǎn)帶來極大危害，如損壞貨物、傷害人員等。同時由于這種擺動現(xiàn)象的存在，也會降低橋式吊車的吊運效率。基于橋式吊車系統(tǒng)這一特征，其抗擺控制問題受到了控制領(lǐng)域研究者的廣泛關(guān)注。

目前，橋式吊車系統(tǒng)的抗擺控制方法主要有部分反饋線性化控制[1]、自適應(yīng)PID控制[2]、無源性控制[3]、迭代學(xué)習(xí)控制[4]、信息融合控制[5]、軌跡跟蹤控制[6]、智能控制[7-8]、滑?？刂芠9]等。橋式吊車是一種典型的欠驅(qū)動系統(tǒng)，文獻[10]針對此類系統(tǒng)提出一種解耦滑模控制方法。但其控制器的等效控制含有中間變量的導(dǎo)數(shù)，而飽和函數(shù)型中間變量是不可導(dǎo)的，因此對于傳統(tǒng)解耦滑?？刂品椒╗10-12]而言，系統(tǒng)的等效控制不能求得。針對此問題，文獻[10-12]將中間變量的導(dǎo)數(shù)項視為干擾項，但由于該導(dǎo)數(shù)項并不存在，導(dǎo)致切換增益的選取變得較為困難。一般而言，需要選取較大的切換增益，但同時也會加劇系統(tǒng)抖振。

針對傳統(tǒng)解耦滑?？刂品椒ù嬖诘膯栴}，本文提出了一種新型的解耦滑?？刂品椒?，并基于該控制方法設(shè)計了橋式吊車系統(tǒng)的抗擺控制器。該控制器能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且可以減輕控制系統(tǒng)的抖振。仿真實驗結(jié)果驗證了該控制器的有效性。

1 橋式吊車系統(tǒng)的動力學(xué)模型

橋式吊車系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，負(fù)載通過長度為l的繩索懸掛在臺車上，臺車和負(fù)載在垂直平面（X-O-Y平面）內(nèi)運動。設(shè)M和m分別為臺車和負(fù)載的質(zhì)量，u為作用在臺車上的控制力，x為臺車相對于原點O的水平位移，θ為繩索相對于垂直方向擺動的角度。

圖1 橋式吊車系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

忽略各種摩擦和繩索長度的變化，利用拉格朗日方程可得橋式吊車系統(tǒng)的動力學(xué)模型為

式中g(shù)為重力加速度。

由式（1）可見，橋式吊車系統(tǒng)是一個具有2個自由度和1個控制輸入的欠驅(qū)動機械系統(tǒng)。

定義狀態(tài)矢量X=[x，x˙，θ，θ˙]T，則系統(tǒng)動力學(xué)模型的狀態(tài)空間形式為

式中xi（t）為系統(tǒng)的第i個狀態(tài)變量，各非線性函數(shù)的表達式分別為

2 抗擺控制器設(shè)計

對于式（2）所示的橋式吊車系統(tǒng)，根據(jù)其狀態(tài)構(gòu)成將整個系統(tǒng)劃分為如下2個二階子系統(tǒng)：

對子系統(tǒng)A，定義第一層滑動面s1為

式中：xd——臺車的目標(biāo)位置；

c1——正常數(shù)。

對于橋式吊車系統(tǒng)的抗擺控制，負(fù)載的擺角和角速度的期望目標(biāo)值均為零（即θd=θ˙d=0）。因此，設(shè)計子系統(tǒng)B的第一層滑動面s2為

式中c2為正常數(shù)。

為建立2個子系統(tǒng)滑動面s1和s2之間的聯(lián)系，利用子系統(tǒng)B的滑動面s2來構(gòu)造一個可導(dǎo)的中間變量：

式中0〈zU〈1，φ為正常數(shù)。

將中間變量z嵌入子系統(tǒng)A的滑動面s1中，可得系統(tǒng)的第二層滑動面為

對式（7）求導(dǎo)，可以得到：

對式（8）求導(dǎo)，并由式（9）可得：

由等效控制法可得，系統(tǒng)在滑動面S上的等效控制為

定義系統(tǒng)的控制輸入為

式中usw為系統(tǒng)的切換控制。

采用Lyapunov穩(wěn)定性理論來求取系統(tǒng)的切換控制，選取Lyapunov函數(shù)：

對V求關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，由式（10）～式（12）可以得到：

為確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令：

式中：k——正常數(shù)；

ε（t）——正的時變切換增益。由上式可得，系統(tǒng)的切換控制為

由式（16）可見，系統(tǒng)的抖振幅度由切換增益ε（t）來決定。為削弱滑?？刂葡到y(tǒng)的抖振，本文采用等效控制關(guān)聯(lián)增益法[13]來調(diào)節(jié)控制器的切換增益。定義時變切換增益ε（t）為

式中：ε0——正常數(shù)；

η={sgn（S）}eq——sgn（S）經(jīng)低通濾波后得到

的平均值。

式中σ為濾波時間常數(shù)。

由式（11）和式（16）可得，系統(tǒng)的控制輸入為

由式（15）可見，與文獻[13]采用的等效控制關(guān)聯(lián)增益法相比，本文設(shè)計的控制律中增加了控制項-kS。由式（17）可知，系統(tǒng)的抖振幅度正比于增益ε0。因此在控制律式（19）中，選取較大的增益k和較小的增益ε0，有利于實現(xiàn)系統(tǒng)的快速趨近并削弱系統(tǒng)的抖振。

3 穩(wěn)定性分析

定理1：對于式（2）所示的橋式吊車系統(tǒng)，如果分別按式（5）、式（6）和式（8）設(shè)計系統(tǒng)的各層滑動面，并且采用式（19）所示的滑?？刂坡桑敲聪到y(tǒng)的第二層滑動面S是漸近穩(wěn)定的。

證明：將式（16）代入式（14），可以得到：

積分式（20），可以得到：

由上式進一步可得：

由式（17）和式（18）可知ε（t）∈L∞，又由式（22）可知S∈L∞，進而由式（20）可知從而有又由式（23）可知S∈L1，S∈L2，因此根據(jù)Barbalat引理[14]有

定理2：對于式（2）所示的橋式吊車系統(tǒng)，如果分別按式（5）、式（6）和式（8）設(shè)計系統(tǒng)的各層滑動面，并且采用式（19）所示的滑?？刂坡桑敲聪到y(tǒng)的第一層滑動面s1和s2都是漸近穩(wěn)定的。

對上式求導(dǎo)，可以得到：

由式（4）和式（6），可以得到：

由于參數(shù)zU的大小并不影響整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此可以構(gòu)造2個不同的滑動面：

式中zU1和zU2為任意小于1且不相等的正常數(shù)。不失一般性，這里進一步假設(shè)：

由式（28）和式（29），可以得到：

定理1中已經(jīng)證明S1∈L1，從而由上式進一步可得：

4 仿真驗證

為驗證本文提出的控制方法的有效性，在Matlab環(huán)境下進行數(shù)值仿真實驗。仿真中，橋式吊車系統(tǒng)的各參數(shù)按文獻[9]分別?。篗=1 kg，m=0.8 kg，l=0.305 m，g=9.8m/s2。設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)：x0=0，θ0=0，設(shè)臺車的目標(biāo)位置：xd=1m。本文設(shè)計的控制器各參數(shù)分別取：c1=0.63，c2=3.9，zU=0.79，φ=0.35，ε0=0.1，σ=0.02，k=9.8。

本文提出的控制方法的仿真實驗結(jié)果如圖2～圖4所示。圖2為臺車位移和負(fù)載擺角的變化曲線，可以看出，在本文設(shè)計的控制器作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定時間為4.7s。具體而言，臺車在4.7s已無超調(diào)地到達了目標(biāo)位置，并且在4.5s實現(xiàn)了負(fù)載的抗擺控制，最大負(fù)載擺角為0.09rad。圖3為控制輸入的變化曲線，可以看出控制器只有很小幅度的抖振。圖4為各層滑動面的收斂曲線，可以看出各層滑動面均能快速地趨近于0。

為進一步檢驗本文提出的控制方法的控制性能，選取文獻[2]提出的控制方法與其進行對比分析。文獻[2]設(shè)計的控制器各參數(shù)分別?。害?=0.05，α1=0.01，η2=0.02，α2=0.01。

文獻[2]提出的控制方法的控制效果如圖5所示，可以看出，在文獻[2]設(shè)計的控制器作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定時間為5.7s。具體而言，臺車到達目標(biāo)位置的時間為4.3s，實現(xiàn)抗擺控制的時間為5.7s，最大負(fù)載擺角為0.12rad。由此可見，與文獻[2]提出的控制方法相比，本文提出的控制方法在實現(xiàn)系統(tǒng)快速穩(wěn)定和抑制負(fù)載擺動方面均顯示出優(yōu)越性。

為進一步檢驗本文提出的控制方法的抖振抑制特性，選取文獻[10]提出的傳統(tǒng)解耦滑?？刂品椒ㄅc其進行對比分析。文獻[10]設(shè)計的控制器各參數(shù)分別?。害?=0.74，λ2=4，Gf2=0.92，Gs2=1.8，Gf1=0.75。

圖2 臺車位移和負(fù)載擺角的變化曲線

圖3 控制輸入的變化曲線

圖4 系統(tǒng)各層滑動面的收斂曲線

圖5 文獻［2］提出的控制方法的仿真結(jié)果

文獻[10]提出的控制方法的控制效果如圖6所示。由圖6（a）和圖6（b）可以看出，在文獻[10]設(shè)計的控制器作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定時間為5.2s。具體而言，臺車到達目標(biāo)位置的時間為3.9s，完成抗擺動作的時間為5.2s，最大負(fù)載擺角為0.1rad。由此可見，本文提出的控制方法在實現(xiàn)系統(tǒng)快速穩(wěn)定和抑制負(fù)載擺動方面均優(yōu)于文獻[10]提出的控制方法。進一步對比圖6（c）和圖3可以看出，雖然本文設(shè)計的控制器仍然存在很小幅度的抖振，但與文獻[10]設(shè)計的控制器相比，本文提出的控制方法顯著地降低了滑?？刂葡到y(tǒng)的抖振幅度。

圖6 文獻［10］提出的控制方法的仿真結(jié)果

5 結(jié)束語

本文研究了欠驅(qū)動橋式吊車系統(tǒng)的抗擺控制問題，提出了一種具有時變切換增益的解耦滑?？刂品椒?。通過引入可導(dǎo)的雙曲正切函數(shù)型中間變量，該控制方法從本質(zhì)上避免了傳統(tǒng)解耦滑?？刂浦械刃Э刂撇荒芮笕〉膯栴}。針對變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的抖振問題，該控制方法采用了等效控制關(guān)聯(lián)增益法來調(diào)節(jié)控制器中的時變切換增益。仿真實驗結(jié)果不僅驗證了理論分析的正確性和所提出的控制方法的有效性，并且表明該控制方法具有良好的控制性能和抖振抑制特性。此外，本文所提出的控制方法也為高階欠驅(qū)動機械系統(tǒng)的控制提供了一種有效和可行的解決方案。

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（編輯：商丹丹）

Anti-sway control of overhead crane system based on decoupled sliding mode control

YU Tao1，YANG Kun1，ZHAO Wei2
（1.College of Mechanical Engineering and Automation，Liaoning University of Technology，Jinzhou 121001，China；2.School of Information Engineering，Beijing Institute of Graphic Communication，Beijing 102600，China）

A novel decoupled sliding mode control algorithm is proposed for anti-sway control of an underactuated overhead crane system.Different from traditional decoupled sliding mode control algorithm，the proposed control algorithm uses a differentiable intermediate variable to define the second-layer sliding surface of the system and utilizes the equivalent-control-dependent gain method to adjust the switching gain of the decoupled sliding mode controller.This algorithm can not only solve the derivation problem of the equivalent control of the decoupled sliding mode controller，but also reduce the chattering level of the decoupled sliding mode controller effectively.The asymptotic stability of sliding surface at each layer is proven by applying Lyapunov method and Barbalat's lemma，and numerical simulation results are provided to demonstrate the validity of the proposed control algorithm.Compared with the existing control algorithms，the results show that the proposed control algorithm has better control performance and chattering suppression characteristic.

overhead crane；underactuated；anti-sway control；decoupled sliding mode control

A

1674-5124（2017）08-0095-06

2016-12-10；

2017-02-05

遼寧省自然科學(xué)基金指導(dǎo)計劃項目（201602379）；遼寧省教育廳科學(xué)技術(shù)研究一般項目（L2015241）

于濤（1980-），男，天津市人，講師，博士，研究方向為機器人運動分析與控制、滑?？刂评碚撆c應(yīng)用。

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.08.020