趙慧媛 阮建紅

(華東師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院， 上海 200241)

兩個(gè)同心帶電球殼體系電磁場(chǎng)角動(dòng)量的研究

趙慧媛 阮建紅

(華東師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院， 上海 200241)

電磁場(chǎng)的動(dòng)量和角動(dòng)量是經(jīng)典電磁學(xué)有趣而又基本的問(wèn)題。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)電磁理論，電磁場(chǎng)角動(dòng)量可表示為L(zhǎng)em=ε0∫vr×(E×B)dV，對(duì)恒定電磁場(chǎng)，角動(dòng)量還可以用Lem=∫r×ρAdV來(lái)計(jì)算，文章對(duì)此進(jìn)行了分析。通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，即一個(gè)固定的絕緣帶電球殼處在另一個(gè)旋轉(zhuǎn)的絕緣帶電球殼中心，分析了該體系電磁場(chǎng)從建立到穩(wěn)定，再到撤去的過(guò)程中，整個(gè)系統(tǒng)角動(dòng)量的變化情況。驗(yàn)證了在建立穩(wěn)定電磁場(chǎng)的過(guò)程中，外力提供的沖量矩一部分轉(zhuǎn)化為電磁場(chǎng)角動(dòng)量?jī)?chǔ)存在電磁場(chǎng)中，一部分提供體系的轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械角動(dòng)量，當(dāng)撤掉磁場(chǎng)后，電磁場(chǎng)角動(dòng)量轉(zhuǎn)換成機(jī)械角動(dòng)量，整個(gè)過(guò)程角動(dòng)量守恒。

電磁場(chǎng)；動(dòng)量；角動(dòng)量

電磁場(chǎng)具有角動(dòng)量，當(dāng)撤掉電磁場(chǎng)后角動(dòng)量如何轉(zhuǎn)化？在本文中，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，分析建立和撤銷穩(wěn)恒電磁場(chǎng)的過(guò)程中角動(dòng)量的轉(zhuǎn)化，并討論Lem=∫r×ρAdV的物理意義。

1 電磁場(chǎng)基本理論

1.1 電磁場(chǎng)動(dòng)量

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)電磁場(chǎng)理論，電磁場(chǎng)動(dòng)量密度為：

(1)

整個(gè)空間的電磁場(chǎng)動(dòng)量為

(2)

因?yàn)閇8]

且滿足

合并以上3式得：

即

因此

(3)

上式右邊第一項(xiàng)是曲面積分，因?yàn)樵跓o(wú)窮遠(yuǎn)邊界上沒有電磁場(chǎng)流入和流出，所以面積分為零。因此可以得出電磁場(chǎng)動(dòng)量的另一表達(dá)式

(4)

又因?yàn)閷?duì)靜場(chǎng)，

其中

而∫vdV×(φB)=∮sdS×(φB)=0，因此又得到電磁場(chǎng)動(dòng)量的另一個(gè)表達(dá)式

(5)

1.2 電磁場(chǎng)角動(dòng)量

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)電磁理論，電磁場(chǎng)角動(dòng)量為

(6)

與電磁場(chǎng)動(dòng)量有3種表示對(duì)應(yīng)，角動(dòng)量是否也有類似3種表示形式呢？文獻(xiàn)[7]中證明，對(duì)于軸對(duì)稱分布的電磁體系，Lem=∫r×ρAdV是成立的。根據(jù)公式(6)，若用標(biāo)勢(shì)φ來(lái)表示電場(chǎng)，則有

(7)

上式最后一項(xiàng)一般不等于零。對(duì)于軸對(duì)稱分布的情況，

(8)

上式也不等于零，可以看出，只有在球?qū)ΨQ情況下才有-ε0∫r×[×(φB)]dV=0，所以一般情況下。即對(duì)于恒定電磁場(chǎng)體系，電磁場(chǎng)動(dòng)量，軸對(duì)稱分布情況下，角動(dòng)量Lem=∫r×(ε0E×B)dV=。

2 固定的絕緣帶電球殼處在旋轉(zhuǎn)的絕緣帶電球殼中心

圖1 帶電球殼處在旋轉(zhuǎn)的帶電球殼中心

2.1 體系達(dá)到穩(wěn)定的過(guò)程

首先考慮外球殼從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程。設(shè)在外力推動(dòng)下，外球殼緩慢地從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，隨著外球殼轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不斷增加，球殼內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度也在不斷增加，因此會(huì)產(chǎn)生環(huán)繞z軸的渦旋感應(yīng)電場(chǎng)，內(nèi)外球殼都會(huì)受到感應(yīng)電場(chǎng)力的作用，產(chǎn)生沿z軸方向的力矩。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，

(9)

對(duì)于r

(10)

對(duì)內(nèi)球殼，在某一時(shí)刻所受的感應(yīng)電場(chǎng)力力矩為

(11)

假設(shè)體系達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)以后，外球殼內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0，則整個(gè)過(guò)程中感應(yīng)電場(chǎng)力對(duì)內(nèi)球殼的沖量矩為

(12)

對(duì)外球殼，在轉(zhuǎn)動(dòng)的某一時(shí)刻所受的感應(yīng)電場(chǎng)力力矩為：

(13)

整個(gè)過(guò)程中感應(yīng)電場(chǎng)力對(duì)外球殼的沖量矩為

(14)

2.2 穩(wěn)定體系電磁場(chǎng)角動(dòng)量的計(jì)算

當(dāng)外球殼以穩(wěn)定的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，計(jì)算體系的電磁場(chǎng)角動(dòng)量。

轉(zhuǎn)動(dòng)的帶電球殼產(chǎn)生的磁場(chǎng)的矢勢(shì)為

(15)

(16)

矢勢(shì)A可以有無(wú)限多種取值，這里取了庫(kù)侖規(guī)范中最簡(jiǎn)單的一組解，若取其他的規(guī)范，A的表示形式會(huì)不相同，但對(duì)物理結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生影響。

空間磁場(chǎng)分布為

(17)

(18)

其中

(19)

空間電場(chǎng)分布為

(20)

(21)

(22)

1) 利用Lem=ε0∫vr×(E×B)dV計(jì)算電磁場(chǎng)角動(dòng)量

因?yàn)樵趓R2的范圍內(nèi)有電磁場(chǎng)角動(dòng)量。

在R1

(23)

在r>R2區(qū)域，設(shè)電磁場(chǎng)動(dòng)量密度為pout，角動(dòng)量密度為lout，則：

(26)

(27)

(28)

所以，電磁場(chǎng)總的角動(dòng)量為

(29)

顯然，與第2.1節(jié)的計(jì)算結(jié)果一致。

2) 利用Lem=∫r×ρAdV計(jì)算電磁場(chǎng)角動(dòng)量

先對(duì)內(nèi)球殼進(jìn)行計(jì)算：

(30)

再對(duì)外球殼進(jìn)行計(jì)算：

(31)

(32)

公式(29)與(32)完全一樣，這是一個(gè)柱對(duì)稱的體系,說(shuō)明在本系統(tǒng)中Lem=r×ε0∫v(E×B)dV與Lem=∫r×ρAdV兩個(gè)式子是等價(jià)的。當(dāng)然，r×ρ A并不能看成電磁場(chǎng)角動(dòng)量密度，因?yàn)殡姶艌?chǎng)角動(dòng)量存在于整個(gè)空間，不僅僅是有電荷分布的區(qū)域。那么為什么可以從r×ρ A出發(fā)得到電磁場(chǎng)角動(dòng)量呢？

這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)建立穩(wěn)定電磁場(chǎng)體系的過(guò)程來(lái)考慮：

一般情況下電場(chǎng)可用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示為

(33)

所以感應(yīng)電場(chǎng)力對(duì)體系的沖量矩為

(34)

對(duì)于具有柱對(duì)稱的體系，∫r×(-φ)ρdtdV=0。在建立穩(wěn)定電磁場(chǎng)的過(guò)程中,外力需要克服感應(yīng)電場(chǎng)力做功，相應(yīng)的沖量矩為-IE=∫r×ρAdV,這部分沖量矩即轉(zhuǎn)化為電磁場(chǎng)角動(dòng)量,所以，電磁場(chǎng)角動(dòng)量可以表示為L(zhǎng)em=∫r×ρAdV。

2.3 球殼停止轉(zhuǎn)動(dòng)

當(dāng)給外球殼一個(gè)反向的力矩，使其慢慢停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，磁場(chǎng)會(huì)逐漸減小，空間會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)，與過(guò)程2.1相反，帶電球殼在感應(yīng)電場(chǎng)力的作用下受到向上的力矩。感應(yīng)電場(chǎng)大小與公式(10)一樣，方向相反。

整個(gè)過(guò)程中感應(yīng)電場(chǎng)力對(duì)內(nèi)球殼的沖量矩為

(35)

感應(yīng)電場(chǎng)力對(duì)外球殼的沖量矩為

(36)

感應(yīng)電場(chǎng)力對(duì)體系的總沖量矩為

(37)

球殼停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，電磁場(chǎng)角動(dòng)量消失，而公式(37)與公式(29)和(32)完全相等，即儲(chǔ)存在電磁場(chǎng)中角動(dòng)量全部釋放出來(lái)轉(zhuǎn)化成了機(jī)械角動(dòng)量，要想讓帶電外球殼停下來(lái)，除了要克服外球殼的機(jī)械角動(dòng)量Iω，還必須給外球殼一個(gè)額外的沖量矩克服沖量矩I2。對(duì)內(nèi)球殼，固定軸給它提供了一個(gè)向下的沖量矩克服了向上的沖量矩I1。如果在撤掉磁場(chǎng)的過(guò)程中，固定內(nèi)球殼的固定軸突然撤去，內(nèi)球殼在I1的作用下必然會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，具有向上的角動(dòng)量，如果沒有摩擦的話，內(nèi)球最后的角動(dòng)量為I1。這也是對(duì)費(fèi)曼佯謬[9]的理解。

3 結(jié)語(yǔ)

在靜電磁場(chǎng)體系中，存在電磁場(chǎng)動(dòng)量和電磁場(chǎng)角動(dòng)量，通過(guò)上面這個(gè)模型的討論可以看出，在靜電磁場(chǎng)中，體系總的角動(dòng)量為電磁場(chǎng)角動(dòng)量與體系轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械角動(dòng)量之和。在建立穩(wěn)定電磁場(chǎng)的過(guò)程中，外力的沖量矩一方面抵消感應(yīng)電場(chǎng)力對(duì)體系的沖量矩，另一方面提供體系轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械角動(dòng)量。其中抵消感應(yīng)電場(chǎng)力沖量矩的部分即轉(zhuǎn)化成電磁場(chǎng)的角動(dòng)量?jī)?chǔ)存在電磁場(chǎng)中。對(duì)具有柱對(duì)稱的體系，這個(gè)沖量矩恰好可表示為L(zhǎng)=∫r×ρAdV，與電磁場(chǎng)角動(dòng)量L=ε0∫vr×(E×B)dV計(jì)算的結(jié)果完全一致。當(dāng)撤去磁場(chǎng)后，電磁場(chǎng)角動(dòng)量轉(zhuǎn)換成機(jī)械角動(dòng)量。

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ELECTROMAGNETIC ANGULAR MOMENTUM OF A SYSTEM WITH TWO CONCENTRIC CHARGED SPHERICAL SHELLS

Zhao Huiyuan Ruan Jianhong

(School of Physics and Materials Science, East China Normal University, Shanghai 200241)

Electromagnetic momentum and angular momentum are interesting and basic topics of classical electromagnetism. According to the basic electromagnetic theory, the angular momentumLem=ε0∫vr×(E×B)dV. For static case, it can also be expressed asLem=∫r×ρAdV, which is analyzed simply in this paper. Through a simple electromagnetic system, which contains two concentric insulated charged spherical shells with the bigger one is rotating, change of the angular momentum of the total system is discussed. We conclude that in the process of establishing a static electromagnetic field, part of the impulse moment provided by the external force is converted into the electromagnetic angular momentum which is stored in the field, and part of it is converted into the rotatingmechanical momentum of the system. When the field is removed, the electromagnetic angular momentum converts into the mechanical angular momentum, and the total angular momentum of the system is conserved.

electromagnetic field; momentum; angular momentum

2017-01-06

中國(guó)石油大學(xué)(華東)教改重點(diǎn)項(xiàng)目：大學(xué)物理數(shù)字化教學(xué)研究與實(shí)踐(編號(hào)：JY-A201618)。

趙慧媛，女，碩士研究生，研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)理論，441771559@qq.com。

阮建紅，女，教授，主要從事電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)教學(xué)及科研工作，研究方向?yàn)榱Ｗ游锢?、電磁?chǎng)理論，jhruan@phy.ecnu.edu.cn。

趙慧媛，阮建紅. 兩個(gè)同心帶電球殼體系電磁場(chǎng)角動(dòng)量的研究[J]. 物理與工程，2017，27(5)：51-55.