劉文洋，王鵬，張文福

基于能量變分原理的單向懸索結(jié)構(gòu)固有振動分析

劉文洋1，王鵬2，張文福3

（1.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)工程學(xué)院，大慶 163319；2.中國建筑股份有限公司技術(shù)中心；3.南京工程學(xué)院建筑工程學(xué)院）

固有振動分析是結(jié)構(gòu)動力分析的基礎(chǔ)，其目的是計算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型?；谀芰孔兎衷硖岢隽藛蜗驊宜鹘Y(jié)構(gòu)的固有振動分析的簡化方法，給出了自振頻率和振型的簡化計算公式。利用有限元方法對計算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，誤差均在5%以內(nèi)。與傳統(tǒng)的Rayleigh法相比，由于考慮了各階振型之間的相互耦合作用，計算結(jié)果更加精確。該方法可用于懸索結(jié)構(gòu)的動力分析，也可作為有限元方法的補(bǔ)充。

單向懸索結(jié)構(gòu)；固有振動；能量變分原理；Rayleigh法

固有振動分析的主要任務(wù)是確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，它是結(jié)構(gòu)抗風(fēng)和抗震等動力分析的基礎(chǔ)。應(yīng)用有限元法可以較精確地求出懸索結(jié)構(gòu)的頻率和振型，然而這種方法需要專門的計算程序，不便于一般工程技術(shù)人員掌握，特別是在結(jié)構(gòu)方案設(shè)計階段，經(jīng)常要對結(jié)構(gòu)形式、結(jié)構(gòu)或構(gòu)件尺寸以及網(wǎng)格劃分等進(jìn)行調(diào)整，這樣每次均要對計算機(jī)的輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行大量的更改，使得計算工作加大，計算時間加長，因而不便對更多的結(jié)構(gòu)方案進(jìn)行快捷的比較分析。在這種情況下，尋求一種既滿足一般工程精度要求、又簡便易行的簡化計算方法就顯得尤為必要。

近些年來，國內(nèi)外學(xué)者針對橋梁和屋蓋懸索結(jié)構(gòu)固有振動分析的簡化方法做了許多工作。謝官模[1]等人用Rayleigh法推導(dǎo)出了大跨度懸索橋豎向振動基頻的近似計算公式，考慮了吊桿和索夾等對動能的影響。鞠小華[2]用Rayleigh-Ritz法對已有的懸索橋一階豎向自由振動頻率近似計算公式做了進(jìn)一步的改進(jìn)，考慮了邊纜和橋塔剛度的影響以及懸索橋自由振動的實(shí)際振型。才英俊[3]基于能量變分原理給出了單向勁性索結(jié)構(gòu)振動頻率的簡化計算公式。沈世釗[4]用Rayleigh-Ritz法推導(dǎo)得出了索網(wǎng)、雙層索系和橫向加勁單向懸索結(jié)構(gòu)自振頻率的簡化計算公式。張文福[5]分別用Rayleigh-Ritz法和Rayleigh法推導(dǎo)得到了索網(wǎng)結(jié)構(gòu)、雙層索系和勁性索結(jié)構(gòu)振動頻率的簡化計算公式。

在前述研究的基礎(chǔ)上，基于能量變分原理對單向懸索結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，提出了固有振動分析的簡化方法。

1 分析的基本思想

式中，w為懸索結(jié)構(gòu)的豎向位移。

將分析限于微幅振動情況，略去高于二階的微量，計算出結(jié)構(gòu)的總勢能，然后由勢能駐值原理得到基于能量變分原理的振型方程，由振型方程可求得懸索結(jié)構(gòu)各階頻率與振型。

2 單向懸索結(jié)構(gòu)的固有振動分析

2.1 基本假定[4-5]

對單向懸索結(jié)構(gòu)進(jìn)行固有振動分析時，首先作如下基本假定：（1）索是理想柔性的，只能承受拉力；（2）索的材料符合虎克定律；（3）索是小垂度的，且結(jié)構(gòu)只做微幅振動；（4）僅考慮豎向位移，忽略橫向位移；（5）左右支座均為固定鉸支座。

2.2 能量變分法

圖1 單向懸索結(jié)構(gòu)計算簡圖Fig.1Structural model of single-cable structure

式中，f為索的垂度，l為索的跨度。

設(shè)振動位移函數(shù)為

如圖1所示的單向懸索結(jié)構(gòu)，其曲面方程為

其中，W（x）與時間t無關(guān)，但應(yīng)滿足邊界條件，稱之為振型函數(shù)或模態(tài)函數(shù)，其形式選為

經(jīng)推導(dǎo)得到單向懸索結(jié)構(gòu)固有振動問題的總勢能為[5-8]

式中，E為材料的彈性模量，A為懸索的截面面積。

將式（2）和式（4）代入到式（5），經(jīng)積分可得到單索結(jié)構(gòu)的總勢能表達(dá)式，由勢能駐值原理，?Π/?Am= 0，可得

式（6）就是基于能量變分原理導(dǎo)出的單索結(jié)構(gòu)的振型方程，由該方程可求得各階頻率與振型。

對稱振動時（m、i均為奇數(shù)），取p＝7，則方程（6）的展開式為

這是一個關(guān)于四個未知數(shù)（A1、A3、A5、A7）的4×4階齊次線性方程組。欲使Am有非零解，則其系數(shù)行列式必為零，從而得到關(guān)于ω2的四次頻率方程。求得四階固有頻率（i=1，2，3，4）并回代入方程（7）可確定四個未知數(shù)Am。由公式（3）可疊加得到相應(yīng)的振型，即

反對稱振動時（m為偶數(shù)），由方程（6）可得

2.3 瑞雷（Rayleigh）法[9-10]

若振型函數(shù)（4）取為僅有一個待定系數(shù)的形式，即

將式（2）和式（10）代入到式（5），經(jīng)積分可得到結(jié)構(gòu)的總勢能表達(dá)式，由勢能駐值原理?Π/?A1=0，可得

若給定m，則可由式（11）求得相應(yīng)頻率，并由式（10）得到相應(yīng)振型。顯然，單個正弦項(xiàng)難以描述復(fù)雜的高階振型，因而其誤差較大。

3 算例

已知：一單層懸索結(jié)構(gòu)，EA=89 760 000 N，f=4.2 m， l=80 m，H0=160 000 N，=120 kg·m-1，計算前4階頻率。解：由式（7）可解得m=1，ω/3.72（1/s）m=3，ω=4.98（1/s）

由式（9）可解得m=2，ω=2.87（1/s）m=4，ω= 5.74（1/s）

這里需要特別說明的是，當(dāng)m＝2時所求得的頻率為基頻。這是因?yàn)樗鞣磳ΨQ振動時，索力增量為零，即與EA有關(guān)的項(xiàng)不出現(xiàn)在頻率中，顯然，此時結(jié)構(gòu)體系消耗能量最小。所以平面索結(jié)構(gòu)的第1階頻率一般以反對稱為主[4-5]。

前4階頻率與有限元結(jié)果的對比見表1，可見應(yīng)用能量變分法求得的頻率是非常精確的。同時也發(fā)現(xiàn)Rayleigh法在求解反對稱振動頻率時與能量變分法是等價的，但在求解正對稱振動時由于未考慮振型之間的耦合作用，導(dǎo)致誤差很大。

表1 能量變分法與有限元法計算的單索結(jié)構(gòu)自振頻率比較Table 1Comparison of energy variational method and finite element method

4 結(jié)論

基于能量變分原理提出了單向懸索結(jié)構(gòu)固有振動分析的簡化方法，給出了自振頻率和振型的簡化計算公式。通過與有限元結(jié)果的對比，表明了能量變分法的計算結(jié)果是比較精確的，誤差基本在5%以內(nèi)，而且能量變分法的結(jié)果普遍比精確解偏大。此外，與Rayleigh相比考慮了各階振型之間的相互耦合作用，因而能量變分法的精確性自然比Rayleigh法要好。該文提出的方法可用于單向懸索結(jié)構(gòu)的動力分析，也可作為有限元方法的補(bǔ)充。

［1］謝官模，王超.大跨度懸索橋豎向振動基頻的實(shí)用近似計算公式［J］.固體力學(xué)學(xué)報，2008（29）：200-203.

［2］鞠小華，廖海黎，沈銳利.對懸索橋?qū)ΨQ豎彎基頻近似公式的修正［J］.土木工程學(xué)報，2002，35（1）：44-49.

［3］才英俊，劉迎春，張文福，等.勁性索結(jié)構(gòu)固有振動分析［J］.大慶石油學(xué)院學(xué)報，2005，29（2）：91-129.

［4］沈世釗，徐崇寶，趙臣.懸索結(jié)構(gòu)設(shè)計［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1997.

［5］張文福.空間結(jié)構(gòu)［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

［6］李占國，陳乃熙，史堯臣.PL型多楔帶橫向振動規(guī)律試驗(yàn)研究［J］.長春大學(xué)學(xué)報2016（12）：1-4.

［7］黃文怡，梁波，孫傳宗.基于有限元的風(fēng)力發(fā)電機(jī)底盤故障分析及改善方案［J］.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報，2015，27（1）：25-28

［8］張文福，孫曉剛，張紅星，等.預(yù)應(yīng)力雙層索靜力分析的能量變分解［J］.空間結(jié)構(gòu)，2007，13（1）：29-31.

［9］Krishna P.Cable-Suspended Roofs［M］.New York：McGraw-Hill，Inc，1978.

［10］張文福，劉文洋.勁性索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的固有振動分析［J］.空間結(jié)構(gòu)，2006，12（1）：55-58.

Natural Vibration Analysis of Single-Cable Structure Based Upon the Theory of Energy Variation

Liu Wenyang1，Wang Peng2，Zhang Wenfu3
（1.College of Engineering，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319；2.China State Construction Technical Center；3.School Architecture Engineering，Nanjing Institute of Technology）

Natural vibration analysis was the basis of structural dynamic analysis to obtain the natural frequency and vibration mode. Simplified method for natural vibration analysis of single-cable structure was presented based upon the theory of energy variation. The formulas for natural frequency and vibration mode were given out and the accuracy of the results was validated by finite element method.The error was less than 5%in general.Comparing with Rayleigh method，energy variation method was more accurate because the coupling effect of each vibration mode was considered.The presented method could be used in dynamic analysis of suspension cable as well as the supplement of finite element result.

single-cable structure；natural vibration；theory of energy variation；Rayleigh method

TU393.3

A

1002-2090（2017）04-0099-03

10.3969/j.issn.1002-2090.2017.04.022

2016-05-09

黑龍江省科學(xué)基金項(xiàng)目（QC2016071）。

劉文洋（1981-），男，講師，同濟(jì)大學(xué)畢業(yè)，現(xiàn)主要從事多高層鋼結(jié)構(gòu)和大跨空間結(jié)構(gòu)方面的研究。