李曙

【摘要】本文闡述變式教學(xué)應(yīng)遵循教學(xué)的適度性、針對(duì)性以及鼓勵(lì)學(xué)生積極參與三個(gè)原則，結(jié)合變式教學(xué)在解決初中幾何圖形面積最值問(wèn)題中的應(yīng)用實(shí)例論述變式教學(xué)在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用策略。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 變式教學(xué)

幾何圖形 面積最值

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）08A-0075-02

每一個(gè)人的求學(xué)路上都存在著不同級(jí)別的“分水嶺”——中考、高考、考研、考博等，教師都希望學(xué)生能不斷地學(xué)習(xí)，得到更良好的教育，學(xué)到更全面的知識(shí)。要想提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，一個(gè)很關(guān)鍵的因素就是學(xué)生要有較強(qiáng)的發(fā)散思維，特別是在初中階段，如果一個(gè)學(xué)生的發(fā)散思維得到了很好的訓(xùn)練，那么他在學(xué)習(xí)的過(guò)程中將會(huì)達(dá)到事半功倍的效果，對(duì)其今后的求學(xué)，甚至工作都能起到?jīng)Q定性的作用。變式教學(xué)就是一種針對(duì)學(xué)生發(fā)散思維較為有效的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中有著極高的應(yīng)用價(jià)值。變式教學(xué)旨在拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生靈活思考和解決問(wèn)題的能力以及促進(jìn)學(xué)生多角度和多層面思考問(wèn)題。

一、變式教學(xué)原則

教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用變式教學(xué)應(yīng)該堅(jiān)持教學(xué)方法的適度性、針對(duì)性以及鼓勵(lì)學(xué)生積極參與的三大原則，這樣才能更好地發(fā)揮變式教學(xué)的作用；教師按照學(xué)生的學(xué)習(xí)接受能力和理解能力變換問(wèn)題，在不改變數(shù)學(xué)原題的本質(zhì)的基礎(chǔ)上從不同的角度出發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行合理變化，如變換條件、問(wèn)題或者提問(wèn)形式等，將問(wèn)題呈現(xiàn)在學(xué)生面前，利用問(wèn)題變式，逐步推進(jìn)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能夠更完整地建立起來(lái)。

二、教學(xué)案例

（一）課本的典型例題、習(xí)題是數(shù)學(xué)問(wèn)題的精華

教師在教學(xué)中要善于借助課本中出現(xiàn)的練習(xí)題，讓學(xué)生在熟悉了知識(shí)點(diǎn)后快速獲得訓(xùn)練，以此來(lái)鞏固學(xué)生所學(xué)。但是在實(shí)際教學(xué)中，部分教師在講解課后練習(xí)題的時(shí)候，往往只是單純地為了講解某一道題而講評(píng)，甚至在學(xué)生還未真正理解這一類型題的解法的時(shí)候，教師又開(kāi)始講另一種類型題的解法。這種教學(xué)方法如同“水過(guò)鴨背”，更別說(shuō)讓學(xué)生對(duì)同一類題型的解題方法得到進(jìn)一步的鞏固和運(yùn)用了。為了讓學(xué)生獲得對(duì)某一類題型的解法的深刻、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，筆者選取了人教版九年級(jí)上冊(cè)P52綜合運(yùn)用的第7題作為例1：

如圖1，點(diǎn)E、F、G、H分別位于正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，當(dāng)點(diǎn)E位于何處時(shí)，正方形EFGH的面積最??？

1.分析題目：

①題型分析：本題屬于函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用，主要考查如何利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決幾何圖形面積的最值問(wèn)題。

②已知：四邊形ABCD與四邊形EFGH是正方形；點(diǎn)E、F、G、H在正方形ABCD的四條邊上。求解：點(diǎn)E位于何處時(shí)，正方形EFGH的面積最??？

③難點(diǎn)分析：題目中沒(méi)有給出任何數(shù)值，學(xué)生入手較難；如何找等量關(guān)系，建立二次函數(shù)模型。

④關(guān)鍵點(diǎn)：根據(jù)正方形的性質(zhì)，確定判定三角形全等的條件；引導(dǎo)學(xué)生設(shè)立未知數(shù)，用未知數(shù)把正方形EFGH的邊長(zhǎng)表示出來(lái)，從而得出正方形EFGH的面積的表達(dá)式，建立函數(shù)模型。

2.題目的解法：

①審題

對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，“函數(shù)”是非常抽象的概念，學(xué)生難以理解，更別說(shuō)還需要綜合全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。因此，教師在展示題目后，可以設(shè)計(jì)以下問(wèn)題讓學(xué)生讀題思考：

（1）題目中的已知條件是什么？

（2）該如何理解“點(diǎn)E在何處時(shí)，正方形EFGH的面積最小”？

（3）EH除了是正方形EFGH的邊長(zhǎng)，還與哪個(gè)圖形有關(guān)？

（4）線段AE、AH與正方形ABCD有什么關(guān)系？

（5）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是多少？

（6）正方形EFGH的邊長(zhǎng)（以EH為例）如何表示？

（7）所求的正方形EFGH的面積該如何表示？

②師生探討解題思路

第一步：證明圖1中的任意兩個(gè)三角形全等；

第二步：設(shè)立未知數(shù)；

第三步：建立二次函數(shù)模型；

第四步：根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，求最值。

③解決問(wèn)題：

師生共同完成答案的書(shū)寫(xiě)工作。

（二）在學(xué)生已掌握課本習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式訓(xùn)練

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不應(yīng)局限在狹窄的課本知識(shí)領(lǐng)域里，而應(yīng)該讓學(xué)生在對(duì)知識(shí)和技能初步理解與掌握后，進(jìn)一步深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)運(yùn)用課本的知識(shí)舉一反三。在對(duì)例1充分講解的前提下，筆者對(duì)原題進(jìn)行以下變式：

變式一：如圖2，從矩形ABCD的較短邊AD上找一點(diǎn)E，過(guò)這點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別為AE，DE，點(diǎn)E在何處時(shí)，剪下的兩個(gè)正方形的面積之和有最小值？

變式意圖：本題與例1為同一類型題，在未給出任何數(shù)據(jù)的前提下需要確定點(diǎn)的位置。學(xué)生能夠運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，遷移知識(shí)點(diǎn)，明白本題就是考查二次函數(shù)與幾何圖形面積的最值問(wèn)題的解法，大多學(xué)生可以獨(dú)立完成此題，但仍需注意未知數(shù)的選取和函數(shù)關(guān)系式的確立。本次變式訓(xùn)練讓學(xué)生對(duì)解決無(wú)具體數(shù)據(jù)、函數(shù)與幾何結(jié)合的題型得到很好的訓(xùn)練與知識(shí)鞏固。

變式二：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E、F、G、H分別為正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH，設(shè)小正方形的面積為y，AE為x，則y的函數(shù)圖象大致是（ ）。（本題為2011年蘭州市中考題）

變式意圖：本題與例1的幾何背景相同，但是還是有區(qū)別的：已知條件中正方形的邊長(zhǎng)為具體數(shù)值1，所求問(wèn)題變式為利用二次函數(shù)解析式求函數(shù)的圖象，需要特別注意自變量的取值范圍。選取本題作為變式訓(xùn)練題，既可以讓學(xué)生預(yù)先接觸中考題型，讓學(xué)生注意中考的方向，又可以讓學(xué)生達(dá)到舉一反三的學(xué)習(xí)效果。

變式三：如圖4，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，E、F、G分別是AB、BC、CA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG，當(dāng)點(diǎn)G在何處時(shí)，△EFG的面積最小？

變式意圖：本題變換了幾何背景，與求解正方形的面積問(wèn)題相比較，求解等邊三角形的面積問(wèn)題較為復(fù)雜。學(xué)生在解答本題時(shí)需要正確添加輔助線、靈活運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的難度。筆者在講解此題時(shí)采取的是讓學(xué)生在小組中探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方式。

最后，教師與學(xué)生進(jìn)一步歸納得出在解答有關(guān)運(yùn)用二次函數(shù)求幾何圖形面積的最值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)遵循以下規(guī)律：

（1）引入自變量，利用幾何圖形的面積公式得到關(guān)于面積的二次函數(shù)關(guān)系式；

（2）把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的解析式；

（3）結(jié)合實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；

（4）求二次函數(shù)的最大值或最小值。

常言道，“想要給學(xué)生一瓢水，自己就要有一桶水?！弊鳛橐幻處?，我們必須要掌握一定的專業(yè)知識(shí)。變式教學(xué)既可以促進(jìn)教師多思考、多歸納，又可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握更多的知識(shí)。變式教學(xué)是一種較為成熟和教師常用的教學(xué)方法，在初中教學(xué)中具有一定的優(yōu)勢(shì)，但與其他教學(xué)方法一樣，變式教學(xué)并不是萬(wàn)能的。本文針對(duì)人教版課本中的一道習(xí)題給出了三個(gè)基本變式，只是教學(xué)方法層面的一些探究，變式的類型并不全面。在初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，將數(shù)學(xué)題目的基本條件、問(wèn)題、圖形進(jìn)行變化，對(duì)初中生開(kāi)拓思維和培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力意義重大，教師在教學(xué)中要注意把握變式教學(xué)中水平變式問(wèn)題的“量”和垂直變式問(wèn)題的“度”的問(wèn)題，水平變式題適當(dāng)?shù)亍爸貜?fù)”使“雙基”教學(xué)得以實(shí)現(xiàn)，利于引發(fā)量變到質(zhì)變；垂直變式問(wèn)題突破適度，利于學(xué)生思維盡情發(fā)散。

（責(zé)編 劉小瑗）endprint