基于旋輪線方程拓展的防偽底紋設(shè)計

黎世倫，曾萱，丁賀，姚正安

（1.廣東實驗中學(xué)，廣州510375；2.中山大學(xué)附屬中學(xué),廣州510275；3.中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,廣州510275）

基于旋輪線方程拓展的防偽底紋設(shè)計

黎世倫1，曾萱2，丁賀2，姚正安3

（1.廣東實驗中學(xué)，廣州510375；2.中山大學(xué)附屬中學(xué),廣州510275；3.中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,廣州510275）

旋輪線是數(shù)學(xué)中眾多的迷人曲線之一，直線上的旋輪線、圓外與圓內(nèi)旋輪線是經(jīng)典的旋輪線。旋輪線方程依賴3個參數(shù)，不同的參數(shù)設(shè)置，曲線圖案很不一樣，其多變的圖案可用于底紋防偽。經(jīng)典的旋輪線的曲線圖案比較單薄。對經(jīng)典的旋輪線，利用曲線平移疊加、縮放疊加技術(shù)，使之更漂亮和豐滿。同時，把旋輪線方程推廣拓展為4參數(shù)或9參數(shù)情形，使得曲線變化更復(fù)雜和精妙，并利用程序生成圖形豐富的花邊、團花等防偽底紋。

旋輪線；防偽底紋；花邊；團花

1 防偽底紋設(shè)計

從自己的口袋中拿出一張任意面值的人民幣或身份證仔細(xì)觀察，就能發(fā)現(xiàn)上面的美麗的底紋。底紋的作用是由于身份證件和鈔票等關(guān)系重大的印刷物品，無一例外的需要具備諸多的防偽特性。

底紋的防偽作用主要體現(xiàn)在圖案的復(fù)雜性及防復(fù)制功能。印刷中常用的防偽底紋元素有：團花、花邊、浮雕、潛影、縮微文字等?；ㄟ吘褪怯糜谟∷⒃诋a(chǎn)品的邊緣，用各種不同的復(fù)合式花邊，通過變化它的元素和色彩達到裝飾和防偽的作用。團花是在防偽標(biāo)簽上面印刷各種鮮花的版紋，在防偽的同時也具有較高的技術(shù)欣賞。還可以通過與產(chǎn)品和公司形象的結(jié)合設(shè)計個性化的團花防偽標(biāo)簽。

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，使用計算機創(chuàng)作的底紋效果，制作特別復(fù)雜、細(xì)微、精致、高分辨力的印品底紋。如任意的幾何圖形，單線、復(fù)合或扭曲封閉式的花邊、或十分復(fù)雜的團花等圖形。這種底紋用人工、照排或掃描均難以復(fù)制。

目前國外防偽底紋軟件有Cerber，Jura，Barco等，國內(nèi)有方正超線、蒙泰版紋、愛明天等。例如Jura在版紋防偽技術(shù)上較為先進，號稱在全世界范圍內(nèi)為76個國家設(shè)計鈔票；北大方正超線防偽底紋設(shè)計系統(tǒng)使用的線條是正弦線[1]。

旋輪線是與正弦曲線類似但更為復(fù)雜，它被廣泛應(yīng)用于齒輪的設(shè)計[2-3]。本文討論旋輪線，并對它進行拓展，利用它們生成更復(fù)雜精美的團花和花邊等防偽底紋。

2 經(jīng)典的旋輪線

直線上的旋輪線是這樣定義的：一個圓沿一直線滾動，則圓上一定點所經(jīng)過的軌跡稱為旋輪線（cy?cloid），又稱擺線。旋輪線也是最速降線問題和等時降落問題的解[4]。

考慮半徑為a的圓，定點的初始位置為坐標(biāo)原點O，定直線為x軸。當(dāng)圓滾動θ角以后，圓上定點從O點位置到達另一位置，切點在圓上經(jīng)過的距離與在直線上經(jīng)過的距離相等，均為aθ。從而此時的橫坐標(biāo)為aθ-a sinθ，縱坐標(biāo)為a-a cosθ。因此，此旋輪線的參數(shù)方程為：

其中a為圓的半徑，q是圓的半徑旋轉(zhuǎn)的角度（滾動角）。

除直線上的旋輪線外，經(jīng)典的旋輪線還包括圓內(nèi)或圓外旋輪線。如果讓動圓沿著一個定圓滾動，而不是沿著直線滾動的話，我們將得到圓內(nèi)旋輪線（hypocy?cloid）或圓外旋輪線（epicycloid）[4]。設(shè)定圓半徑為R，動圓半徑為r，動圓上的某定點（可在圓周上、圓內(nèi)、圓外）到動圓的中心的距離是d。當(dāng)動圓沿著定圓外側(cè)滾動時，動圓上的定點所形成的軌跡，稱為圓外旋輪線，其參數(shù)方程為：

可類似求得動圓沿著定圓（R>r）的內(nèi)側(cè)滾動得到的圓內(nèi)旋輪線的參數(shù)方程為：

當(dāng)d=r，定點在圓周上，dr，點在圓外，對應(yīng)的旋輪線為長幅旋輪線。

3 旋輪線曲線平移疊加與縮放疊加技術(shù)

旋輪線與北大方正超線類似，使用正弦、余弦函數(shù)，從旋輪線方程可以發(fā)現(xiàn)，定圓半徑R、動圓半徑r、定點（可在圓周上、圓內(nèi)、圓外）到動圓的中心的距離d的改變，會產(chǎn)生形態(tài)各異的曲線。就是這種特殊性，旋輪線可用于防偽底紋的生成。然而，直接用這些曲線作為防偽底紋，略顯單薄。亓文法等人[5]放松了固定擺點的條件，利用動擺點旋輪線生成防偽底紋。此研究對動擺點的軌跡有所限制，滾圓自轉(zhuǎn)一周，要求動擺點也沿著自己的軌跡也自轉(zhuǎn)一周；另外，動擺點的軌跡需要通過采樣形成擺點集，用擺點集形成的多邊形對動擺點的軌跡進行近似，程序?qū)嵤┹^麻煩。下面我們另辟新徑，在經(jīng)典旋輪線的基礎(chǔ)上，通過三種技術(shù)來生成防偽底紋：曲線平移疊加、縮放疊加與方程拓展，實現(xiàn)防偽花邊與團花的設(shè)計。

3.1 平移疊加技術(shù)

我們把基本的圓內(nèi)或圓外旋輪線通過多次平移，每次對上一個圖形往右平移c個單位，則只需要把原來的參數(shù)方程中的x的值增加c，即：

通過多次平移，然后疊加到原來的圖形上，重復(fù)多次，可生成條狀花邊。

3.2 縮放疊加技術(shù)

我們把基本旋輪線按照一定比例縮小尺寸，疊加到原來的圖形上。如此重復(fù)疊加多次，使原始圖形逐漸變得豐滿美觀，生成防偽團花。

我們對基本的短幅內(nèi)旋輪線:R=11，r=7，d=4通過20次縮放疊加與平移疊加分別生成圖1中的團花與花邊。其中團花是通過20次按比例縮小疊加形成，第1次、第2次、…、第20次疊加時尺寸時為原始基本圖形尺寸的1/1.25、1/1.5、…、1/5。

圖1 圓內(nèi)旋輪線（R=11，r=7，d=4）的縮放疊加與平移疊加生成的團花與花邊

4 旋輪線方程拓展技術(shù)

我們將旋輪線方程進一步推廣，在參數(shù)方程中，在x軸增加旋轉(zhuǎn)角度θ的線性項，就可以產(chǎn)生更復(fù)雜、更美麗的防偽花邊和團花等圖案了。

4.1 圓內(nèi)或圓外旋輪線方程拓展式

在前面的討論中，我們知道，在直線上（不妨設(shè)為x軸）滾動的旋輪線，在x軸有aθ項，使得曲線形狀呈現(xiàn)為條狀。因此，我們把圓內(nèi)或圓外旋輪線在x軸增加θ的線性項cθ，拓展為:

圓內(nèi)旋輪線拓展式:

此拓展旋輪線曲線形狀依賴4個參數(shù)R，r，d，c.當(dāng)c=0時，上面拓展式即退化為標(biāo)準(zhǔn)的圓內(nèi)或圓外旋輪線。當(dāng)c≠0時，由于線性項cθ的影響，曲線為條狀，適宜作為花邊。圖2為c≠0時的拓展的旋輪線生成的各種花邊圖案。

圖2 四參數(shù)拓展圓內(nèi)或圓外旋輪線旋輪線生成的花邊

4.2 更一般情形的旋輪線方程拓展式

下面考慮更為復(fù)雜的旋輪線方程推廣，利用拓展方程，可以生成非常復(fù)雜的防偽花邊、團花和底紋。在直線上滾動的旋輪線與圓內(nèi)或圓外旋輪線的參數(shù)方程，可以統(tǒng)一到如下的拓展形式：

其中w1>0,w2≥0,u1>0,u2≥0,a1,b1,a2,b2不為0。

對于此拓展形式的曲線，下面我們探討其周期性，并把周期性用于底紋設(shè)計。

引理［1］：假設(shè)f1(t),f2(t)都是定義在實數(shù)集上的周期函數(shù)，若f1(t),f2(t)連續(xù)，則下面三個條件等價：

（i）f1(t)+f2(t)為周期函數(shù);

（ii）f1(t)與f2(t)存在公共周期;

（iii）存在這兩個函數(shù)的正周期使得這兩個正周期之比為有理數(shù)。

實際上，此引理對兩個函數(shù)之一連續(xù)（即f1(t)或f2(t)連續(xù)）的情形也成立[7]。

定理（周期性判別定理）：當(dāng)且僅當(dāng)c=0，且w2/w1,u2/u1與都為有理數(shù)時，則曲線（7）關(guān)于參數(shù)q有周期，即存在T>0，使得：

證明：（1）考慮c=0的情形。

當(dāng)常數(shù)w不為0時，三角函數(shù)cos wθ（或sin wθ）為周期函數(shù)，具有周期2kπ/w，這里k為整數(shù)。由引理知，當(dāng)且僅當(dāng)為有理數(shù)時，x(θ)具有周期；當(dāng)且僅當(dāng)u2/u1為有理數(shù)時，y(θ)具有周期。當(dāng)且僅當(dāng)w2/w1,u2/u1與都為有理數(shù)時，x(θ)與y(θ)具有公共周期。

（2）考慮c≠0的情形。

反設(shè)此時x(θ)具有周期T，則對任意整數(shù)k，有x(θ+kT)=x(θ)。

任取一實數(shù)θ0，連續(xù)函數(shù)x(θ)在閉區(qū)間[θ0,θ0+T]上有界，即存在常數(shù)M，使得|x(θ)|≤M對任意θ∈[θ0,θ0+T]成立。

當(dāng)c≠0時，有l(wèi)θi→m∞|x(θ)|=∞，則存在一點θ*，成立|x(θ*)|>M。對于此θ*，比存在整數(shù)k*，使得θ*+k*T∈[θ0,θ0+T]，則有：

|x(θ*)|=|x(θ*+k*T)|≤M。

與|x(θ*)|>M矛盾。故c≠0，x(θ)為非周期函數(shù)。

若曲線（7）關(guān)于參數(shù)q有周期，我們只需要畫出q在[0，T]上取值的軌跡。然而，當(dāng)曲線（7）關(guān)于q沒有周期時，q在不同長度區(qū)間上的軌跡不同。例如，我們?nèi)1,a2,b1,b2,c,w1,w2,u1,u2分別為2，p，2.5，p，0，2，e，1.5e，1，10，根據(jù)周期性判別定理，此曲線沒有周期性。我們畫出θ∈[0,20π]與θ∈[0,100π]上的此曲線軌跡，見圖3。

圖3 (2,π,2.5,π,0,2,e,1.5e,1,10)對應(yīng)的拓展旋輪線

旋輪線拓展曲線的圖形取決于9個參數(shù)：a1,a2,b1,b2,c,w1,w2,u1,u2，若它為非周期函數(shù)，圖形還依賴q的取值范圍。參數(shù)個數(shù)的增加，使得曲線更加豐富多樣。通過作圖程序，實現(xiàn)不同的參數(shù)下形成的軌跡，可生成更復(fù)雜的防偽花邊與團花。

我們采用數(shù)學(xué)軟件Mathematica，設(shè)置不同的參數(shù)，根據(jù)拓展方程生成拓展的旋輪線曲線圖。當(dāng)c=0時，曲線圖案為團花。當(dāng)c≠0時，曲線圖案為條形的花邊，如圖4。相應(yīng)的Mathematica程序：

SecPlot[a1_，a2_，b1_，b2_，c_，w1_，w2_，u1_，u2_，N_]:=ParametricPlot[{c t+a1 Cos[w1 t]+a2 Cos[w2 t]，b1 Sin[u1 t]+b2 Sin[u2 t]}，{t，0，N*2 Pi}，Mesh->1，Axes->False]

SecPlot[2，Pi，1，Pi，0，2，E，2E，2，20]

5 結(jié)語

底紋防偽是成本低且防偽效果很好的一種防偽印刷技術(shù)。我們推廣拓展后的旋輪線形狀參數(shù)較多，圖形精美復(fù)雜，使得仿制者對所復(fù)制印刷品很難獲知曲線的參數(shù)組合設(shè)置情況，從而難以制作出類似的效果。

圖4 九參數(shù)拓展旋輪線生成的團花與花邊

[1]李霞.安全底紋設(shè)計在印刷產(chǎn)品中的應(yīng)用.印刷雜志，2008，1:51-53.

[2]Chen B.K.，F(xiàn)ang T.T.，LiC.Y.，etal.GearGeometry ofCycloid Drives[J].Science China Technological Sciences，2008，51（5）:598-610.

[3]Ge X.G.，Li J.，Wang L.P.，etal.Application of cycloid inmachining polygon parts[J].Machine Tool&Hydraulics，2005.

[4]Whitman，E.A.Somehistoricalnoteson the cycloid.The American MathematicalMonthly，1943，50（5）:309–315.

[5]亓文法，李曉龍，楊斌，國偉，盧書一.動擺線及其在安全底紋設(shè)計中的應(yīng)用[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2008，20（2）: 267-272.

[6]Fink A.M.AlmostPeriodic Differential Equations.Lecture Notes in Mathematics，1974，377:80-112.

[7]劉長劍，湯正誼，LIUChang-jian等.兩個周期函數(shù)的和的周期性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2016，32（4）:82-84.

Security Pattern Designs Based on Extended Cycloids

LIShi-lun1，ZENGXuan2，DINGHe2，YAOZheng-an3
（1.Guangdong ExperimentalHigh School,Guangzhou 510375；2.Middle School Affiliated to Sun Yat-sen University,Guangzhou 510375；3.SchoolofMathematics,Sun Yat-sen University,Guangzhou 510275）

Cycloid is one of themost fascinating curves inmathematics.Cycloids,epicycloids and hypocycloids belong to the family of classic cy?cloids.The graph ofcycloid dependson three parameters.Differentparametersettingsmay lead to very differentpatterns.This kind ofprop?erty ensures the diversity if they are used in security pattern designs.The patternsof classic cycloids are too simple.Sowe used translation, scalingand overlay techniques tomake classic cycloidsmorebeautifuland plentiful.Simultaneously,weextended classic cycloids to agen?eral casewith 4 or9 parameters,in order tomake the curvemore sensible to the parameters.We also illustrate some security pattern exam?ples,such asbordersand rosettes,by using ourmethods.

黎世倫（2000-），男，高中，中國科協(xié)英才計劃

姚正安（1960-），男，博士，教授，博導(dǎo)，院長，研究方向為信息安全技術(shù)、偏微分方程

2017-07-20

2017-08-01

國家自然科學(xué)基金重點基金項目（No.11431015）

1007-1423（2017）22-0006-05

10.3969/j.issn.1007-1423.2017.22.002

Cycloid;Security Pattern;Border;Rosette