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(1.廣西大學(xué) 計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

一種ECVT有限元自動(dòng)剖分方法

鄒星星1，趙進(jìn)創(chuàng)1，傅文利1，馬增強(qiáng)2

(1.廣西大學(xué) 計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院，廣西 南寧 530004；2.石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

ECT三維傳感器場(chǎng)域剖分是當(dāng)前ECT直接三維成像研究的關(guān)鍵問(wèn)題，提出一種三維有限元自動(dòng)剖分方法并得到結(jié)果驗(yàn)證。采用四面體作為剖分單元，利用Delaunay四面體剖分算法反復(fù)迭代實(shí)現(xiàn)三維實(shí)體自動(dòng)剖分；為清晰顯示剖分圖像，結(jié)合畫(huà)家算法對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行消隱處理。仿真結(jié)果表明，隨著迭代次數(shù)增加，剖分精度提高，其剖分時(shí)長(zhǎng)也會(huì)相應(yīng)增加。根據(jù)需求剖分精度設(shè)置迭代次數(shù)，能有效的剖分傳感器場(chǎng)域，實(shí)現(xiàn)了三維場(chǎng)域自動(dòng)剖分，為計(jì)算三維敏感場(chǎng)從而提高ECT三維成像精度奠定基礎(chǔ)。

電容層析體積成像；有限元；自動(dòng)剖分

0 引言

電容層析成像技術(shù)(Electrical Capacitance Tomography)基于奧地利科學(xué)家J.Radon于1917年提出的圖像重建理論(即Radon變換及其逆變換)，通過(guò)放置在被測(cè)管道周圍的傳感器陣列獲取被測(cè)場(chǎng)域不同觀測(cè)角度下的多個(gè)電容測(cè)量值(即ECT正問(wèn)題)，以此為投影數(shù)據(jù)，采用適當(dāng)?shù)膱D像重建算法重建被測(cè)區(qū)域內(nèi)介質(zhì)分布(即ECT逆問(wèn)題)。由于其適用范圍廣、響應(yīng)速度快、測(cè)量方式非侵入、結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單、成本較低，具有十分廣闊的應(yīng)用前景，是過(guò)程層析成像技術(shù)(PT)的主流之一[1]。

圖1 傳感器測(cè)量方式示意

目前較為成熟的三維電容層析成像主要通過(guò)獲取多個(gè)二維斷層圖像進(jìn)行三維重建[2]，以此獲取三維圖像。然而由于間接三維成像軸向分辨力低，研究者們提出在三維空間上進(jìn)行測(cè)量，利用測(cè)量得到的信息直接進(jìn)行三維成像。圖1給出傳統(tǒng)電容層析三維成像(間接三維ECT)和電容層析體積成像(直接三維ECT)的傳感器測(cè)量方式。①傳統(tǒng)電容層析三維成像系統(tǒng)同層極板測(cè)量，②電容層析體積成像 系統(tǒng)同層、異層極板對(duì)測(cè)量。

2006年，R.wajman和R.Banasiaka等采用迭代的線性反投影算法，證明了電容層析體積成像系統(tǒng)在重建圖像質(zhì)量上優(yōu)于間接三維ECT系統(tǒng)[2]，電容層析體成像日漸成為研究熱點(diǎn)。2012年，顏華和寧秀坤等[3]對(duì)12極板ECVT系統(tǒng)進(jìn)行圖像仿真研究。一直以來(lái)，研究者們相應(yīng)提出了多種二維ECT有限元網(wǎng)格自動(dòng)剖分算法。1983年，Yerry M A 和 Shephard M S等[4]人提出柵格法實(shí)現(xiàn)了二維有限元場(chǎng)域網(wǎng)格剖分，但其精度低且耗時(shí)長(zhǎng)。1996年，鄭大宇和周躍發(fā)[5]提出映射法剖分二維有限元場(chǎng)域，提高剖分精度。1998年，肖化和嚴(yán)杰等[6]提出幾何分解法，進(jìn)一步提高了二維有限元場(chǎng)域的剖分精度。陳德運(yùn)和楊從晶等[7]于2003年提出節(jié)點(diǎn)連元法，獲得較高質(zhì)量的剖分單元同時(shí)減少剖分時(shí)長(zhǎng)。此后二維有限元剖分算法日漸完善，并取得較好效果。由于三維域特殊性，剖分方法由平面域向三維域擴(kuò)展一直難以實(shí)現(xiàn)。為有效求解ECT三維傳感器場(chǎng)域電場(chǎng)問(wèn)題，從而直接獲取三維敏感場(chǎng)進(jìn)行三維圖像重建，最終提高ECT三維重建圖像軸向分辨力，本文針對(duì)ECT三維傳感器場(chǎng)域特性以及適用剖分單元選取，改進(jìn)Watson提出的基于Delaunay四面體剖分算法，采用迭代方式提高場(chǎng)域剖分精度，實(shí)現(xiàn)ECT三維傳感器場(chǎng)域自動(dòng)剖分。

1 ECVT有限元分析

假定傳感器場(chǎng)域內(nèi)無(wú)自由電荷分布，即該電場(chǎng)為似穩(wěn)場(chǎng)。根據(jù)麥克斯韋方程，獲得傳感器場(chǎng)域內(nèi)電勢(shì)分布方程

(1)

(2)

圖2 靜電場(chǎng)有限元分析流程圖

由于無(wú)法用解析法求解式(2)，通常采用數(shù)值法中的有限元法進(jìn)行求解。即依據(jù)變分原理將式(2)的邊值問(wèn)題化為相應(yīng)的變分問(wèn)題，然后利用剖分插值將變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為普通多元函數(shù)的極值問(wèn)題，最終歸結(jié)為一組多元的代數(shù)方程組，用迭代法或直接法求解。靜電場(chǎng)有限元方法步驟如圖2所示[8]。

同二維ECT系統(tǒng)分析一致，三維ECT系統(tǒng)仍需采用有限元方法對(duì)傳感器場(chǎng)域電場(chǎng)變分問(wèn)題進(jìn)行求解，而單元剖分作為有限元分析首要步驟變得尤為重要。

2 ECVT傳感器場(chǎng)域剖分

有限元法分析是將傳感器場(chǎng)域即連續(xù)場(chǎng)離散為有限個(gè)子域(單元)，由這些僅在節(jié)點(diǎn)處互相連接的子域的集合代表整個(gè)解域。場(chǎng)域剖分直接影響計(jì)算結(jié)果的精度，因此在求解ECT三維傳感器場(chǎng)域過(guò)程中，選擇適當(dāng)?shù)膯卧筒逯岛瘮?shù)是決定性步驟之一。

2.1剖分單元選取

有限元方法生成技術(shù)，發(fā)展至今，方法頗多[9]。通常在進(jìn)行場(chǎng)域剖分之前，首先需要確定剖分采用的單元類型。用于三維場(chǎng)域有限元分析的單元類型多種多樣，其中常用的三維單元類型如圖3所示，有四面體、五面體、六面體。

圖3 三維場(chǎng)域剖分單元類型

剖分所采用的單元的幾何形狀、節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與其節(jié)點(diǎn)的配置情況取決于插值函數(shù)的選取。插值函數(shù)構(gòu)造方法分為L(zhǎng)agrange型和Hermite型，一類是單元的節(jié)點(diǎn)參數(shù)中只包含場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值，另一類單元的節(jié)點(diǎn)參數(shù)中，除場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值外，還包含場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值。故Hermite型單元構(gòu)造復(fù)雜，對(duì)某些問(wèn)題甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn)，而Lagrange型單元構(gòu)造和實(shí)現(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單，故采用此類型單元。場(chǎng)域單元節(jié)點(diǎn)越多，敏感場(chǎng)精度越高，隨之計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng)?？紤]到ECT傳感器通常為圓柱體，形狀對(duì)稱，為確保滿足剖分精度條件下盡量減少剖分時(shí)間，本文提出的方法以4節(jié)點(diǎn)四面體為剖分單元。

2.2剖分算法框架

由于以四面體剖分單元，且Delaunay三角剖分算法是最優(yōu)三角剖分算法，故采用Watson提出的經(jīng)典Delaunay作為剖分算法。然而由于其三維空間剖分算法在應(yīng)用到ECT三維傳感器場(chǎng)域剖分的仿真過(guò)程中存在網(wǎng)格質(zhì)量差的問(wèn)題，故本算法針對(duì)特定剖分對(duì)象即ECT傳感器場(chǎng)域，在Watson的逐點(diǎn)插入法基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代。即當(dāng)插入一個(gè)新點(diǎn)時(shí)，如果該點(diǎn)落在某個(gè)四面體內(nèi)，則將此四面體的4個(gè)頂點(diǎn)與該點(diǎn)相互連接，從而形成4條新的邊。然后根據(jù)Delaunay三角網(wǎng)格優(yōu)化的準(zhǔn)則進(jìn)行優(yōu)化，從而形成高質(zhì)量三角網(wǎng)；若該點(diǎn)落在四面體邊上，則刪除該邊。以此插入新點(diǎn)并反復(fù)迭代，直至滿足迭代終止條件。

具體步驟如下：

(1)給出迭代次數(shù)，接著對(duì)三維實(shí)體的邊、面進(jìn)行離散形成Delaunay三角形網(wǎng)絡(luò)；

(2)這些面上所有節(jié)點(diǎn)的集合即三維實(shí)體Delaunay四面體化的初始點(diǎn)集P；

(3)對(duì)P進(jìn)行Delaunay四面體化，構(gòu)成了三維實(shí)體Delaunay初始四面體剖分；

(4)判斷是否超出迭代次數(shù)，若沒(méi)有超出迭代次數(shù)，則返回繼續(xù)離散劃分；

(5)否則采用畫(huà)家算法對(duì)剖分網(wǎng)格進(jìn)行消隱處理，繪出較強(qiáng)立體感的網(wǎng)格圖。

3 仿真結(jié)果與分析

本文的方法在Windows環(huán)境下，基于Matlab平臺(tái)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。根據(jù)ECT直接三維傳感器場(chǎng)域，取直徑為1，高度為2.5的圓柱體模型作為剖分對(duì)象，分別設(shè)置迭代剖分次數(shù)為0次(即未經(jīng)迭代處理的Delaunay四面體化剖分)、10次、100次、200次進(jìn)行四面體單元自動(dòng)剖分，以此驗(yàn)證本文方法有效性。圖4給出了前人算法以及本文算法在ECT直接三維傳感器場(chǎng)域剖分效果圖。

圖4 前人算法與本文算法剖分圖

由圖4可知，針對(duì)ECT三維傳感器場(chǎng)域，本文算法較前人算法提高了剖分單元質(zhì)量以及剖分精度。同時(shí)，增加迭代次數(shù)仿真證明，隨著迭代剖分次數(shù)增加，剖分單元質(zhì)量以及剖分精度也會(huì)相應(yīng)提高。圖5給出了不同迭代次數(shù)下自動(dòng)剖分圖。

圖5 不同迭代次數(shù)下自動(dòng)剖分圖

由圖5可知，迭代剖分次數(shù)越多，剖分越細(xì)，生成的有限元單元數(shù)就越多，有限元解的精確度越高。圖6給出了不同剖分次數(shù)與生成單元結(jié)點(diǎn)數(shù)、單元數(shù)關(guān)系。

根據(jù)圖6可知，迭代剖分次數(shù)增加，剖分的單元數(shù)與結(jié)點(diǎn)數(shù)增加。然而由于迭代剖分次數(shù)增加，導(dǎo)致剖分計(jì)算量增大，計(jì)算時(shí)間變長(zhǎng)。圖7給出了迭代次數(shù)與剖分時(shí)間關(guān)系圖。

實(shí)際驗(yàn)證證明，本文提出的方法能夠有效的對(duì)電容層析成像三維電場(chǎng)場(chǎng)域進(jìn)行四面體單元自動(dòng)剖分，且剖分單元質(zhì)量良好，能夠滿足后續(xù)電容層析成像有限元分析、計(jì)算的要求。

圖6 迭代次數(shù)與生成結(jié)點(diǎn)數(shù)、單元數(shù)關(guān)系圖

圖7 迭代次數(shù)與剖分時(shí)間關(guān)系圖

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)ECVT成像系統(tǒng)中三維電場(chǎng)場(chǎng)域提出一種三維有限元自動(dòng)剖分方法，是運(yùn)用有限元方法求解三維電場(chǎng)場(chǎng)域電位分布的關(guān)鍵步驟。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法能夠?qū)崟r(shí)有效的將三維ECT傳感器場(chǎng)域剖分為多個(gè)四面體單元，對(duì)ECVT有限元正問(wèn)題分析研究具有較高實(shí)用價(jià)值。本文下一步的工作在自動(dòng)剖分的基礎(chǔ)上研究三維ECT傳感器場(chǎng)域自適應(yīng)剖分方法。

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AMethodofFEMSelf-OrganizingMeshGenerationforECVT

ZouXingxing1,ZhaoJinchuang1,FuWenli1,MaZengqiang2

(1.College of Computer&Electrical Information, Guangxi University, Nan’ning 530004,China;2. School of Electric and Electronic Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

As three-dimensional sensor field mesh of ECT is a key issue in direct 3D ECT currently, a method of 3D FEM self-organizing mesh generation is proposed. The method adopts tetrahedron as split unit, and uses Delaunay triangulation algorithm for auto meshing 3D solid. Finally, the painter algorithm is used to process grid blanking. Simulation results show that with the increase in the number of iterations, mesh accuracy is improved while more time is spent. Setting iteration according to the precision of mesh can effectively mesh the sensor field, achieving the three-dimensional auto meshing, which provides basis for calculating the three-dimensional sensitivity field in order to improve the accuracy of three-dimensional imaging of ECT.

ECVT;FEM;self-organizing

TP391

： A

： 2095-0373(2017)03-0106-05

2016-05-03責(zé)任編輯:劉憲福

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2017.03.20

國(guó)家自然科學(xué)基金(61362025)

鄒星星(1993-)，女(侗族)，碩士研究生，主要從事電學(xué)成像、圖像處理研究。E-mail:vivi_zou0_0@hotmail.com

趙進(jìn)創(chuàng)(1968-)，男，博士，教授，主要從事電學(xué)成像技術(shù)，數(shù)字圖像處理研究。E-mail:zhaojch@gxu.edu.cn 鄒星星，趙進(jìn)創(chuàng)，傅文利，等.一種ECVT有限元自動(dòng)剖分方法[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017,30(3):106-110.