“有理數(shù)”數(shù)學(xué)思想面面觀

陸 曄

“有理數(shù)”數(shù)學(xué)思想面面觀

陸 曄

“有理數(shù)”這章內(nèi)容包括有理數(shù)的基本概念、有理數(shù)的運(yùn)算以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).在本章學(xué)習(xí)過程中，蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于同學(xué)們良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成具有積極促進(jìn)作用.現(xiàn)舉例說明如下：

一、在理解有理數(shù)的概念、比較其大小時(shí)，感受“數(shù)形結(jié)合”的思想

數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”和“形”的一門學(xué)科，從古希臘時(shí)期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，能夠起到以“形”助“數(shù)”的作用.我國數(shù)學(xué)家華羅庚說得好：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.”

例1（2017·株洲）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)的絕對(duì)值為（）.

A.2B.-2

C.±2D.以上均不對(duì)

剖析：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.因此，借助于數(shù)軸可以知道：數(shù)軸上點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為2，因此，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)的絕對(duì)值為2.

解：本題選A.

例2（2017·麗水）在數(shù)1，0，-1，-2中，最大的數(shù)是（）.

A.-2B.-1C.0D.1

剖析：根據(jù)“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的大”，我們可以將這四個(gè)數(shù)分別在數(shù)軸上表示出來，從左到右依次為-2、-1、0、1，因此，這四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是1.

解：本題選D.

例3已知a＜b＜0，試比較a，-a，b，-b的大小.

剖析：根據(jù)已知條件，將a，-a，b，-b四個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示出來，再根據(jù)在數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)，可比較出它們的大小.

解：因?yàn)閍與-a，b與-b互為相反數(shù)，又a＜b＜0，所以四個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示如圖所示：

根據(jù)在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)，可得它們的大小關(guān)系為：a＜b＜-b＜-a.

二、在利用有理數(shù)的概念和有理數(shù)運(yùn)算法則過程中，感受“分類討論”的思想

當(dāng)被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時(shí)，必須按可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各種相應(yīng)的結(jié)論，這種處理問題的思維方法稱為分類思想.本章在研究相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)的加法法則、乘法法則、乘方運(yùn)算的符號(hào)法則等時(shí)，都較好地體現(xiàn)了“分類討論”的思想.

例4在數(shù)軸上，與表示數(shù)-5的點(diǎn)的距離是2的點(diǎn)表示的數(shù)是（）.

A.-3B.-7C.±3D.-3或-7

剖析：分析題意，可以發(fā)現(xiàn)符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)：一個(gè)在表示-5的點(diǎn)的左邊，另一個(gè)在表示-5的點(diǎn)的右邊，且它們到表示-5的點(diǎn)的距離都等于2，因此，符合條件的點(diǎn)表示的數(shù)分別為-3或-7.

解：本題選D.

例5若a2=4，b2=9，且ab＜0，則a-b的值為.

剖析：根據(jù)有理數(shù)平方的意義，可以分別確定字母a與b的值，再根據(jù)a、b之積為負(fù)數(shù)即可確定a、b異號(hào)，從而可以確定字母a與b可能的值，進(jìn)而求得a-b的值.

解：因?yàn)閍2=4，b2=9，所以a=±2，b=±3.因?yàn)閍b＜0，所以當(dāng)a=2時(shí)，b=-3，a-b=2-（-3）=2+ 3=5；當(dāng)a=-2時(shí)，b=3，a-b=-2-3=-5，所以，a-b的值為5或-5.本題填：5或-5.

剖析：因?yàn)閍bc＜0，所以負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)可能是1個(gè)或3個(gè).再根據(jù)條件“a+b+c＞0”，所以有理數(shù)a，b，c中至少有1個(gè)正數(shù)，所以符合條件的只有一種情況：其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，其余兩個(gè)為正數(shù)，分為以下三種情況：①當(dāng)a＜0時(shí)，b＞0，c＞0，原式=-1+1+1-1=0；②當(dāng)b＜0時(shí)，a＞0，c＞0，原式=1-1+1-1=0；③當(dāng)c＜0時(shí)，a＞0，b＞0，原式=1+1-1-1=0.

解：本題填0.

三、在運(yùn)用有理數(shù)的減法、有理數(shù)的除法法則中，感受“轉(zhuǎn)化”的思想

將所要研究和解決的問題變?yōu)橐呀?jīng)學(xué)過的問題來處理的數(shù)學(xué)思想稱為轉(zhuǎn)化思想，它是一種研究和解決數(shù)學(xué)問題的基本思想.如在有理數(shù)加法的基礎(chǔ)上，利用相反數(shù)的概念將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算——減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，從而使加、減法得到統(tǒng)一；又如在有理數(shù)乘法的基礎(chǔ)上，利用倒數(shù)概念將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算——除以一個(gè)不等于0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，從而使乘、除法得到統(tǒng)一等.可見，轉(zhuǎn)化思想是解決問題、獲得新知識(shí)的重要數(shù)學(xué)思想.

例7冬季某天測(cè)得的最低氣溫是-6℃，最高氣溫是5℃，則當(dāng)日溫差是℃.

剖析：根據(jù)題意，列出算式為5-（-6），再根據(jù)有理數(shù)減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，可得結(jié)果.

解：5-（-6）=5+6=11（℃）.本題應(yīng)該填：11.例8計(jì)算：（-81）÷

剖析：這是一道只含有乘除運(yùn)算的計(jì)算題.計(jì)算時(shí)，需要按照從左到右的順序進(jìn)行，對(duì)于其中的除法則按照除法運(yùn)算法則，將其轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

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