張新春

M·克萊因在他的名著《西方文化中的數(shù)學(xué)》中說(shuō)：“……幾乎每個(gè)人都知道，數(shù)學(xué)在工程設(shè)計(jì)中具有極其重要的實(shí)用價(jià)值。但是很少有人懂得數(shù)學(xué)在科學(xué)推理中的重要性，以及它在重要的物理科學(xué)理論中所起的核心作用。至于數(shù)學(xué)決定了大部分哲學(xué)思想的內(nèi)容和研究方法，摧毀和構(gòu)建了諸多宗教教義，為政治學(xué)說(shuō)和經(jīng)濟(jì)理論提供了依據(jù)，塑造了眾多流派的繪畫、音樂(lè)、建筑和文學(xué)風(fēng)格，創(chuàng)立了邏輯學(xué)，而且為我們必須回答的人和宇宙的基本問(wèn)題提供了最好的答案，這些就更加鮮為人知了。作為理性精神的化身，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到以前由權(quán)威、習(xí)慣、風(fēng)俗所統(tǒng)治的領(lǐng)域，而且取代它們成為思想和行動(dòng)的指南。最為重要的是，作為一種寶貴的、無(wú)可比擬的人類成就，數(shù)學(xué)在使人賞心悅目和提供審美價(jià)值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美?！薄稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中也指出，“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分……”。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為一種文化的獨(dú)特價(jià)值？或者說(shuō)如何利用數(shù)學(xué)的獨(dú)特文化品格涵養(yǎng)學(xué)生的精神？首先，強(qiáng)調(diào)理性精神的啟蒙。理性精神是人類所獨(dú)有的本性。我們說(shuō)的理性，通常有兩個(gè)方面的含義。一是認(rèn)知理性，是人類獨(dú)有的概念、判斷、推理等思維形式和利用這些思維形式進(jìn)行思維活動(dòng)的能力。二是道理理性或?qū)嵺`理性，是指人類獨(dú)有的用以調(diào)節(jié)和控制自身欲望與行為的精神力量。我們說(shuō)數(shù)學(xué)教育的理性精神啟蒙，主要是指前者。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)之所以是人類文化的一部分，與認(rèn)知理性意義上的理性精神是分不開(kāi)的。文化，就其最廣泛的意義而言，是人類在社會(huì)歷史實(shí)踐過(guò)程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財(cái)富與精神財(cái)富的總和。這個(gè)意義上的文化，是與自然相對(duì)應(yīng)的，即是指人類創(chuàng)造的、非自然的事物。數(shù)學(xué)對(duì)象恰恰是非自然的、人腦抽象的結(jié)果。鄭毓信先生說(shuō)“：誰(shuí)曾見(jiàn)過(guò)一？我們只見(jiàn)過(guò)某一個(gè)人、某一棵樹、某一間房，而決不會(huì)見(jiàn)到作為數(shù)學(xué)研究對(duì)象的‘一。類似地，我們也只能見(jiàn)到圓形的太陽(yáng)、圓形的車輪，而決不會(huì)見(jiàn)到作為幾何對(duì)象的真正的‘圓。從而，即使就最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)對(duì)象而言，它們也是抽象思維的產(chǎn)物?！眮啔v山大洛夫則說(shuō)“：我們運(yùn)用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對(duì)象聯(lián)系起來(lái)。我們?cè)趯W(xué)校學(xué)的是抽象的乘法表，而不是男孩的數(shù)目乘上蘋果的數(shù)目，或者蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價(jià)錢。同樣地，幾何中研究的，例如，是直線，而不是拉緊的繩子?！毕褚?、圓、直線這樣的數(shù)學(xué)概念（也是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象），在客觀世界中并不存在，是人腦對(duì)客觀世界進(jìn)行加工、抽象的產(chǎn)物。于是，數(shù)學(xué)不再是自然的，而是非自然的，是人類創(chuàng)造的，從而是文化的。

在數(shù)學(xué)教育中，幫助學(xué)生逐步形成概念、判斷、推理的思維形式，并形成這種理性思維能力，就是用數(shù)學(xué)獨(dú)特的文化品格涵養(yǎng)學(xué)生的精神。

以幾何圖形的教學(xué)為例。

小學(xué)一、二年級(jí)時(shí)，學(xué)生在認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等圖形時(shí)，通常是通過(guò)實(shí)物得到一些具體的圖形形狀（即概念的表象），然后說(shuō)“像這樣的圖形，就叫×××”。這不是概念，也無(wú)法引向判斷、推理。因?yàn)樗^“像”是說(shuō)不清楚的，或者是主觀的：甲認(rèn)為像，乙認(rèn)為不像。從而也就無(wú)法理清長(zhǎng)方形、正方形和平行四邊形之間的關(guān)系。要理清這些關(guān)系，需要作如下的判斷：所有的正方形都是長(zhǎng)方形，所有的長(zhǎng)方形都是平行四邊形。而這樣的判斷恰恰需要以明確的概念為基礎(chǔ)。

到了小學(xué)四年級(jí)，我們?cè)僬J(rèn)識(shí)平行四邊形時(shí)，就需要明確概念。即，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形。此時(shí)，如果我們問(wèn)如右圖的四邊形ABCD是不是平行四邊形，學(xué)生就可以根據(jù)概念確認(rèn)相關(guān)條件是否滿足：AB與DC平行嗎？AD與BC平行嗎？這兩個(gè)條件都能得到滿足，就說(shuō)它是平行四邊形。

其次，關(guān)注探究精神的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)探索和解決各類數(shù)學(xué)問(wèn)題。這些問(wèn)題有的與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系密切，有的則與現(xiàn)實(shí)生活沒(méi)有太多關(guān)系。在此，對(duì)與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的問(wèn)題的探究，我們特別強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生對(duì)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，或者說(shuō)純粹的智力活動(dòng)的好奇心與探究精神。

我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題非常關(guān)注。一本《九章算術(shù)》即是一本實(shí)際問(wèn)題與解的手冊(cè)。毋庸諱言，相對(duì)于對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究，我們對(duì)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究欲望要稍弱一些。原因當(dāng)然是多方面的，但我們過(guò)于重視實(shí)際，而對(duì)看似無(wú)用的問(wèn)題關(guān)心不夠，可能也是一個(gè)原因。

很多數(shù)學(xué)內(nèi)容在現(xiàn)實(shí)生活中的用處往往是滯后的。古希臘學(xué)者阿波羅尼奧斯研究圓錐曲線時(shí)，不知道甚至沒(méi)想過(guò)會(huì)有什么用。兩千年后，人們發(fā)現(xiàn)天體運(yùn)行的軌跡就是圓錐曲線。于是，當(dāng)時(shí)的人們只需拿起先人為他們準(zhǔn)備的工具即可。黎曼也沒(méi)想到他構(gòu)建的黎曼幾何會(huì)成為愛(ài)因斯坦相對(duì)論的工具。更進(jìn)一步，即使不考慮這所有的用處，哈代所說(shuō)的“智力上的好奇心”“謎團(tuán)的吸引力”“窮究真理的需要”，都應(yīng)該成為我們思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的動(dòng)力。用希爾伯特的話說(shuō)，“問(wèn)題就在那里，你必須解決它”。

其實(shí)，明清以降，很多有識(shí)之士就認(rèn)識(shí)到了這一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)的學(xué)者積極翻譯《幾何原本》這樣的著作就是典型的例證?！稁缀卧尽肥菙?shù)學(xué)公理化的典范，其中幾乎不涉及數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。徐光啟先生在翻譯《幾何原本》時(shí)寫了一篇《幾何原本雜議》，他在文中說(shuō)：“此書有四不必：不必疑、不必揣、不必試、不必改；有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得?！彼€說(shuō)：“（此書）有三至、三能：似至晦，實(shí)至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實(shí)至簡(jiǎn)，故能以其簡(jiǎn)簡(jiǎn)他物之至繁；似至難，實(shí)至易，故能以其易易他物之至難?！痹谒g的《幾何原本》的序言中，他說(shuō)這本書“蓋不用為用，眾用所基”。大體是說(shuō)，好似沒(méi)用，卻是所有用的基礎(chǔ)。

以圓的周長(zhǎng)為例，我們知道，祖沖之把圓周率的值精確到了小數(shù)點(diǎn)以后六位。若從實(shí)用的角度看，這一結(jié)果已經(jīng)足夠好了。比如，假設(shè)地球赤道是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓，用祖沖之所得到的圓周率的值計(jì)算其周長(zhǎng)，誤差也不超過(guò)1.5米。從實(shí)用的意義上說(shuō)，有了祖沖之的結(jié)果后，接下來(lái)探索的意義不大了。但我們應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)到，人類有對(duì)未知領(lǐng)域的天然的好奇心，從而不會(huì)停止對(duì)未知問(wèn)題的探索，對(duì)圓周率的研究也是如此。這也是用數(shù)學(xué)的品格涵養(yǎng)學(xué)生的精神。

第三，注重對(duì)廣泛聯(lián)系的揭示。數(shù)學(xué)中的很多理論、結(jié)論，與客觀世界、現(xiàn)實(shí)生活有密切的聯(lián)系，我們?cè)诮虒W(xué)中要努力予以揭示。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的思想、方法滲透到其他學(xué)科、滲透到我們的生活，這恰恰是數(shù)學(xué)作為一種文化力量的表現(xiàn)。

我們知道，黃金分割在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。筆者以“黃金分割”為關(guān)鍵詞在萬(wàn)方數(shù)據(jù)庫(kù)中進(jìn)行論文檢索，就可以找到《“黃金分割律”在武術(shù)套路編排中的應(yīng)用》《黃金分割定律在電視訪談節(jié)目中的運(yùn)用》《基于黃金分割理論的數(shù)字色彩定量設(shè)計(jì)有效性驗(yàn)證研究》等論文，可見(jiàn)這一數(shù)學(xué)結(jié)論與其他學(xué)科、領(lǐng)域的廣泛聯(lián)系。

此外，我們的生活中還有很多社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的、體育的活動(dòng)，主動(dòng)利用了數(shù)學(xué)的結(jié)論與思想。比如著名的《獨(dú)立宣言》就是按《幾何原本》的公理化思想寫的。2004年奧運(yùn)會(huì)閉幕式上，團(tuán)體操隊(duì)員是按阿基米德螺線出場(chǎng)的。只要有可能，我們就應(yīng)該在教學(xué)中努力揭示類似的聯(lián)系。

（作者單位：長(zhǎng)沙市教育科學(xué)研究院）endprint